Guía interactiva · álgebra lineal

Operaciones con matrices

Cómo se suman y se multiplican las matrices: suma, producto por un número, producto de matrices (fila por columna), por bloques y la traza. Pulsa cualquier tarjeta para ver la demostración paso a paso.

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Tus matrices
A =
Filas Columnas
B =
Filas Columnas
Ejemplos
Operación
Resultado
A · 2 × 2
1234
·
B · 2 × 2
0110
=
C · 2 × 2

(2 × 2) · (2 × 2) da una matriz de (2 × 2): las columnas de la primera y las filas de la segunda coinciden y desaparecen.

Un elemento paso a paso
c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁
= 1·0 + 2·1
= 2

Pulsa otro elemento del resultado. En el producto se resalta la fila de la primera matriz y la columna de la segunda, y se multiplican de dos en dos y se suman.

¿Importa el orden?

AB ≠ BA: por ejemplo, en c₁₁ una da 2 y la otra 3.

Con números, 2 · 3 = 3 · 2. Con matrices no siempre: el producto no es conmutativo.

01 · Suma

Suma de matrices

Dos matrices se suman sumando los elementos que ocupan la misma posición. Por eso solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.

SumaSi A = [aij]n×m y B = [bij]n×m, entonces A + B = [aij + bij]n×m.
  1. 1Ejemplo resuelto. Las dos matrices son de 2 × 3, así que se pueden sumar.(1203−14)+(205−112)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
  2. 2Se suma cada elemento con el de su misma posición: 1 + 2, 2 + 0, 0 + 5 en la primera fila y 3 + (−1), (−1) + 1, 4 + 2 en la segunda.(1+22+00+53−1−1+14+2)=(325206)\begin{pmatrix} 1 + 2 & 2 + 0 & 0 + 5 \\ 3 - 1 & -1 + 1 & 4 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix}

Para qué sirve. Sumar matrices es sumar tablas de datos posición a posición: las ventas de dos tiendas, dos imágenes (cuadrículas de píxeles) o dos transformaciones lineales a la vez.

02 · Producto escalar

Producto por un escalar

Un escalar es un número (aquí λ ∈ K). Multiplicar una matriz por un escalar es multiplicar todos sus elementos por ese número.

Producto por un escalarλA = [λaij]n×m. El tamaño no cambia.
  1. 1Ejemplo resuelto: multiplicar por 3 la matriz A.3(1−204)3 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}
  2. 2Cada elemento se multiplica por 3.(3⋅13⋅(−2)3⋅03⋅4)=(3−6012)\begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-2) \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}

Para qué sirve. Sirve para cambiar la escala (subir todos los precios un 10 %, aclarar una imagen) y, junto con la suma, para combinar matrices: 2A − 3B es una combinación de dos matrices.

03 · Propiedades

Propiedades de la suma y del producto por un escalar

Sean λ, μ ∈ K números y A, B, C matrices del mismo tamaño n × m. Como todo se hace elemento a elemento, se cumplen las mismas reglas que con los números.

Asociativa(A + B) + C = A + (B + C)Ver por qué
ConmutativaA + B = B + AVer por qué
Elemento neutroA + 0 = 0 + A = A, donde 0 es la matriz con todos los elementos 0.Ver por qué
OpuestaExiste B con A + B = B + A = 0: es la opuesta, −A (los mismos elementos con signo cambiado).Ver por qué
Distributiva respecto a la suma de matricesλ(A + B) = λA + λBVer por qué
Distributiva respecto a la suma de escalares(λ + μ)A = λA + μAVer por qué
Asociativa mixta(λμ)A = λ(μA)Ver por qué

Para qué sirve. Garantizan que se puede reordenar, agrupar y despejar con matrices igual que con números, siempre que solo se sume y se multiplique por escalares. Por ejemplo, de A + X = B se obtiene X = B − A.

04 · Producto de matrices

Multiplicar matrices: fila por columna

Multiplicar matrices es más delicado que sumarlas. La pieza básica es multiplicar una fila por una columna que tengan el mismo número de elementos.

