Guia interactiva · raons trigonomètriques

Cercle Trigonomètric

Arrossega els punts sobre el cercle o escriu els angles. Cada segment de color és una raó trigonomètrica: la seva longitud (amb signe) és el seu valor. Prem qualsevol fórmula de la guia per veure'n la demostració.

Convida'm a un cafè
Angle
θ = 60°
= π/3 rad ≈1,0472 rad
Quadrant I · angle de referència 60°
°
De 0° a 360°. També pots escriure en radiants amb π, per exemple π/3.
Valors
1 · Punt de partida

Què és el cercle unitari

És una circumferència de radi 1 centrada a l'origen (0, 0). Un angle θ es mesura des de l'eix x positiu, girant en sentit antihorari. On el costat final de l'angle talla el cercle hi ha el punt P, i les seves coordenades són justament P = (cos θ, sin θ).

GrauUna volta completa són 360°.
RadiantAngle l'arc del qual mesura el mateix que el radi. Una volta són 2π rad. Per passar-hi: rad = graus · π / 180.Veure d'on surt
QuadrantCadascuna de les 4 zones en què els eixos divideixen el pla, numerades de I a IV en sentit antihorari.
Angle de referènciaL'angle agut entre el costat final i l'eix x. Les seves raons són les mateixes que les de θ, llevat del signe.
2 · Les sis raons

Què mesura cada segment

Com que el radi és 1, la hipotenusa del triangle val 1 i cada raó es converteix en una longitud que es pot veure.

sin Sinus

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

Segment taronja vertical des de l'eix x fins a P. És l'altura del punt. Sempre entre −1 i 1.

Veure per què

cos Cosinus

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Segment morat horitzontal des de l'origen fins a l'ombra de P sobre l'eix x. Sempre entre −1 i 1.

Veure per què

tg Tangent

tg⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segment groc sobre la recta x = 1, que és tangent al cercle (d'aquí el nom). No existeix a 90° i 270°, perquè cos = 0.

Veure per què

cotg Cotangent

cotg⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Segment blau sobre la recta y = 1. No existeix a 0° i 180°, perquè sin = 0.

Veure per què

sec Secant

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segment vermell des de l'origen fins a l'extrem de la tangent. El seu valor absolut mai baixa d'1.

Veure per què

cosec Cosecant

cosec⁡θ=1/sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Segment verd des de l'origen fins a l'extrem de la cotangent. El seu valor absolut mai baixa d'1.

Veure per què
3 · Relacions

Identitats fonamentals

Una identitat és una igualtat que es compleix per a qualsevol angle (sempre que les raons existeixin). Sota cadascuna en veus la comprovació amb l'angle actual; prem-la per veure'n la demostració.

Recíproques

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1

Sinus i cosecant són inverses.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Veure demostració
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Cosinus i secant són inverses.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Veure demostració
tg⁡θ⋅cotg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = 1

Tangent i cotangent són inverses.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Veure demostració

De quocient

tg⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

La tangent és el sinus entre el cosinus.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Veure demostració
cotg⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

La cotangent és el cosinus entre el sinus.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Veure demostració

Pitagòriques

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Teorema de Pitàgores en el triangle taronja–morat, amb hipotenusa 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Veure demostració
1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Pitàgores en el triangle gran de la recta x = 1 (groc i vermell).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Veure demostració
1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

Pitàgores en el triangle de la recta y = 1 (blau i verd).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Veure demostració
4 · Signes

Signe segons el quadrant

El sinus és positiu per sobre de l'eix x; el cosinus, a la dreta de l'eix y. Les altres hereten el signe d'aquestes dues.

II · 90°–180° Positives: sin, cosec
I · 0°–90° Positives: totes
III · 180°–270° Positives: tg, cotg
IV · 270°–360° Positives: cos, sec
5 · De memòria

Angles notables

Prem una fila per portar el punt a aquell angle. Per a altres quadrants, fes servir l'angle de referència i posa el signe del quadrant.

