Guía interactiva · razones trigonométricas

Círculo Trigonométrico

Arrastra los puntos sobre el círculo o escribe los ángulos. Cada segmento de color es una razón trigonométrica: su longitud (con signo) es su valor. Pulsa cualquier fórmula de la guía para ver su demostración.

Invítame a un café
Ángulo
θ = 60°
= π/3 rad ≈1,0472 rad
Cuadrante I · ángulo de referencia 60°
°
De 0° a 360°. También puedes escribir en radianes con π, por ejemplo π/3.
Valores
1 · Punto de partida

Qué es el círculo unitario

Es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen (0, 0). Un ángulo θ se mide desde el eje x positivo, girando en sentido antihorario. Donde el lado final del ángulo corta al círculo está el punto P, y sus coordenadas son justo P = (cos θ, sen θ).

GradoUna vuelta completa son 360°.
RadiánÁngulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Una vuelta son 2π rad. Para pasar: rad = grados · π / 180.Ver de dónde sale
CuadranteCada una de las 4 zonas en que los ejes dividen el plano, numeradas I a IV en sentido antihorario.
Ángulo de referenciaEl ángulo agudo entre el lado final y el eje x. Sus razones son las mismas que las de θ, salvo el signo.
2 · Las seis razones

Qué mide cada segmento

Al ser el radio 1, la hipotenusa del triángulo vale 1 y cada razón se convierte en una longitud que se puede ver.

sen Seno

sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y

Segmento naranja vertical desde el eje x hasta P. Es la altura del punto. Siempre entre −1 y 1.

Ver por qué

cos Coseno

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Segmento morado horizontal desde el origen hasta la sombra de P en el eje x. Siempre entre −1 y 1.

Ver por qué

tan Tangente

tan⁡θ=sen⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \operatorname{sen}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmento amarillo sobre la recta x = 1, que es tangente al círculo (de ahí el nombre). No existe en 90° y 270°, porque cos = 0.

Ver por qué

cot Cotangente

cot⁡θ=cos⁡θ/sen⁡θ\operatorname{cot}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

Segmento azul sobre la recta y = 1. No existe en 0° y 180°, porque sen = 0.

Ver por qué

sec Secante

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmento rojo desde el origen hasta el extremo de la tangente. Su valor absoluto nunca baja de 1.

Ver por qué

csc Cosecante

csc⁡θ=1/sen⁡θ\operatorname{csc}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

Segmento verde desde el origen hasta el extremo de la cotangente. Su valor absoluto nunca baja de 1.

Ver por qué
3 · Relaciones

Identidades fundamentales

Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier ángulo (siempre que las razones existan). Debajo de cada una ves la comprobación con el ángulo actual; pulsa para ver la demostración.

Recíprocas

sen⁡θ⋅csc⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = 1

Seno y cosecante son inversas.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Ver demostración
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Coseno y secante son inversas.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Ver demostración
tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = 1

Tangente y cotangente son inversas.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Ver demostración

De cociente

tan⁡θ=sen⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \operatorname{sen}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

La tangente es el seno entre el coseno.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Ver demostración
cot⁡θ=cos⁡θ/sen⁡θ\operatorname{cot}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

La cotangente es el coseno entre el seno.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Ver demostración

Pitagóricas

sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Teorema de Pitágoras en el triángulo naranja–morado, con hipotenusa 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Ver demostración
1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Pitágoras en el triángulo grande de la recta x = 1 (amarillo y rojo).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Ver demostración
1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \operatorname{cot}^2\theta = \operatorname{csc}^2\theta

Pitágoras en el triángulo de la recta y = 1 (azul y verde).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Ver demostración
4 · Signos

Signo según el cuadrante

El seno es positivo arriba del eje x; el coseno, a la derecha del eje y. Las demás heredan el signo de esas dos.