Fila por columnaSe multiplican los elementos de dos en dos y se suman: (a1 a2 … ap) · (b1, b2, …, bp)t = a1b1 + a2b2 + … + apbp. El resultado es un número.Ver por qué
CondiciónPara poder multiplicar AB, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.Ver por qué
TamañoA = [aij]n×p, B = [bij]p×m dan C = AB de tamaño n × m: las filas de A y las columnas de B.
Cada elemento de Ccij es la fila i de A por la columna j de B, es decir, cij = Σk=1p aikbkj. (Se usa k como índice de la suma para no confundirlo con el tamaño p.)Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto. A es de 2 × 3 y B de 3 × 2: las columnas de A (3) coinciden con las filas de B (3), así que se puede multiplicar y el resultado es de 2 × 2.(123456)(789101112)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}
  2. 2c₁₁: fila 1 de A por columna 1 de B.c11=1⋅7+2⋅9+3⋅11=7+18+33=58c_{11} = 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 = 7 + 18 + 33 = 58
  3. 3c₁₂: fila 1 de A por columna 2 de B.c12=1⋅8+2⋅10+3⋅12=8+20+36=64c_{12} = 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 = 8 + 20 + 36 = 64
  4. 4c₂₁: fila 2 de A por columna 1 de B.c21=4⋅7+5⋅9+6⋅11=28+45+66=139c_{21} = 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 = 28 + 45 + 66 = 139
  5. 5c₂₂: fila 2 de A por columna 2 de B.c22=4⋅8+5⋅10+6⋅12=32+50+72=154c_{22} = 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 = 32 + 50 + 72 = 154
  6. 6Se junta todo en la matriz producto.AB=(5864139154)AB = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix}

Tamaño del producto: (n × p)(p × m) = n × m

(n×p)⋅(p×m)=(n×m)(n \times p)\cdot(p \times m) = (n \times m)

Para multiplicar, las columnas de A deben coincidir con las filas de B; el resultado toma las filas de A y las columnas de B.

Ver demostración

El producto de matrices: fila por columna

cij=∑k=1paik bkjc_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}

Cada elemento de AB es la fila de A por la columna de B: suma de productos.

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Para qué sirve. El producto de matrices compone transformaciones (aplicar una y luego otra), calcula totales (precios por cantidades) y permite escribir un sistema de ecuaciones como AX = b. Por eso se define de forma tan particular.

05 · Propiedades del producto

Propiedades del producto de matrices

El producto cumple casi todas las reglas de los números, con una excepción muy importante: el orden de los factores sí importa.

Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC)

(AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)

Se pueden agrupar los productos como se quiera; el resultado es el mismo.

Ver demostración

Propiedad distributiva: (A + B)C = AC + BC

(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB(A + B)C = AC + BC,\qquad C(A + B) = CA + CB

El producto se distribuye sobre la suma, tanto por la derecha como por la izquierda.

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La matriz identidad es el elemento neutro: IA = AI = A

IA=AI=AIA = AI = A

Multiplicar por la identidad (a un lado o a otro) deja la matriz igual.

Ver demostración

El producto no es conmutativo: AB ≠ BA

AB≠BAAB \neq BA

En general, el orden de los factores sí altera el producto.

Ver demostración
Cuidado con el ordenEn general AB ≠ BA. Por eso no se puede «simplificar» ni cambiar el orden de factores: (A + B)² no es A² + 2AB + B², sino A² + AB + BA + B².

Para qué sirve. Con estas reglas se desarrollan y factorizan expresiones, y se cambia el agrupamiento para ahorrar cuentas. Saber qué no se cumple (la conmutatividad) evita los errores más típicos.

06 · Por bloques

Multiplicación por bloques

Una matriz grande puede partirse en trozos rectangulares llamados bloques. Si las particiones son compatibles (las columnas de A se cortan igual que las filas de B), los bloques se multiplican como si fueran números.

Multiplicación por bloques

(A11A12A21A22)(B11B12B21B22)=(A11B11+A12B21A11B12+A12B22A21B11+A22B21A21B12+A22B22)\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}

Si se parten las matrices en bloques compatibles, los bloques se multiplican como si fueran números.

Ver demostración
  1. 1Las matrices A y B se parten en 2 × 2 bloques, con las columnas de A cortadas igual que las filas de B.A=(A11A12A21A22),B=(B11B12B21B22)A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}
  2. 2Se aplica fila por columna, pero con bloques. Cada producto de bloques se calcula como un producto de matrices normal.AB=(A11B11+A12B21A11B12+A12B22A21B11+A22B21A21B12+A22B22)AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}

Para qué sirve. Divide un producto enorme en varios productos pequeños (los ordenadores lo hacen para repartir el trabajo) y aprovecha los bloques de ceros o identidades para ahorrar cálculos.