GrausRadiantssincostgcotgseccosec
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · Per a què serveix

On es fan servir

Resoldre trianglesCalcular costats i angles desconeguts: altures, distàncies, pendents.
Descompondre vectorsEn física, una força F amb angle θ té components F cos θ i F sin θ.
Moviment circular i onesUn punt que gira descriu (cos t, sin t); la seva altura en el temps és una ona sinusoïdal (so, corrent altern).
Gràfics i rotacionsRotar un punt en un videojoc o en un gràfic fa servir una matriu amb el cos i el sin de l'angle.
Demostració

Per què sin θ = y

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P és el punt on el costat de l'angle talla el cercle. Si baixem una línia vertical des de P fins a l'eix x, es forma un triangle rectangle (un dels seus angles mesura 90°).

  2. hipotenusa=1\text{hipotenusa} = \hl{1}

    La hipotenusa és el costat més llarg, el que està davant de l'angle recte. Aquí és el radi del cercle, que mesura 1.

  3. sin⁡θ=catet oposathipotenusa\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}}

    Definició de sinus. El catet oposat és el costat que està davant de θ, sense tocar-lo: l'altura del punt.

  4. sin⁡θ=y1\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    Substituïm: el catet oposat mesura y, i la hipotenusa mesura 1.

  5. sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

    Dividir entre 1 no canvia res.

Per a què serveix

El sinus es llegeix directament al dibuix: és l'altura (coordenada y) del punt P.

Demostració

Per què cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Igual que amb el sinus, P i la seva ombra sobre l'eix x formen un triangle rectangle.

  2. hipotenusa=1\text{hipotenusa} = \hl{1}

    La hipotenusa és el radi del cercle.

  3. cos⁡θ=catet contiguhipotenusa\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{catet contigu}}{\text{hipotenusa}}

    Definició de cosinus. El catet contigu és el que toca l'angle θ (sense ser la hipotenusa): la base del triangle.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    La base mesura x i la hipotenusa 1.

Per a què serveix

El cosinus és la coordenada x de P: quant s'ha desplaçat el punt en horitzontal.

Demostració

Per què el segment groc és tg θ

tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tg⁡θ=catet oposatcatet contigu=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}} = \dfrac{y}{x}

    Definició de tangent en un triangle rectangle. En el triangle petit l'oposat és y i el contigu és x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    Allarguem el costat de l'angle fins a la recta x = 1: apareix un triangle gran de base 1 i altura t (el segment groc). El símbol ∼ vol dir «semblant».

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    Els dos triangles tenen els mateixos angles (comparteixen θ i tots dos tenen 90°). Són semblants: mateixa forma, diferent mida, i els seus costats són proporcionals.

  4. t=yx=tg⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tg}\theta

    Aïllem t. El segment groc mesura justament la tangent. Es diu així perquè la recta x = 1 toca el cercle en un sol punt: és tangent.

Per a què serveix

La tangent és el pendent de la recta de l'angle: quant puja per cada unitat que avança.

Demostració

Per què el segment blau és cotg θ

cotg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=c\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = c
  1. cotg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tg⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta}

    Definició: la cotangent és la inversa de la tangent.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    Allarguem el costat de l'angle fins a la recta horitzontal y = 1. Es forma un triangle amb altura 1 i base c (el segment blau).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    La recta y = 1 és paral·lela a l'eix x, i la diagonal talla totes dues amb el mateix angle (angles alterns).

  4. tg⁡θ=1c\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    Des d'aquella cantonada, el costat del davant mesura 1 i el costat que la toca mesura c: tangent = oposat / contigu.

  5. c=1tg⁡θ=cotg⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta} = \operatorname{cotg}\theta

    Aïllem c.

Per a què serveix

És la inversa del pendent; apareix en estudiar rectes gairebé verticals.

Demostració

Per què el segment vermell és sec θ

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    És el mateix triangle gran de la tangent: base 1, altura t. La seva hipotenusa h és el segment vermell, des de l'origen fins a la recta x = 1.

