Guía interactiva · álgebra lineal

Tipos de matrices

Qué es una matriz y cómo se clasifican: cuadrada, identidad, diagonal, simétrica, antisimétrica y triangular. Cada propiedad tiene su demostración paso a paso: pulsa cualquier tarjeta para verla.

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Tu matriz
A =
Filas Columnas
Ejemplos
Traspuesta Aᵗ
A =
1423
At =

Las filas de A pasan a ser columnas de Aᵗ: la fila i de A es la columna i de Aᵗ. Pasa el puntero por Aᵗ para ver adónde va cada número.

a₁₂ = 4 está en la fila 1, columna 2 de A y pasa a la fila 2, columna 1 de Aᵗ.

¿De qué tipo es?
  • Cuadrada m = n Sí
    Tiene 2 filas y 2 columnas: el mismo número.
  • Nula aij = 0 No
    a₁₁ = 1, y no es 0.
  • Identidad aii = 1, aij = 0 (i ≠ j) No
    a₁₂ = 4 está fuera de la diagonal y no es 0.
  • Diagonal aij = 0 (i ≠ j) No
    a₁₂ = 4 está fuera de la diagonal y no es 0.
  • Simétrica A = Aᵗ No
    a₁₂ = 4 pero a₂₁ = 2.
  • Antisimétrica Aᵗ = −A No
    a₁₁ = 1 está en la diagonal y tendría que ser 0 (aᵢᵢ = −aᵢᵢ solo se cumple con 0).
  • Triangular superior aij = 0 (i > j) No
    a₂₁ = 2 está por debajo de la diagonal y no es 0.
  • Triangular inferior aij = 0 (i < j) No
    a₁₂ = 4 está por encima de la diagonal y no es 0.

Una misma matriz puede ser de varios tipos a la vez: la identidad es cuadrada, diagonal, simétrica y triangular.

Simétrica + antisimétrica

S = (A + At) / 2   K = (A − At) / 2

S =
1333
+
K =
01−10
=
A =
1423

Comprobado: S + K da exactamente A, elemento a elemento.

S es simétrica y K es antisimétrica. Toda matriz cuadrada es la suma de una de cada tipo.

01 · Definición

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas (horizontales) y columnas (verticales). Sirve para guardar muchos datos juntos y operar con ellos de una vez.

Tamaño m × nUna matriz con m filas y n columnas es de tamaño m × n. Se dice siempre primero las filas y después las columnas.
Elemento aijEl número que está en la fila i y la columna j. Así, A = [aij]m×n es la matriz formada por todos sus elementos.
El conjunto Mm×n(K)Todas las matrices de m × n con elementos en K, que es el conjunto de números con el que trabajamos (normalmente ℝ o ℂ), donde se puede sumar, restar, multiplicar y dividir.
Diagonal principalLos elementos a11, a22, a33, …, es decir, los que tienen el mismo número de fila y de columna. Va de la esquina superior izquierda hacia abajo y a la derecha.
  1. 1Ejemplo resuelto. Esta matriz tiene 2 filas y 3 columnas: es de tamaño 2 × 3.A=(123456)∈M2×3(R)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in M_{2 \times 3}(\mathbb{R})
  2. 2El elemento a₁₂ está en la fila 1, columna 2.a12=2a_{12} = 2
  3. 3El elemento a₂₃ está en la fila 2, columna 3.a23=6a_{23} = 6

Para qué sirve. Una matriz es la forma ordenada de guardar una tabla de datos, los coeficientes de un sistema de ecuaciones o una transformación del plano. Todo lo que sigue clasifica las matrices según la forma de su tabla y sus simetrías, porque cada tipo cumple propiedades que ahorran cálculos.

02 · Cuadrada, identidad y diagonal

Matrices cuadradas

Se llaman cuadradas por su forma: tienen el mismo número de filas que de columnas. Dentro de ellas hay dos tipos muy importantes.

Matriz cuadradam = n. Se dice que es de orden n. Solo las cuadradas tienen diagonal principal completa, determinante e inversa.
Matriz identidad ICuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Es la que no cambia nada al multiplicar (como el número 1).
Matriz diagonalCuadrada con todos los elementos 0 salvo los de la diagonal principal. La identidad es una matriz diagonal.
  1. 1Ejemplo resuelto. Una matriz cuadrada de orden 3 (3 filas, 3 columnas):(410257369)\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}
  2. 2La identidad de orden 3: unos en la diagonal, ceros fuera.I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  3. 3Una matriz diagonal: solo pueden ser distintos de 0 los elementos 2, −1 y 5 de la diagonal.D=(2000−10005)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Para qué sirve. Las matrices cuadradas son las que describen transformaciones de un espacio en sí mismo y las únicas que pueden tener inversa. La identidad hace de «1» del producto de matrices, y las diagonales son las más fáciles de usar: se multiplican y se elevan a potencias elemento a elemento en la diagonal.

03 · Transpuesta

La transpuesta Aᵗ

La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas por sus columnas. Vale para cualquier matriz, también para las rectangulares (no cuadradas).