07 · Traza

La traza

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Trazatr(A) = a11 + a22 + … + ann = Σi=1n aii.
  1. 1Ejemplo resuelto. La diagonal de A es 1, 5, 9.A=(123456789)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
  2. 2La traza es la suma de la diagonal.tr⁡(A)=1+5+9=15\operatorname{tr}(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Propiedades

La traza es lineal: tr(A + B) = tr A + tr B y tr(λA) = λ tr A

tr⁡(A+B)=tr⁡A+tr⁡B,tr⁡(λA)=λtr⁡A\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B,\qquad \operatorname{tr}(\lambda A) = \lambda \operatorname{tr}A

La traza de una suma es la suma de las trazas, y los escalares salen fuera.

Ver demostración

tr(AB) = tr(BA)

tr⁡(AB)=tr⁡(BA)\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

La traza de un producto no depende del orden de los dos factores, aunque AB y BA sean distintas.

Ver demostración

Para qué sirve. Resume una matriz cuadrada en un solo número y cumple propiedades muy cómodas para simplificar. Se usa en estadística, física y aprendizaje automático.

08 · Aplicaciones

¿Para qué sirven las operaciones con matrices?

Gráficos y videojuegosGirar, escalar y mover un objeto en 3D es multiplicar sus puntos por matrices. Encadenar transformaciones es multiplicar matrices.
Economía y logísticaSi una matriz guarda cantidades y otra precios, su producto da los costes totales de golpe.
Redes neuronalesCada capa de una red neuronal multiplica una matriz de pesos por los datos de entrada: es todo productos y sumas de matrices.
Sistemas de ecuacionesUn sistema se escribe como AX = b, y todo el método de resolución usa operaciones con matrices.
Imágenes y sonidoUna imagen en blanco y negro es una matriz de brillos. Sumar matrices mezcla imágenes y multiplicar por un escalar cambia el brillo.
ProbabilidadLas cadenas de Markov usan el producto de matrices para predecir el estado de un sistema paso a paso.
Demostración

Propiedades de la suma: conmutativa, asociativa, elemento neutro y opuesta

A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)A + B = B + A,\qquad (A + B) + C = A + (B + C)
  1. [A+B]ij=aij+bij[A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

    Para sumar dos matrices del mismo tamaño se suman los elementos que ocupan la misma posición: el elemento (i, j) de A + B es a_ij + b_ij.

  2. aij+bij=bij+aij  ⇒  A+B=B+Aa_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij} \;\Rightarrow\; A + B = B + A

    Conmutativa: en cada posición a_ij + b_ij = b_ij + a_ij, porque son números. Todas las posiciones coinciden, así que A + B = B + A.

  3. [(A+B)+C]ij=(aij+bij)+cij=aij+(bij+cij)=[A+(B+C)]ij[(A + B) + C]_{ij} = (a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij} = a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij}) = [A + (B + C)]_{ij}

    Asociativa: en cada posición (a_ij + b_ij) + c_ij = a_ij + (b_ij + c_ij). Por eso (A + B) + C = A + (B + C) y se puede escribir A + B + C sin paréntesis.

  4. aij+0=aij  ⇒  A+0=0+A=Aa_{ij} + 0 = a_{ij} \;\Rightarrow\; A + 0 = 0 + A = A

    Elemento neutro: la matriz cero 0 (todo ceros, del mismo tamaño) no cambia nada, porque a_ij + 0 = a_ij.

  5. aij+(−aij)=0  ⇒  A+(−A)=0a_{ij} + (-a_{ij}) = 0 \;\Rightarrow\; A + (-A) = 0

    Opuesta: la matriz −A tiene todos los elementos cambiados de signo, y a_ij + (−a_ij) = 0. Así A + (−A) = 0, y restar A − B significa sumar la opuesta A + (−B).

  6. (1203−14)+(205−112)=(325206)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix}

    Ejemplo con matrices de 2 × 3. En el dibujo, la posición marcada suma 4 + 2 = 6; las demás se suman igual, cada una con la de su misma posición.

Para qué sirve

Garantizan que se puede operar con sumas de matrices como con sumas de números: reordenar, agrupar y despejar. Por ejemplo, de A + X = B se obtiene X = B − A.

Demostración

Propiedades del producto por un escalar

λ(A+B)=λA+λB,(λ+μ)A=λA+μA,(λμ)A=λ(μA)\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B,\quad (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A,\quad (\lambda\mu)A = \lambda(\mu A)
  1. [λA]ij=λ aij[\lambda A]_{ij} = \lambda\, a_{ij}

    Multiplicar una matriz por un número (escalar) λ es multiplicar cada elemento por λ: el elemento (i, j) de λA es λ·a_ij.