II · 90°–180° Positivas: sen, csc
I · 0°–90° Positivas: todas
III · 180°–270° Positivas: tan, cot
IV · 270°–360° Positivas: cos, sec
5 · De memoria

Ángulos notables

Pulsa una fila para llevar el punto a ese ángulo. Para otros cuadrantes, usa el ángulo de referencia y pon el signo del cuadrante.

GradosRadianessencostancotseccsc
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · Para qué sirve

Dónde se usan

Resolver triángulosCalcular lados y ángulos desconocidos: alturas, distancias, pendientes.
Descomponer vectoresEn física, una fuerza F con ángulo θ tiene componentes F cos θ y F sen θ.
Movimiento circular y ondasUn punto que gira describe (cos t, sen t); su altura en el tiempo es una onda senoidal (sonido, corriente alterna).
Gráficos y rotacionesRotar un punto en un videojuego o en un gráfico usa una matriz con cos y sen del ángulo.
Demostración

Por qué sen θ = y

sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P es el punto donde el lado del ángulo corta al círculo. Si bajamos una línea vertical desde P hasta el eje x, se forma un triángulo rectángulo (uno de sus ángulos mide 90°).

  2. hipotenusa=1\text{hipotenusa} = \hl{1}

    La hipotenusa es el lado más largo, el que está enfrente del ángulo recto. Aquí es el radio del círculo, que mide 1.

  3. sen⁡θ=cateto opuestohipotenusa\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}

    Definición de seno. El cateto opuesto es el lado que está enfrente de θ, sin tocarlo: la altura del punto.

  4. sen⁡θ=y1\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    Sustituimos: el cateto opuesto mide y, y la hipotenusa mide 1.

  5. sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y

    Dividir entre 1 no cambia nada.

Para qué sirve

El seno se lee directamente en el dibujo: es la altura (coordenada y) del punto P.

Demostración

Por qué cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Igual que con el seno, P y su sombra en el eje x forman un triángulo rectángulo.

  2. hipotenusa=1\text{hipotenusa} = \hl{1}

    La hipotenusa es el radio del círculo.

  3. cos⁡θ=cateto contiguohipotenusa\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}

    Definición de coseno. El cateto contiguo es el que toca al ángulo θ (sin ser la hipotenusa): la base del triángulo.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    La base mide x y la hipotenusa 1.

Para qué sirve

El coseno es la coordenada x de P: cuánto se ha desplazado el punto en horizontal.

Demostración

Por qué el segmento amarillo es tan θ

tan⁡θ=sen⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tan⁡θ=cateto opuestocateto contiguo=yx\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} = \dfrac{y}{x}

    Definición de tangente en un triángulo rectángulo. En el triángulo pequeño el opuesto es y y el contiguo es x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    Alargamos el lado del ángulo hasta la recta x = 1: aparece un triángulo grande de base 1 y altura t (el segmento amarillo). El símbolo ∼ significa «semejante».

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    Los dos triángulos tienen los mismos ángulos (comparten θ y los dos tienen 90°). Son semejantes: misma forma, distinto tamaño, y sus lados son proporcionales.

  4. t=yx=tan⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tan}\theta

    Despejamos t. El segmento amarillo mide justo la tangente. Se llama así porque la recta x = 1 toca al círculo en un solo punto: es tangente.

Para qué sirve

La tangente es la pendiente de la recta del ángulo: cuánto sube por cada unidad que avanza.

Demostración

Por qué el segmento azul es cot θ

cot⁡θ=cos⁡θsen⁡θ=c\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = c
  1. cot⁡θ=cos⁡θsen⁡θ=1tan⁡θ\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tan}\theta}

    Definición: la cotangente es la inversa de la tangente.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    Alargamos el lado del ángulo hasta la recta horizontal y = 1. Se forma un triángulo con altura 1 y base c (el segmento azul).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    La recta y = 1 es paralela al eje x, y la diagonal corta a las dos con el mismo ángulo (ángulos alternos).

  4. tan⁡θ=1c\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    Desde esa esquina, el lado de enfrente mide 1 y el lado que la toca mide c: tangente = opuesto / contiguo.