Si A = [aij], entonces At = [aji]: el elemento de la fila i, columna j pasa a la fila j, columna i. La diagonal no se mueve y el resto se intercambia por parejas (cada pareja, de un color). Si A es m × n, At es n × m.

  1. 1Ejemplo resuelto con una matriz rectangular de 2 × 3.A=(123456)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
  2. 2Las filas de A (1, 2, 3 y 4, 5, 6) se escriben como columnas. La transpuesta es de 3 × 2.At=(142536)A^t = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

Propiedades

Transponer dos veces: (Aᵗ)ᵗ = A

(At)t=A(A^t)^t = A

Intercambiar filas y columnas dos veces devuelve la matriz original.

Ver demostración

Transpuesta de un producto: (AB)ᵗ = BᵗAᵗ

(AB)t=BtAt(AB)^t = B^t A^t

Al transponer un producto, los factores se transponen y cambian de orden.

Ver demostración

Para qué sirve. La transpuesta permite pasar de filas a columnas, y con ella se definen las matrices simétricas y antisimétricas. También aparece al calcular productos escalares y en el método de mínimos cuadrados.

04 · Simétrica

Matrices simétricas

Una matriz cuadrada es simétrica cuando es igual a su transpuesta. Es como si la diagonal fuera un espejo: lo que hay a un lado se repite al otro.

Matriz simétricaA = At, es decir, aij = aji para todo i y j.
  1. 1Ejemplo resuelto. Los elementos 2 y 2, 5 y 5, 7 y 7 están a la misma distancia de la diagonal y son iguales.A=(125237574)=AtA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix} = A^t
  2. 2Una matriz como ((1, 4), (2, 3)) no es simétrica: a₁₂ = 4 pero a₂₁ = 2.(1423)t=(1243)≠(1423)\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

Propiedades

La inversa de una simétrica es simétrica

A=At  ⇒  (A−1)t=A−1A = A^t \;\Rightarrow\; (A^{-1})^t = A^{-1}

Si A = Aᵗ y A tiene inversa, entonces A⁻¹ también es simétrica.

Ver demostración

Suma de simétricas y suma de antisimétricas

(A+B)t=At+Bt(A + B)^t = A^t + B^t

Sumar dos simétricas da una simétrica; sumar dos antisimétricas da una antisimétrica.

Ver demostración

El producto de simétricas solo es simétrico si AB = BA

A=At, B=Bt:(AB)t=AB  ⟺  AB=BAA = A^t,\ B = B^t:\qquad (AB)^t = AB \iff AB = BA

Dos matrices simétricas no siempre dan un producto simétrico: depende de que conmuten.

Ver demostración

AAᵗ y AᵗA siempre son simétricas

(AAt)t=AAt,(AtA)t=AtA(AA^t)^t = AA^t,\qquad (A^tA)^t = A^tA

Multiplicar una matriz por su transpuesta, en cualquier orden, da una matriz simétrica.

Ver demostración

Para qué sirve. Las simétricas aparecen en cuanto se mide algo entre pares de elementos: distancias entre ciudades, covarianzas entre variables o redes de contactos sin dirección. Su simetría permite guardar solo la mitad de los datos y simplifica muchos cálculos.

05 · Antisimétrica

Matrices antisimétricas

Es la versión «con signo cambiado» de la simétrica: los elementos en espejo son iguales en valor pero de signo contrario.

Matriz antisimétricaAt = −A, es decir, aij = −aji. Es siempre cuadrada.Ver por qué
Suma de antisimétricasLa suma de dos antisimétricas es antisimétrica.Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto. La diagonal es toda 0 y cada elemento tiene enfrente su opuesto: 1 y −1, 2 y −2, 3 y −3.A=(012−103−2−30)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}
  2. 2Su transpuesta es −A: todos los elementos cambian de signo.At=(0−1−210−3230)=−AA^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} = -A

Propiedades

Una antisimétrica tiene la diagonal llena de ceros

At=−A  ⇒  aii=0A^t = -A \;\Rightarrow\; a_{ii} = 0

Si Aᵗ = −A, entonces A es cuadrada y todos sus elementos a_ii valen 0.

Ver demostración

Antisimétrica de orden impar: determinante 0

At=−A, n=2k+1  ⇒  det⁡A=0A^t = -A,\ n = 2k + 1 \;\Rightarrow\; \det A = 0

Una antisimétrica n × n con n impar nunca tiene inversa.

Ver demostración

El cuadrado de una antisimétrica es simétrico

At=−A  ⇒  (A2)t=A2A^t = -A \;\Rightarrow\; (A^2)^t = A^2

Si Aᵗ = −A, entonces A² es simétrica (y las potencias alternan: simétrica, antisimétrica...).

Ver demostración

Para qué sirve. Describen giros y desequilibrios: el producto vectorial se escribe con una matriz antisimétrica y la rotación de un sólido también. La regla del determinante de orden impar es un atajo para descartar la inversa sin calcular nada.

06 · Triangulares

Matrices triangulares

Tienen ceros a un lado de la diagonal principal. Son las matrices que se buscan al resolver sistemas, porque con ellas las ecuaciones se despejan una a una.