  2. [λ(A+B)]ij=λ(aij+bij)=λaij+λbij=[λA+λB]ij[\lambda(A + B)]_{ij} = \lambda(a_{ij} + b_{ij}) = \lambda a_{ij} + \lambda b_{ij} = [\lambda A + \lambda B]_{ij}

    λ(A + B) = λA + λB: en cada posición λ(a_ij + b_ij) = λa_ij + λb_ij, que es la propiedad distributiva de los números.

  3. [(λ+μ)A]ij=(λ+μ) aij=λaij+μaij=[λA+μA]ij[(\lambda + \mu)A]_{ij} = (\lambda + \mu)\, a_{ij} = \lambda a_{ij} + \mu a_{ij} = [\lambda A + \mu A]_{ij}

    (λ + μ)A = λA + μA: en cada posición (λ + μ)a_ij = λa_ij + μa_ij.

  4. [(λμ)A]ij=(λμ) aij=λ(μ aij)=[λ(μA)]ij[(\lambda\mu)A]_{ij} = (\lambda\mu)\, a_{ij} = \lambda(\mu\, a_{ij}) = [\lambda(\mu A)]_{ij}

    (λμ)A = λ(μA): en cada posición (λμ)a_ij = λ(μ·a_ij). Multiplicar por μ y luego por λ es lo mismo que multiplicar por λμ.

  5. 3(1−204)=(3−6012)3 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}

    Ejemplo: multiplicar por 3 cada elemento de la matriz. En el dibujo, cada casilla de 3A es el triple de la casilla correspondiente de A.

  6. (2+3)A=(5−10020)=(2−408)+(3−6012)=2A+3A(2 + 3)A = \begin{pmatrix} 5 & -10 \\ 0 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 12 \end{pmatrix} = 2A + 3A

    Comprobación de la segunda propiedad con λ = 2 y μ = 3: 5A es igual a 2A + 3A.

Para qué sirve

Permiten sacar factores comunes y distribuir números en expresiones con matrices, igual que en álgebra normal. Junto con las de la suma, dicen que las matrices se pueden tratar como vectores: sumarlas y multiplicarlas por números.

Demostración

El producto de matrices: fila por columna

cij=∑k=1paik bkjc_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}
  1. (a1a2⋯ap)(b1b2⋮bp)=a1b1+a2b2+⋯+apbp\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_p \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_p b_p

    Una fila por una columna (con el mismo número de elementos, p) da un número: se multiplican los elementos de dos en dos, a₁b₁, a₂b₂, … y se suman.

  2. A∈Mn×p, B∈Mp×m  ⇒  C=AB∈Mn×mA \in M_{n \times p},\ B \in M_{p \times m} \;\Rightarrow\; C = AB \in M_{n \times m}

    Para multiplicar, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Si A es n × p y B es p × m, el producto C = AB es n × m.

  3. cij=Ai∙ B∙jc_{ij} = A_{i\bullet}\, B_{\bullet j}

    El elemento c_ij de C es el producto de la fila i de A por la columna j de B.

  4. cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aipbpj=∑k=1paik bkjc_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \dots + a_{ip} b_{pj} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}

    Escrito con los elementos y con el símbolo de suma, c_ij = a_i1·b_1j + a_i2·b_2j + … + a_ip·b_pj. El índice k de la suma recorre los p términos (los apuntes usan la misma letra p para el índice y para el tamaño; aquí se distingue k).

  5. c21=4⋅7+5⋅9+6⋅11=28+45+66=139c_{21} = 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 = 28 + 45 + 66 = 139

    Ejemplo: c₂₁ usa la fila 2 de A, (4, 5, 6), y la columna 1 de B, (7, 9, 11). En el dibujo, la fila está en naranja, la columna en azul verdoso y el resultado en rosa: 4·7 + 5·9 + 6·11 = 139.

  6. (123456)(789101112)=(5864139154)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix}

    Repitiendo con cada fila y cada columna se obtiene la matriz completa AB de 2 × 2.

Para qué sirve

El producto es la forma de combinar información: aplicar una transformación tras otra, calcular totales como precio por cantidad, o expresar un sistema de ecuaciones como AX = b.

Demostración

Tamaño del producto: (n × p)(p × m) = n × m

(n×p)⋅(p×m)=(n×m)(n \times p)\cdot(p \times m) = (n \times m)
  1. A=[aik]n×p,B=[bkj]q×mA = [a_{ik}]_{n \times p},\qquad B = [b_{kj}]_{q \times m}

    Sean A de n × p y B de q × m (aún no sabemos si q es igual a p).