  2. cos⁡θ=catet contiguhipotenusa=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{catet contigu}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    Definició de cosinus aplicada al triangle gran: el contigu mesura 1 i la hipotenusa mesura h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    Aïllem h. Per això |sec θ| sempre és 1 o més: la hipotenusa mai és més curta que la base.

Per a què serveix

Apareix en física (components de forces inclinades) i en integrals.

Demostració

Per què el segment verd és cosec θ

cosec⁡θ=1sin⁡θ=h\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    És el triangle de la cotangent: base c, altura 1. La seva hipotenusa h és el segment verd, des de l'origen fins a la recta y = 1.

  2. sin⁡θ=catet oposathipotenusa=1h\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    L'angle θ és a la cantonada (c, 1). Des d'allà, el costat del davant mesura 1.

  3. h=1sin⁡θ=cosec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = \operatorname{cosec}\theta

    Aïllem h.

Per a què serveix

Completa les sis raons; útil per simplificar expressions amb 1/sin.

Demostració

Graus i radiants

θrad=θ°⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Longitud L d'una circumferència de radi r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    Al cercle unitari una volta completa mesura 2π.

  3. 1 rad: ⌢=r1\ \text{rad}:\ \frown = r

    Un radiant és l'angle que abasta un arc (⌒) igual al radi. Per això una volta té 2π radiants.

  4. 360°=2π rad  →  180°=π rad360\degree = 2\pi\ \text{rad} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{rad}

    La mateixa volta mesurada de dues maneres. Dividim entre 2.

  5. 60°⋅π180=π3 rad60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

    Regla de tres: multiplicar per π/180 passa a radiants; per 180/π torna a graus.

Per a què serveix

Les fórmules de física i de càlcul (per exemple, les derivades de sin i cos) només funcionen en radiants.

Demostració

Signes per quadrant

sin⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sin⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    El sinus té el signe de y i el cosinus el de x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    A dalt a la dreta: totes positives.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    A dalt a l'esquerra: només el sinus (i la seva inversa, la cosecant) és positiu.

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    A baix a l'esquerra: sin i cos negatius, però tg = y/x és negatiu/negatiu = positiu.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    A baix a la dreta: només el cosinus (i la secant) és positiu.

  6. sec⁡∼cos⁡,cosec⁡∼sin⁡,cotg⁡∼tg⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{cosec} \sim \operatorname{sin},\quad \operatorname{cotg} \sim \operatorname{tg}

    Una raó i la seva inversa sempre tenen el mateix signe (∼), perquè 1 entre un nombre conserva el signe.

Per a què serveix

Calcular qualsevol angle amb el seu angle de referència: valor de la taula + signe del quadrant.

Demostració

D'on surten els angles notables

sin⁡30°=12⋅sin⁡45°=22⋅sin⁡60°=32\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Si un angle agut mesura 45°, l'altre també (sumen 90°). Els dos catets són iguals; els anomenem a. Apliquem Pitàgores amb hipotenusa 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Aïllem a. Racionalitzar és multiplicar a dalt i a baix per √2 per treure l'arrel del denominador.

  3. sin⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sin} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Els dos catets mesuren el mateix.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Un triangle equilàter (tres costats iguals) té tres angles de 60°. Partit per la meitat dona dos triangles de 30°, 60° i 90° amb hipotenusa 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    La base b es parteix en dues meitats. L'altura h surt amb Pitàgores: h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sin⁡30°=12,cos⁡30°=32,sin⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    El que hi ha davant de 30° és la base curta; el que hi ha davant de 60° és l'altura.

Per a què serveix

Amb dos triangles reconstrueixes tota la taula sense memoritzar-la.

Demostració

sin θ · cosec θ = 1

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1
  1. cosec⁡θ=1sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}

    Definició de cosecant: és la inversa del sinus.

  2. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θ⋅1sin⁡θ\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \operatorname{sin}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}}

    Substituïm la cosecant.