A la izquierda, una triangular superior: ceros por debajo de la diagonal (∗ es cualquier número). A la derecha, una triangular inferior: ceros por encima de la diagonal.

Triangular superiorCeros bajo la diagonal: aij = 0 si i > j.
Triangular inferiorCeros encima de la diagonal: aij = 0 si i < j.
EscalonadaUna superior que no es cuadrada se llama escalonada. (Una matriz escalonada propiamente dicha exige además que el primer elemento no nulo de cada fila quede más a la derecha que el de la anterior.) Es el aspecto que tiene una matriz tras la eliminación de Gauss.
La transpuesta cambia de tipoTransponer intercambia filas y columnas, así que lo que estaba debajo de la diagonal pasa a estar encima: la transpuesta de una superior es inferior, y la de una inferior es superior.
  1. 1Ejemplo resuelto. Una triangular superior y otra inferior.U=(123045006),L=Ut=(100240356)U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix},\qquad L = U^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}
  2. 2Una superior no cuadrada (2 × 3): ceros bajo la diagonal.(123045)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}

Propiedades

Producto de triangulares superiores

cij=0 (i>j),cii=aii biic_{ij} = 0\ (i > j),\qquad c_{ii} = a_{ii}\, b_{ii}

El producto de dos triangulares superiores es triangular superior y su diagonal es el producto de las diagonales.

Ver demostración

La inversa de una triangular superior es triangular superior

A x=ej  ⇒  xi=0 (i>j)A\, x = e_j \;\Rightarrow\; x_i = 0\ (i > j)

Una triangular superior con inversa tiene una inversa que sigue siendo triangular superior.

Ver demostración

Para qué sirve. Un sistema con matriz triangular se resuelve despejando de abajo arriba (o de arriba abajo), sin necesidad de más cálculos. Por eso el objetivo de la eliminación de Gauss es convertir cualquier matriz en una triangular o escalonada.

07 · Descomposición

Simétrica + antisimétrica

Toda matriz cuadrada se descompone de una sola forma como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Toda matriz cuadrada = simétrica + antisimétrica

A=A+At2⏟S+A−At2⏟KA = \underbrace{\frac{A + A^t}{2}}_{S} + \underbrace{\frac{A - A^t}{2}}_{K}

Cualquier matriz cuadrada se escribe de una única forma como suma de una simétrica y una antisimétrica.

Ver demostración
  1. 1Ejemplo resuelto con la matriz A. Primero su transpuesta, intercambiando filas y columnas.A=(1423),At=(1243)A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix},\qquad A^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}
  2. 2Parte simétrica: se suman A y Aᵗ y se divide entre 2.S=A+At2=12(2666)=(1333)S = \frac{A + A^t}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}
  3. 3Parte antisimétrica: se restan A y Aᵗ y se divide entre 2.K=A−At2=12(02−20)=(01−10)K = \frac{A - A^t}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
  4. 4Comprobación: la suma devuelve A.S+K=(1333)+(01−10)=(1423)=AS + K = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = A

Para qué sirve. Permite separar cualquier matriz en su parte «espejo» y su parte «giro». Se usa, por ejemplo, en física de materiales: la deformación de un sólido es la parte simétrica y su rotación la antisimétrica.

08 · Aplicaciones

¿Para qué sirven los tipos de matrices?

Datos y tablasUna hoja de cálculo es una matriz. Las filas son individuos y las columnas, variables: la transpuesta intercambia sus papeles.
Sistemas de ecuacionesSe escriben como AX = b. Si A es triangular o diagonal, el sistema se resuelve casi sin esfuerzo.
EstadísticaLa matriz de covarianzas es simétrica, y AᵗA y AAᵗ siempre lo son. Aparecen en regresión y en análisis de componentes principales.
Gráficos y juegosGirar o estirar un objeto es multiplicar por una matriz. Las rotaciones infinitesimales se escriben con matrices antisimétricas.
RedesLa matriz de adyacencia de una red sin direcciones (amigos en una red social) es simétrica; con direcciones ya no lo es.
FísicaEl tensor de deformación de un sólido es simétrico y el de rotación es antisimétrico: la descomposición A = S + K los separa.
Demostración

Transponer dos veces: (Aᵗ)ᵗ = A

(At)t=A(A^t)^t = A
  1. A=[aij]m×n  ⇒  At=[aji]n×mA = [a_{ij}]_{m \times n} \;\Rightarrow\; A^t = [a_{ji}]_{n \times m}

    La transpuesta Aᵗ se forma cambiando filas por columnas: el elemento que está en la fila j y la columna i de Aᵗ es a_ji. Si A tiene m filas y n columnas, Aᵗ tiene n filas y m columnas. Esto vale también para matrices rectangulares.

  2. A=(123456)  ⇒  At=(142536)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; A^t = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

    Ejemplo: A tiene 2 filas y 3 columnas. Su primera fila (1, 2, 3) pasa a ser la primera columna de Aᵗ, y su segunda fila (4, 5, 6) pasa a ser la segunda columna. En el dibujo, cada color sigue una fila de A hasta su columna en Aᵗ.