  2. (ai1⋯aip)(b1j⋮bqj)  ⇒  p=q\begin{pmatrix} a_{i1} & \cdots & a_{ip} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1j} \\ \vdots \\ b_{qj} \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; p = q

    Cada elemento c_ij exige multiplicar la fila i de A (con p elementos) por la columna j de B (con q elementos), de dos en dos. Eso solo es posible si p = q: las columnas de A deben ser tantas como las filas de B.

  3. cij (i=1,…,n; j=1,…,m)  ⇒  AB∈Mn×mc_{ij}\ (i = 1, \dots, n;\ j = 1, \dots, m) \;\Rightarrow\; AB \in M_{n \times m}

    Hay un c_ij para cada fila i de A (n filas) y cada columna j de B (m columnas), así que AB es de tamaño n × m.

  4. (2×3)⋅(3×4)=(2×4)(2 \times 3)\cdot(3 \times 4) = (2 \times 4)

    Ejemplo: (2 × 3)·(3 × 4) = (2 × 4). Los dos 3 del medio coinciden (verdes en el dibujo) y desaparecen; quedan 2 y 4.

  5. (3×4)⋅(2×3):4≠2(3 \times 4)\cdot(2 \times 3):\quad 4 \neq 2

    Al revés, (3 × 4)·(2 × 3) no se puede calcular, porque 4 ≠ 2. Que exista AB no garantiza que exista BA.

Para qué sirve

Es la primera comprobación antes de multiplicar matrices: si los tamaños no encajan, el producto no está definido. También dice el tamaño del resultado sin hacer ninguna cuenta.

Demostración

Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC)

(AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)
  1. A∈Mn×p, B∈Mp×q, C∈Mq×m  ⇒  (AB)C, A(BC)∈Mn×mA \in M_{n \times p},\ B \in M_{p \times q},\ C \in M_{q \times m} \;\Rightarrow\; (AB)C,\ A(BC) \in M_{n \times m}

    Con A de n × p, B de p × q y C de q × m, tanto (AB)C como A(BC) se pueden calcular y son de n × m. En el dibujo, el paréntesis de arriba agrupa AB y el de abajo agrupa BC.

  2. [(AB)C]il=∑k=1q(AB)ik ckl=∑k=1q(∑j=1paij bjk)ckl[(AB)C]_{il} = \sum_{k=1}^{q} (AB)_{ik}\, c_{kl} = \sum_{k=1}^{q} \Bigl(\sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk}\Bigr) c_{kl}

    El elemento (i, l) de (AB)C es la suma sobre k de (AB)_ik · c_kl, y cada (AB)_ik es a su vez una suma sobre j de a_ij · b_jk.

  3. [A(BC)]il=∑j=1paij (BC)jl=∑j=1paij(∑k=1qbjk ckl)[A(BC)]_{il} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, (BC)_{jl} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij} \Bigl(\sum_{k=1}^{q} b_{jk}\, c_{kl}\Bigr)

    El elemento (i, l) de A(BC) es la suma sobre j de a_ij · (BC)_jl, y cada (BC)_jl es una suma sobre k de b_jk · c_kl.

  4. [(AB)C]il=[A(BC)]il=∑j=1p∑k=1qaij bjk ckl[(AB)C]_{il} = [A(BC)]_{il} = \sum_{j=1}^{p} \sum_{k=1}^{q} a_{ij}\, b_{jk}\, c_{kl}

    En los dos casos sale la misma suma doble de los términos a_ij · b_jk · c_kl, solo que sumados en distinto orden. Como la suma de números no depende del orden, coinciden.

  5. (AB)C=A(BC)=:ABC(AB)C = A(BC) =: ABC

    Por eso se puede escribir ABC sin paréntesis. El símbolo =: significa «se define como».

  6. A=(1201), B=(0131), C=(1021):(AB)C=(12351)=A(BC)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix},\ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}:\quad (AB)C = \begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = A(BC)

    Ejemplo: AB = ((6, 3), (3, 1)) y (AB)C = ((12, 3), (5, 1)). Por el otro camino, BC = ((2, 1), (5, 1)) y A(BC) = ((12, 3), (5, 1)): coinciden.

Para qué sirve

Permite elegir el orden de cálculo que sea más barato (por ejemplo, multiplicar primero por un vector) y encadenar transformaciones: aplicar B y luego A equivale a aplicar una única matriz AB.

Demostración

Propiedad distributiva: (A + B)C = AC + BC

(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB(A + B)C = AC + BC,\qquad C(A + B) = CA + CB
  1. A,B∈Mn×p, C∈Mp×mA, B \in M_{n \times p},\ C \in M_{p \times m}

    Para que se puedan sumar, A y B deben tener el mismo tamaño, n × p; C es p × m, así que los tres productos están definidos.