  3. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θsin⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = 1

    Un nombre dividit entre si mateix dona 1. Només val si sin θ ≠ 0 (no es pot dividir entre 0).

Per a què serveix

Per això es diuen raons recíproques: multiplicades donen 1. Permet passar de l'una a l'altra.

Demostració

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Definició de secant: és la inversa del cosinus.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    Substituïm la secant.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Se simplifica, sempre que cos θ ≠ 0.

Per a què serveix

Si coneixes el cosinus, la secant és la seva inversa (i al revés).

Demostració

tg θ · cotg θ = 1

tg⁡θ⋅cotg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = 1
  1. tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cotg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Escrivim totes dues en funció del sinus i el cosinus.

  2. tg⁡θ⋅cotg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Multipliquem.

  3. tg⁡θ⋅cotg⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sin⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sin}\theta}} = 1

    Per multiplicar fraccions es multiplica dalt amb dalt i baix amb baix. Queda el mateix a dalt i a baix: 1.

Per a què serveix

Passar de tangent a cotangent amb cotg θ = 1/tg θ.

Demostració

tg θ = sin θ / cos θ

tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tg⁡θ=catet oposatcatet contigu\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}}

    Definició de tangent en el triangle rectangle.

  2. tg⁡θ=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{y}{x}

    Al cercle unitari l'oposat és y i el contigu és x.

  3. tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Perquè y = sin θ i x = cos θ.

Per a què serveix

És la manera de calcular la tangent quan només coneixes el sinus i el cosinus.

Demostració

cotg θ = cos θ / sin θ

cotg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}
  1. cotg⁡θ=catet contigucatet oposat\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\text{catet contigu}}{\text{catet oposat}}

    Definició de cotangent: la tangent girada.

  2. cotg⁡θ=xy\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{x}{y}

    Al cercle unitari.

  3. cotg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sin}\theta}}

    Canviem x i y per cosinus i sinus.

Per a què serveix

Escriure-ho tot en sinus i cosinus és el primer pas per simplificar gairebé qualsevol expressió.

Demostració

sin²θ + cos²θ = 1

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Teorema de Pitàgores: en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa (c) és la suma dels quadrats dels catets (a i b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    Al cercle unitari els catets són x i y, i la hipotenusa és el radi.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    Substituïm.

  4. (cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sin}\theta)^2 = 1

    Canviem x per cos θ i y per sin θ.

  5. cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sin}^2\theta = 1

    S'escriu cos²θ en lloc de (cos θ)²; és només notació.

  6. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    L'ordre de la suma no importa.

Per a què serveix

Si coneixes una raó, en treus l'altra: cos θ = ±√(1 − sin²θ). És la base de gairebé totes les altres identitats.

Demostració

1 + tg²θ = sec²θ

1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partim de la identitat pitagòrica.

  2. sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    Dividim tots els termes entre cos²θ (es pot si cos θ ≠ 0). Si es fa el mateix als dos costats, la igualtat es manté.

  3. tg⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tg}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sin/cos és tg, cos/cos és 1 i 1/cos és sec.

  4. 1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    Reordenem. A la figura és Pitàgores en el triangle gran: catets 1 i tg θ, hipotenusa sec θ.

Per a què serveix

Passar de tangent a secant sense calcular l'angle; apareix molt en integrals.

Demostració

1 + cotg²θ = cosec²θ

1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partim de la identitat pitagòrica.

  2. sin⁡2θsin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}}

    Ara dividim entre sin²θ (si sin θ ≠ 0).

  3. 1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

    sin/sin és 1, cos/sin és cotg i 1/sin és cosec. És Pitàgores en el triangle de la recta y = 1.

Per a què serveix

Relaciona cotangent i cosecant igual que l'anterior relaciona tangent i secant.

T'ha estat útil?

Aquesta guia és gratuïta i sense anuncis. Si t'ajuda a estudiar, pots convidar-me a un cafè.

Convida'm a un cafè