  3. [(At)t]ij=[At]ji=aij[(A^t)^t]_{ij} = [A^t]_{ji} = a_{ij}

    Ahora transponemos Aᵗ. Su elemento en la fila i, columna j es el elemento de Aᵗ en la fila j, columna i, que a su vez es a_ij. Es decir, los dos intercambios de índices se cancelan.

  4. (At)t=A(A^t)^t = A

    Las dos matrices tienen el mismo tamaño (m × n) y los mismos elementos en cada posición, así que son iguales: (Aᵗ)ᵗ = A.

Para qué sirve

Es la regla que permite simplificar cualquier expresión con transpuestas: dos transposiciones seguidas se eliminan. También prueba que transponer es reversible: nunca se pierde información.

Demostración

Transpuesta de un producto: (AB)ᵗ = BᵗAᵗ

(AB)t=BtAt(AB)^t = B^t A^t
  1. A∈Mn×p, B∈Mp×m  ⇒  AB∈Mn×m, (AB)t∈Mm×nA \in M_{n \times p},\ B \in M_{p \times m} \;\Rightarrow\; AB \in M_{n \times m},\ (AB)^t \in M_{m \times n}

    Para poder multiplicar, las columnas de A deben coincidir con las filas de B: A es n × p y B es p × m. El producto AB es n × m, luego (AB)ᵗ es m × n.

  2. Bt∈Mm×p, At∈Mp×n  ⇒  BtAt∈Mm×nB^t \in M_{m \times p},\ A^t \in M_{p \times n} \;\Rightarrow\; B^t A^t \in M_{m \times n}

    Bᵗ es m × p y Aᵗ es p × n: ahora el número de columnas de Bᵗ (p) coincide con las filas de Aᵗ (p), así que BᵗAᵗ se puede calcular y es m × n. Tiene el mismo tamaño que (AB)ᵗ; con el orden AᵗBᵗ ni siquiera se podría multiplicar en general. En el dibujo, el tamaño p que se «anula» está en verde.

  3. [(AB)t]ij=(AB)ji=∑k=1pajk bki[(AB)^t]_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^{p} a_{jk}\, b_{ki}

    El elemento (i, j) de (AB)ᵗ es el elemento (j, i) de AB: la fila j de A por la columna i de B, es decir, la suma de los productos a_jk · b_ki.

  4. [BtAt]ij=∑k=1p(Bt)ik (At)kj=∑k=1pbki ajk[B^t A^t]_{ij} = \sum_{k=1}^{p} (B^t)_{ik}\, (A^t)_{kj} = \sum_{k=1}^{p} b_{ki}\, a_{jk}

    El elemento (i, j) de BᵗAᵗ es la fila i de Bᵗ por la columna j de Aᵗ. La fila i de Bᵗ es la columna i de B (elementos b_ki) y la columna j de Aᵗ es la fila j de A (elementos a_jk).

  5. (AB)t=BtAt(AB)^t = B^t A^t

    Las dos sumas son iguales término a término (el producto de números reales es conmutativo), así que (AB)ᵗ = BᵗAᵗ.

  6. A=(120312), B=(102103):(AB)t=(5527)=BtAtA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}:\quad (AB)^t = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = B^t A^t

    Comprobación numérica con matrices rectangulares: AB = ((5, 2), (5, 7)), luego (AB)ᵗ = ((5, 5), (2, 7)). Calculando BᵗAᵗ por separado sale exactamente lo mismo.

Para qué sirve

Se usa en cuanto aparece una transpuesta delante de un producto: es la clave para demostrar que AAᵗ es simétrica, que la inversa de una simétrica es simétrica y muchas propiedades más. El cambio de orden es el mismo que al ponerse y quitarse calcetines y zapatos.

Demostración

AAᵗ y AᵗA siempre son simétricas

(AAt)t=AAt,(AtA)t=AtA(AA^t)^t = AA^t,\qquad (A^tA)^t = A^tA
  1. A∈Mm×n  ⇒  AAt∈Mm×m,  AtA∈Mn×nA \in M_{m \times n} \;\Rightarrow\; AA^t \in M_{m \times m},\ \ A^tA \in M_{n \times n}

    Si A es m × n (no hace falta que sea cuadrada), AAᵗ es m × m y AᵗA es n × n. Las dos son cuadradas, y solo las cuadradas pueden ser simétricas.

  2. (AAt)t=(At)tAt(AA^t)^t = (A^t)^t A^t

    Transponemos AAᵗ con la regla del producto, (XY)ᵗ = YᵗXᵗ, tomando X = A e Y = Aᵗ. El orden se invierte y queda (Aᵗ)ᵗ Aᵗ.

  3. (AAt)t=AAt(AA^t)^t = AA^t

    Como (Aᵗ)ᵗ = A, el resultado es AAᵗ. La matriz es igual a su transpuesta: es simétrica.

  4. (AtA)t=At(At)t=AtA(A^tA)^t = A^t (A^t)^t = A^tA

    Con AᵗA ocurre lo mismo: (AᵗA)ᵗ = Aᵗ(Aᵗ)ᵗ = AᵗA.