  2. [(A+B)C]ij=∑k=1p(aik+bik) ckj[(A + B)C]_{ij} = \sum_{k=1}^{p} (a_{ik} + b_{ik})\, c_{kj}

    El elemento (i, j) de (A + B)C es la suma sobre k de (a_ik + b_ik) · c_kj.

  3. [(A+B)C]ij=∑k=1paik ckj+∑k=1pbik ckj=[AC]ij+[BC]ij[(A + B)C]_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, c_{kj} + \sum_{k=1}^{p} b_{ik}\, c_{kj} = [AC]_{ij} + [BC]_{ij}

    Se reparte cada término con la propiedad distributiva de los números y se separa en dos sumas: la primera es el elemento (i, j) de AC y la segunda el de BC. Por tanto (A + B)C = AC + BC.

  4. [C(A+B)]ij=∑k=1pcik (akj+bkj)=[CA]ij+[CB]ij[C(A + B)]_{ij} = \sum_{k=1}^{p} c_{ik}\, (a_{kj} + b_{kj}) = [CA]_{ij} + [CB]_{ij}

    Con C a la izquierda se razona igual: c_ik · (a_kj + b_kj) da C(A + B) = CA + CB. Hay que mantener C a la izquierda en los dos términos, porque el orden importa.

  5. (1332)(1021)=(7372)=(5221)+(2151)\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}

    Ejemplo: A + B = ((1, 3), (3, 2)) y (A + B)C = ((7, 3), (7, 2)). Por separado, AC = ((5, 2), (2, 1)) y BC = ((2, 1), (5, 1)), que suman lo mismo.

Para qué sirve

Permite desarrollar y factorizar expresiones con matrices, siempre cuidando el orden de los factores. Por ejemplo, (A + B)² = A² + AB + BA + B².

Demostración

La matriz identidad es el elemento neutro: IA = AI = A

IA=AI=AIA = AI = A
  1. I=[δij],δij={1i=j0i≠jI = [\delta_{ij}],\qquad \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}

    La identidad I tiene unos en la diagonal y ceros fuera. Se escribe con la delta de Kronecker: δ_ij vale 1 si i = j y 0 si i ≠ j.

  2. [InA]ij=∑k=1nδik akj=aij[I_n A]_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \delta_{ik}\, a_{kj} = a_{ij}

    En el elemento (i, j) de IA, la suma de δ_ik · a_kj solo tiene un término no nulo, el de k = i, que vale a_ij. Así IA = A.

  3. [AIm]ij=∑k=1maik δkj=aij[A I_m]_{ij} = \sum_{k=1}^{m} a_{ik}\, \delta_{kj} = a_{ij}

    Igual por el otro lado: en la suma de a_ik · δ_kj solo sobrevive k = j y queda a_ij. Así AI = A.

  4. A∈Mn×m:InA=AIm=AA \in M_{n \times m}:\quad I_n A = A I_m = A

    Si A es n × m, a la izquierda se usa la identidad de orden n y a la derecha la de orden m. Son identidades distintas, pero el resultado es el mismo A.

  5. (1001)(123456)=(123456)=(123456)(100010001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A de 2 × 3: por la izquierda, la identidad de 2 × 2; por la derecha, la de 3 × 3. En el dibujo, la identidad lleva la diagonal marcada.

Para qué sirve

La identidad hace el papel del número 1: no cambia nada al multiplicar. Es imprescindible para definir la matriz inversa, que es aquella que multiplicada por A da I.

Demostración

El producto no es conmutativo: AB ≠ BA

AB≠BAAB \neq BA
  1. A∈Mn×p, B∈Mp×n  ⇒  AB∈Mn×n, BA∈Mp×pA \in M_{n \times p},\ B \in M_{p \times n} \;\Rightarrow\; AB \in M_{n \times n},\ BA \in M_{p \times p}

    Aunque AB y BA se puedan calcular, pueden tener tamaños distintos: con A de n × p y B de p × n, AB es n × n y BA es p × p. Si n ≠ p no pueden ser iguales.

  2. A∈M2×3, B∈M3×2:AB=(5257),BA=(120552936)A \in M_{2 \times 3},\ B \in M_{3 \times 2}:\quad AB = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 5 & 7 \end{pmatrix},\quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 5 & 2 \\ 9 & 3 & 6 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A de 2 × 3 y B de 3 × 2: AB es 2 × 2 y BA es 3 × 3.

  3. A=(1234), B=(0110):AB=(2143),BA=(3412)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}:\quad AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix},\quad BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

    Incluso con matrices cuadradas del mismo tamaño sale distinto. Aquí B intercambia: AB intercambia las columnas de A y BA intercambia sus filas.

  4. (AB)11=1⋅0+2⋅1=2≠3=0⋅1+1⋅3=(BA)11(AB)_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \neq 3 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = (BA)_{11}

    Un solo elemento basta: (AB)₁₁ = 1·0 + 2·1 = 2, pero (BA)₁₁ = 0·1 + 1·3 = 3. En el dibujo, esas casillas están marcadas.

  5. IA=AI,A2A=AA2,(λI)A=A(λI)IA = AI,\qquad A^2 A = A A^2,\qquad (\lambda I) A = A (\lambda I)

    Hay parejas que sí conmutan: la identidad con cualquier matriz, una matriz con sus propias potencias, o una matriz con un múltiplo de la identidad.

Para qué sirve

Es el error más frecuente al operar con matrices. Por ejemplo, (A + B)² no es A² + 2AB + B², porque AB y BA son distintas. Al resolver ecuaciones matriciales hay que multiplicar siempre por el mismo lado en los dos miembros.

Demostración

Multiplicación por bloques

(A11A12A21A22)(B11B12B21B22)=(A11B11+A12B21A11B12+A12B22A21B11+A22B21A21B12+A22B22)\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}
  1. Aik:ni×pk,Bkj:pk×mjA_{ik}: n_i \times p_k,\qquad B_{kj}: p_k \times m_j

    Se parte A en bloques A_ik y B en bloques B_kj de modo que las particiones de columnas de A coincidan con las de filas de B. Entonces cada producto A_ik·B_kj está definido. En el dibujo, las líneas discontinuas marcan los cortes.

  2. cij=∑k=1paik bkj=∑k=1p1aik bkj+∑k=p1+1paik bkjc_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj} = \sum_{k=1}^{p_1} a_{ik}\, b_{kj} + \sum_{k=p_1+1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}

    Por qué funciona: en la suma c_ij = Σ a_ik·b_kj se separan los primeros p₁ términos (los que usan las columnas del primer bloque de A y las filas del primer bloque de B) y los p − p₁ restantes (los del segundo bloque).

  3. Cij=Ai1B1j+Ai2B2jC_{ij} = A_{i1} B_{1j} + A_{i2} B_{2j}

    Cada bloque del resultado es la suma de los productos de los bloques de la fila i de A por los de la columna j de B: C_ij = A_i1·B_1j + A_i2·B_2j. Es la regla de «fila por columna» con bloques en lugar de números; el enunciado muestra el resultado completo.

  4. A=(1210340100200002), B=(1101011010122101)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    Ejemplo con matrices de 4 × 4 partidas en bloques de 2 × 2. En A, el bloque inferior izquierdo es 0 y el inferior derecho es 2I; el superior derecho es I.

  5. C11=(1234)(1101)+(1001)(1021)=(1337)+(1021)=(2358)C_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}

    C₁₁ = A₁₁B₁₁ + A₁₂B₂₁. Se calculan los dos productos de 2 × 2 y se suman.

  6. C12=(1234)(0110)+(1001)(1201)=(2143)+(1201)=(3344)C_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

    C₁₂ = A₁₁B₁₂ + A₁₂B₂₂, calculado de la misma forma.

  7. C21=0⋅B11+2B21=(2042),C22=0⋅B12+2B22=(2402)C_{21} = 0 \cdot B_{11} + 2 B_{21} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix},\qquad C_{22} = 0 \cdot B_{12} + 2 B_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

    En la fila de abajo A₂₁ = 0, así que solo queda el segundo sumando: C₂₁ = 2B₂₁ y C₂₂ = 2B₂₂.

  8. AB=(2333584420244202)AB = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 & 3 \\ 5 & 8 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}

    Al juntar los cuatro bloques se obtiene AB. Es exactamente la matriz que sale multiplicando las dos matrices de 4 × 4 de la forma normal.

Para qué sirve

Reduce matrices grandes a operaciones con matrices pequeñas, y los bloques de ceros ahorran muchísimo cálculo. Se usa en ordenadores (repartiendo el trabajo en trozos) y en demostraciones sobre matrices con estructura.