  5. A=(120312):AAt=(55514),AtA=(1056552624)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}:\quad AA^t = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 14 \end{pmatrix},\quad A^tA = \begin{pmatrix} 10 & 5 & 6 \\ 5 & 5 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A de 2 × 3. AAᵗ es 2 × 2 y su elemento (i, j) es la fila i de A por la fila j de A; por eso coincide con el elemento (j, i). AᵗA es 3 × 3 y sus elementos son productos de columnas de A. En ambos casos los elementos simétricos respecto a la diagonal (mismo color en el dibujo) son iguales.

Para qué sirve

Es la forma más rápida de fabricar matrices simétricas a partir de cualquier matriz, y por eso aparecen constantemente: en mínimos cuadrados (AᵗA), en estadística (matrices de covarianza) y en la pseudoinversa.

Demostración

La inversa de una simétrica es simétrica

A=At  ⇒  (A−1)t=A−1A = A^t \;\Rightarrow\; (A^{-1})^t = A^{-1}
  1. (A−1A)t=At(A−1)t(A^{-1}A)^t = A^t (A^{-1})^t

    Partimos de que A es invertible, es decir, existe A⁻¹ con A⁻¹A = I. Transponemos esa igualdad con la regla del producto: (A⁻¹A)ᵗ = Aᵗ(A⁻¹)ᵗ.

  2. (A−1A)t=It=I  ⇒  At(A−1)t=I(A^{-1}A)^t = I^t = I \;\Rightarrow\; A^t (A^{-1})^t = I

    La transpuesta de la identidad es la propia identidad (I es simétrica). Por tanto Aᵗ(A⁻¹)ᵗ = I.

  3. At=A  ⇒  A (A−1)t=IA^t = A \;\Rightarrow\; A\, (A^{-1})^t = I

    Como A es simétrica, Aᵗ = A. Sustituyendo queda A(A⁻¹)ᵗ = I.

  4. A−1A (A−1)t=A−1I  ⇒  (A−1)t=A−1A^{-1} A\, (A^{-1})^t = A^{-1} I \;\Rightarrow\; (A^{-1})^t = A^{-1}

    Multiplicamos por A⁻¹ por la izquierda en los dos lados: A⁻¹A(A⁻¹)ᵗ = A⁻¹I. A la izquierda A⁻¹A = I, y a la derecha A⁻¹I = A⁻¹. Resultado: (A⁻¹)ᵗ = A⁻¹.

  5. A=(2111),A−1=(1−1−12)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

    Ejemplo: A = ((2, 1), (1, 1)) es simétrica y su inversa es ((1, −1), (−1, 2)). Se comprueba multiplicando que AA⁻¹ = I, y la inversa también es simétrica: los dos −1 coinciden.

Para qué sirve

Permite resolver sistemas con matrices simétricas sabiendo que la inversa conserva esa estructura, lo que ahorra memoria y cálculos en métodos numéricos.

Demostración

El producto de simétricas solo es simétrico si AB = BA

A=At, B=Bt:(AB)t=AB  ⟺  AB=BAA = A^t,\ B = B^t:\qquad (AB)^t = AB \iff AB = BA
  1. (AB)t=BtAt(AB)^t = B^t A^t

    Aplicamos la regla de la transpuesta de un producto: (AB)ᵗ = BᵗAᵗ.

  2. (AB)t=BA(AB)^t = BA

    Como A y B son simétricas, Bᵗ = B y Aᵗ = A. Entonces (AB)ᵗ = BA.

  3. (AB)t=AB  ⟺  BA=AB(AB)^t = AB \iff BA = AB

    AB es simétrica cuando (AB)ᵗ = AB. Usando el paso anterior, eso equivale a BA = AB: el producto es simétrico justo cuando A y B conmutan (se pueden multiplicar en cualquier orden).

  4. A=(1002), B=(0110):AB=(0120)≠(0210)=BAA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}:\quad AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = BA

    Contraejemplo: A y B son simétricas, pero AB = ((0, 1), (2, 0)) no lo es (un 1 frente a un 2) y BA = ((0, 2), (1, 0)) es distinta de AB. En el dibujo, las casillas rojas deberían ser iguales y no lo son.

  5. A=(1221), B=(3443):AB=BA=(11101011)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}:\quad AB = BA = \begin{pmatrix} 11 & 10 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}

    Ejemplo en el que sí funciona: con estas A y B se cumple AB = BA = ((11, 10), (10, 11)), que es simétrica.

Para qué sirve

Avisa de un error muy común: no se puede suponer que el producto de simétricas es simétrico. Sí lo es en casos importantes, como las potencias de una misma matriz (A · A = A²) o dos matrices diagonales.

Demostración

Suma de simétricas y suma de antisimétricas

(A+B)t=At+Bt(A + B)^t = A^t + B^t
  1. [(A+B)t]ij=(A+B)ji=aji+bji=[At+Bt]ij[(A + B)^t]_{ij} = (A + B)_{ji} = a_{ji} + b_{ji} = [A^t + B^t]_{ij}

    La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: el elemento (i, j) de (A + B)ᵗ es el (j, i) de A + B, es decir, a_ji + b_ji, que es el elemento (i, j) de Aᵗ + Bᵗ.