Demostración

La traza es lineal: tr(A + B) = tr A + tr B y tr(λA) = λ tr A

tr⁡(A+B)=tr⁡A+tr⁡B,tr⁡(λA)=λtr⁡A\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B,\qquad \operatorname{tr}(\lambda A) = \lambda \operatorname{tr}A
  1. tr⁡A=a11+a22+⋯+ann=∑i=1naii\operatorname{tr}A = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}

    La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal: tr A = a₁₁ + a₂₂ + … + a_nn.

  2. tr⁡(A+B)=∑i=1n(aii+bii)=∑i=1naii+∑i=1nbii\operatorname{tr}(A + B) = \sum_{i=1}^{n} (a_{ii} + b_{ii}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} + \sum_{i=1}^{n} b_{ii}

    La diagonal de A + B tiene los elementos a_ii + b_ii. Sumándolos, se separan en la suma de los a_ii y la suma de los b_ii.

  3. tr⁡(A+B)=tr⁡A+tr⁡B\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B

    Es decir, tr(A + B) = tr A + tr B.

  4. tr⁡(λA)=∑i=1nλ aii=λ∑i=1naii=λtr⁡A\operatorname{tr}(\lambda A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda\, a_{ii} = \lambda \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = \lambda \operatorname{tr}A

    Con un escalar, cada elemento de la diagonal queda multiplicado por λ, y λ sale como factor común de la suma: tr(λA) = λ·tr A.

  5. tr⁡(6246)=6+6=12=5+7=tr⁡(1234)+tr⁡(5012)\operatorname{tr}\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = 6 + 6 = 12 = 5 + 7 = \operatorname{tr}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \operatorname{tr}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

    Ejemplo: A y B tienen trazas 1 + 4 = 5 y 5 + 2 = 7. A + B tiene diagonal 6 y 6, con traza 12 = 5 + 7. En el dibujo, la diagonal está marcada.

Para qué sirve

Permite calcular trazas de expresiones complejas sumando las trazas de cada trozo. La traza resume una matriz cuadrada en un solo número.

Demostración

tr(AB) = tr(BA)

tr⁡(AB)=tr⁡(BA)\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
  1. A∈Mn×p, B∈Mp×n  ⇒  AB∈Mn×n, BA∈Mp×pA \in M_{n \times p},\ B \in M_{p \times n} \;\Rightarrow\; AB \in M_{n \times n},\ BA \in M_{p \times p}

    Con A de n × p y B de p × n, AB es n × n y BA es p × p. Las dos son cuadradas, así que las dos tienen traza, aunque no tengan el mismo tamaño.

  2. tr⁡(AB)=∑i=1n(AB)ii=∑i=1n∑k=1paik bki\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^{n} (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{ki}

    La traza de AB suma los elementos de la diagonal (AB)_ii, y cada uno es a su vez la suma de los productos a_ik·b_ki. Resulta una suma doble de todos los a_ik·b_ki.

  3. tr⁡(BA)=∑k=1p(BA)kk=∑k=1p∑i=1nbki aik\operatorname{tr}(BA) = \sum_{k=1}^{p} (BA)_{kk} = \sum_{k=1}^{p} \sum_{i=1}^{n} b_{ki}\, a_{ik}

    La traza de BA suma los (BA)_kk, y cada uno es la suma de b_ki·a_ik. Es otra suma doble, con los mismos productos.

  4. ∑i=1n∑k=1paik bki=∑k=1p∑i=1nbki aik  ⇒  tr⁡(AB)=tr⁡(BA)\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{ki} = \sum_{k=1}^{p} \sum_{i=1}^{n} b_{ki}\, a_{ik} \;\Rightarrow\; \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

    Los términos son los mismos (b_ki·a_ik = a_ik·b_ki) y solo cambia el orden de sumarlos, que no importa. Por tanto tr(AB) = tr(BA).

  5. A=(120312), B=(102103):tr⁡(AB)=5+7=12=1+5+6=tr⁡(BA)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}:\quad \operatorname{tr}(AB) = 5 + 7 = 12 = 1 + 5 + 6 = \operatorname{tr}(BA)

    Ejemplo con A de 2 × 3 y B de 3 × 2: AB (2 × 2) tiene traza 5 + 7 = 12 y BA (3 × 3) tiene traza 1 + 5 + 6 = 12, aunque son matrices de distinto tamaño y no se parecen.

  6. tr⁡(ABC)=tr⁡(BCA)=tr⁡(CAB)\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)

    Con tres factores solo se pueden mover en ciclo: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). En general, tr(ACB) puede ser distinta.

Para qué sirve

Es una herramienta muy usada para simplificar expresiones con matrices y demostrar propiedades. Aparece en estadística, mecánica cuántica y aprendizaje automático.

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