  2. At=A, Bt=B  ⇒  (A+B)t=A+BA^t = A,\ B^t = B \;\Rightarrow\; (A + B)^t = A + B

    Si A y B son simétricas (Aᵗ = A y Bᵗ = B), entonces (A + B)ᵗ = A + B: la suma es simétrica.

  3. At=−A, Bt=−B  ⇒  (A+B)t=−A−B=−(A+B)A^t = -A,\ B^t = -B \;\Rightarrow\; (A + B)^t = -A - B = -(A + B)

    Si A y B son antisimétricas (Aᵗ = −A y Bᵗ = −B), entonces (A + B)ᵗ = −A − B = −(A + B): la suma es antisimétrica.

  4. (1223)+(0554)=(1777)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}

    Ejemplo con simétricas: los elementos simétricos respecto a la diagonal (2 y 2, 5 y 5) se suman entre sí y dan 7 y 7.

  5. (01−10)+(02−20)=(03−30)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}

    Ejemplo con antisimétricas: la diagonal sigue siendo 0 y los elementos opuestos 1 y −1, 2 y −2 dan 3 y −3.

Para qué sirve

Significa que las matrices simétricas forman un conjunto cerrado por la suma (y por multiplicar por un número), igual que las antisimétricas. Es lo que permite sumar y combinar sin perder la estructura.

Demostración

Una antisimétrica tiene la diagonal llena de ceros

At=−A  ⇒  aii=0A^t = -A \;\Rightarrow\; a_{ii} = 0
  1. At=−A  ⇒  aji=−aij(∀ i,j)A^t = -A \;\Rightarrow\; a_{ji} = -a_{ij} \quad (\forall\, i, j)

    Aᵗ = −A significa, elemento a elemento, que a_ji = −a_ij para cualesquiera i y j: los elementos simétricos respecto a la diagonal son iguales pero de signo contrario.

  2. m×n=n×m  ⇒  m=nm \times n = n \times m \;\Rightarrow\; m = n

    Si A es m × n, Aᵗ es n × m. Para que Aᵗ = −A sean iguales deben tener el mismo tamaño, así que m = n. Una antisimétrica es siempre cuadrada (los apuntes dicen «no siempre cuadrada», pero la condición lo obliga).

  3. i=j:aii=−aiii = j:\quad a_{ii} = -a_{ii}

    En la diagonal i = j, la relación del primer paso dice a_ii = −a_ii: cada elemento es igual a su opuesto.

  4. 2 aii=0  ⇒  aii=02\, a_{ii} = 0 \;\Rightarrow\; a_{ii} = 0

    Pasando el término al otro lado, 2a_ii = 0 y, como 2 ≠ 0, a_ii = 0.

  5. A=(012−103−2−30)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}

    Ejemplo: en el dibujo, la diagonal (rosa) vale 0 y cada elemento tiene enfrente su opuesto del mismo color: 1 y −1, 2 y −2, 3 y −3.

Para qué sirve

Sirve para reconocer una antisimétrica de un vistazo: diagonal de ceros y elementos opuestos en espejo. Solo hay que conocer los elementos por encima de la diagonal, porque el resto se deduce.

Demostración

Antisimétrica de orden impar: determinante 0

At=−A, n=2k+1  ⇒  det⁡A=0A^t = -A,\ n = 2k + 1 \;\Rightarrow\; \det A = 0
  1. det⁡(At)=det⁡A\det(A^t) = \det A

    El determinante no cambia al transponer: det(Aᵗ) = det(A). (Propiedad conocida de los determinantes.)

  2. det⁡(−A)=(−1)ndet⁡A\det(-A) = (-1)^n \det A

    Al multiplicar toda la matriz por −1, se saca un factor −1 de cada una de las n filas: det(−A) = (−1)ⁿ det(A).

  3. det⁡A=det⁡(At)=det⁡(−A)=(−1)ndet⁡A\det A = \det(A^t) = \det(-A) = (-1)^n \det A

    Como Aᵗ = −A, los dos determinantes anteriores son iguales: det(A) = det(Aᵗ) = det(−A) = (−1)ⁿ det(A).

  4. n=2k+1  ⇒  (−1)n=−1  ⇒  det⁡A=−det⁡An = 2k + 1 \;\Rightarrow\; (-1)^n = -1 \;\Rightarrow\; \det A = -\det A

    Si n es impar (n = 2k + 1), (−1)ⁿ = −1 y queda det(A) = −det(A).

  5. 2det⁡A=0  ⇒  det⁡A=02 \det A = 0 \;\Rightarrow\; \det A = 0

    Entonces 2 det(A) = 0 y det(A) = 0. Una matriz cuadrada solo tiene inversa si su determinante es distinto de 0, luego esta no la tiene.

  6. det⁡A=0⋅(0⋅0−3⋅(−3))−1⋅((−1)⋅0−3⋅(−2))+2⋅((−1)(−3)−0⋅(−2))=0−6+6=0\det A = 0 \cdot \bigl(0 \cdot 0 - 3 \cdot (-3)\bigr) - 1 \cdot \bigl((-1) \cdot 0 - 3 \cdot (-2)\bigr) + 2 \cdot \bigl((-1)(-3) - 0 \cdot (-2)\bigr) = 0 - 6 + 6 = 0

    Ejemplo: la antisimétrica 3 × 3 del dibujo, desarrollando por la primera fila, da 0 · 9 − 1 · 6 + 2 · 3 = 0 − 6 + 6 = 0.

Para qué sirve

Atajo muy útil: una antisimétrica 3 × 3, 5 × 5, etc. es singular sin calcular nada. Con orden par sí puede tener inversa, por ejemplo ((0, 1), (−1, 0)) tiene determinante 1.

Demostración

El cuadrado de una antisimétrica es simétrico

At=−A  ⇒  (A2)t=A2A^t = -A \;\Rightarrow\; (A^2)^t = A^2
  1. (A2)t=(AA)t=AtAt(A^2)^t = (AA)^t = A^t A^t

    Transponemos A² = AA con la regla del producto: (AA)ᵗ = AᵗAᵗ.

  2. (A2)t=(−A)(−A)=A2(A^2)^t = (-A)(-A) = A^2

    Como Aᵗ = −A, queda (−A)(−A). Los dos signos menos se cancelan y el resultado es A². Así (A²)ᵗ = A²: es simétrica.

  3. A=(012−103−2−30):A2=(−5−63−6−10−23−2−13)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}:\quad A^2 = \begin{pmatrix} -5 & -6 & 3 \\ -6 & -10 & -2 \\ 3 & -2 & -13 \end{pmatrix}

    Ejemplo con la antisimétrica 3 × 3: aunque A tiene ceros en la diagonal, A² tiene −5, −10 y −13, y los elementos en espejo (−6 y −6, 3 y 3, −2 y −2) coinciden.

  4. (Ak)t=(At)k=(−A)k=(−1)kAk(A^k)^t = (A^t)^k = (-A)^k = (-1)^k A^k

    Más en general, (Aᵏ)ᵗ = (Aᵗ)ᵏ = (−A)ᵏ = (−1)ᵏAᵏ. Las potencias pares son simétricas y las impares son antisimétricas.

Para qué sirve

Muestra que «antisimétrica» no se conserva al multiplicar: solo las potencias impares lo son. Aparece, por ejemplo, en el producto vectorial y en las rotaciones infinitesimales de la física.

Demostración

Producto de triangulares superiores

cij=0 (i>j),cii=aii biic_{ij} = 0\ (i > j),\qquad c_{ii} = a_{ii}\, b_{ii}
  1. aik=0 (i>k),bkj=0 (k>j)a_{ik} = 0\ (i > k),\qquad b_{kj} = 0\ (k > j)

    Triangular superior significa que todo lo que queda por debajo de la diagonal es 0: a_ik = 0 si i > k, y b_kj = 0 si k > j.

  2. C=AB:cij=∑k=1naik bkjC = AB:\quad c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}

    El elemento (i, j) de C = AB es la fila i de A por la columna j de B: c_ij es la suma de los productos a_ik · b_kj, con k desde 1 hasta n.

  3. i>j:k<i⇒aik=0,k≥i>j⇒bkj=0i > j:\quad k < i \Rightarrow a_{ik} = 0, \qquad k \geq i > j \Rightarrow b_{kj} = 0

    Tomamos un elemento por debajo de la diagonal de C (i > j) y miramos cada término. Si k < i, entonces a_ik = 0. Si k ≥ i, como i > j se tiene k > j y entonces b_kj = 0. Todos los términos tienen un factor cero.

  4. cij=0+0+⋯+0=0(i>j)c_{ij} = 0 + 0 + \dots + 0 = 0 \qquad (i > j)

    Por tanto c_ij = 0 para i > j: AB tiene ceros bajo la diagonal, es triangular superior.

  5. cii=∑k=1naik bki=aii biic_{ii} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{ki} = a_{ii}\, b_{ii}

    En la diagonal (i = j), el término a_ik · b_ki solo puede ser distinto de 0 si k ≥ i (por A) y k ≤ i (por B), es decir, para k = i. Así c_ii = a_ii · b_ii.

  6. (123045006)(210031005)=(2717012290030)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 17 \\ 0 & 12 & 29 \\ 0 & 0 & 30 \end{pmatrix}

    Ejemplo: las diagonales 1, 4, 6 y 2, 3, 5 dan 1·2 = 2, 4·3 = 12 y 6·5 = 30, exactamente la diagonal del producto. Los ceros siguen debajo.

  7. (AB)t=BtAt(AB)^t = B^t A^t

    Para triangulares inferiores se usa la transpuesta: Aᵗ y Bᵗ son superiores, así que (AB)ᵗ = BᵗAᵗ es superior y, por tanto, AB es inferior.

Para qué sirve

Permite calcular potencias y determinantes de triangulares sin esfuerzo: la diagonal de Aⁿ es la diagonal de A elevada a n.

Demostración

La inversa de una triangular superior es triangular superior

A x=ej  ⇒  xi=0 (i>j)A\, x = e_j \;\Rightarrow\; x_i = 0\ (i > j)
  1. AA−1=I  ⇒  A x=ej(x=(A−1)∙j)A A^{-1} = I \;\Rightarrow\; A\, x = e_j \quad \bigl(x = (A^{-1})_{\bullet j}\bigr)

    La columna j de A⁻¹, que llamamos x, cumple A·x = e_j, donde e_j es la columna j de la identidad (un 1 en la posición j y ceros en el resto). Esto sale de la igualdad AA⁻¹ = I columna a columna.

  2. ann xn=(ej)n,ann≠0a_{nn}\, x_n = (e_j)_n, \qquad a_{nn} \neq 0

    Como A es triangular superior, su última ecuación solo tiene una incógnita: a_nn · x_n = (e_j)_n. Además a_nn ≠ 0, porque el determinante es el producto de la diagonal y A tiene inversa.

  3. j<n:xn=0,  xn−1=0, …, xj+1=0j < n:\quad x_n = 0,\ \ x_{n-1} = 0,\ \dots,\ x_{j+1} = 0

    Si j < n, el lado derecho vale 0 y x_n = 0. Subiendo por las ecuaciones: la anterior es a_(n−1,n−1)·x_(n−1) + a_(n−1,n)·x_n = 0 y, con x_n = 0, queda x_(n−1) = 0. Se sigue igual hasta x_(j+1) = 0.

  4. (A−1)ij=xi=0(i>j)(A^{-1})_{ij} = x_i = 0 \qquad (i > j)

    Los elementos de la columna j de A⁻¹ por debajo de la diagonal (fila i > j) son entonces 0: la inversa es triangular superior.

  5. (123014001)(1−2501−4001)=(100010001)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    Ejemplo: A⁻¹ = ((1, −2, 5), (0, 1, −4), (0, 0, 1)) multiplicada por A da la identidad. Los ceros bajo la diagonal se mantienen en la inversa.

Para qué sirve

Invertir una triangular es mucho más barato que una matriz general: basta con sustitución hacia atrás. Es la base de cómo se resuelven los sistemas en la práctica, tras reducirlos a forma triangular. Para inferiores sirve el mismo argumento con la transpuesta.

Demostración

Toda matriz cuadrada = simétrica + antisimétrica

A=A+At2⏟S+A−At2⏟KA = \underbrace{\frac{A + A^t}{2}}_{S} + \underbrace{\frac{A - A^t}{2}}_{K}
  1. St=At+(At)t2=At+A2=SS^t = \frac{A^t + (A^t)^t}{2} = \frac{A^t + A}{2} = S

    Llamamos S = (A + Aᵗ)/2. Su transpuesta es (Aᵗ + (Aᵗ)ᵗ)/2 = (Aᵗ + A)/2 = S, luego S es simétrica.

  2. Kt=At−(At)t2=At−A2=−KK^t = \frac{A^t - (A^t)^t}{2} = \frac{A^t - A}{2} = -K

    Llamamos K = (A − Aᵗ)/2. Su transpuesta es (Aᵗ − A)/2, que es el opuesto de K, luego K es antisimétrica.

  3. S+K=A+At+A−At2=2A2=AS + K = \frac{A + A^t + A - A^t}{2} = \frac{2A}{2} = A

    Sumándolas, los términos Aᵗ se cancelan: S + K = (2A)/2 = A. Así queda demostrada la descomposición.

  4. A=(1423):A+At=(2666),A−At=(02−20)A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}:\quad A + A^t = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix},\quad A - A^t = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A = ((1, 4), (2, 3)): A + Aᵗ = ((2, 6), (6, 6)) y A − Aᵗ = ((0, 2), (−2, 0)).

  5. S=(1333),K=(01−10),S+K=(1423)S = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix},\quad K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad S + K = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

    Dividiendo entre 2: S = ((1, 3), (3, 3)) y K = ((0, 1), (−1, 0)). En el dibujo, el 4 y el 2 de A se reparten: el promedio 3 va a S y la mitad de la diferencia (±1) va a K. S + K da de nuevo A.

  6. A=S′+K′  ⇒  At=S′−K′  ⇒  S′=A+At2, K′=A−At2A = S' + K' \;\Rightarrow\; A^t = S' - K' \;\Rightarrow\; S' = \frac{A + A^t}{2},\ K' = \frac{A - A^t}{2}

    La descomposición es única: si A = S' + K' con S' simétrica y K' antisimétrica, al transponer queda Aᵗ = S' − K'. Sumando y restando con A se obtienen justamente las fórmulas de S y de K.

Para qué sirve

Permite estudiar una matriz cualquiera separando su parte «espejo» (simétrica) de su parte «giro» (antisimétrica). Se usa, por ejemplo, en mecánica de sólidos, donde la deformación es la parte simétrica y la rotación la antisimétrica.

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