  5. c=1tan⁡θ=cot⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tan}\theta} = \operatorname{cot}\theta

    Despejamos c.

Para qué sirve

Es la inversa de la pendiente; aparece al estudiar rectas casi verticales.

Demostración

Por qué el segmento rojo es sec θ

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    Es el mismo triángulo grande de la tangente: base 1, altura t. Su hipotenusa h es el segmento rojo, desde el origen hasta la recta x = 1.

  2. cos⁡θ=cateto contiguohipotenusa=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    Definición de coseno aplicada al triángulo grande: el contiguo mide 1 y la hipotenusa mide h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    Despejamos h. Por eso |sec θ| siempre es 1 o más: la hipotenusa nunca es más corta que la base.

Para qué sirve

Aparece en física (componentes de fuerzas inclinadas) y en integrales.

Demostración

Por qué el segmento verde es csc θ

csc⁡θ=1sen⁡θ=h\operatorname{csc}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    Es el triángulo de la cotangente: base c, altura 1. Su hipotenusa h es el segmento verde, desde el origen hasta la recta y = 1.

  2. sen⁡θ=cateto opuestohipotenusa=1h\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    El ángulo θ está en la esquina (c, 1). Desde ahí, el lado de enfrente mide 1.

  3. h=1sen⁡θ=csc⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta} = \operatorname{csc}\theta

    Despejamos h.

Para qué sirve

Completa las seis razones; útil para simplificar expresiones con 1/sen.

Demostración

Grados y radianes

θrad=θ°⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Longitud L de una circunferencia de radio r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    En el círculo unitario una vuelta completa mide 2π.

  3. 1 rad: ⌢=r1\ \text{rad}:\ \frown = r

    Un radián es el ángulo que abarca un arco (⌒) igual al radio. Por eso una vuelta tiene 2π radianes.

  4. 360°=2π rad  →  180°=π rad360\degree = 2\pi\ \text{rad} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{rad}

    La misma vuelta medida de dos formas. Dividimos entre 2.

  5. 60°⋅π180=π3 rad60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

    Regla de tres: multiplicar por π/180 pasa a radianes; por 180/π vuelve a grados.

Para qué sirve

Las fórmulas de física y cálculo (por ejemplo, las derivadas de sen y cos) solo funcionan en radianes.

Demostración

Signos por cuadrante

sen⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sen}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sen⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sen}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    El seno tiene el signo de y y el coseno el de x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    Arriba a la derecha: todas positivas.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    Arriba a la izquierda: solo el seno (y su inversa, la cosecante) es positivo.

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    Abajo a la izquierda: sen y cos negativos, pero tan = y/x es negativo/negativo = positivo.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    Abajo a la derecha: solo el coseno (y la secante) es positivo.

  6. sec⁡∼cos⁡,csc⁡∼sen⁡,cot⁡∼tan⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{csc} \sim \operatorname{sen},\quad \operatorname{cot} \sim \operatorname{tan}

    Una razón y su inversa siempre tienen el mismo signo (∼), porque 1 entre un número conserva su signo.

Para qué sirve

Calcular cualquier ángulo con su ángulo de referencia: valor de la tabla + signo del cuadrante.

Demostración

De dónde salen los ángulos notables

sen⁡30°=12⋅sen⁡45°=22⋅sen⁡60°=32\operatorname{sen} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sen} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sen} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Si un ángulo agudo mide 45°, el otro también (suman 90°). Los dos catetos son iguales; los llamamos a. Aplicamos Pitágoras con hipotenusa 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Despejamos a. Racionalizar es multiplicar arriba y abajo por √2 para quitar la raíz del denominador.

  3. sen⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sen} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Los dos catetos miden lo mismo.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Un triángulo equilátero (tres lados iguales) tiene tres ángulos de 60°. Partido por la mitad da dos triángulos de 30°, 60° y 90° con hipotenusa 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    La base b se parte en dos mitades. La altura h sale con Pitágoras: h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sen⁡30°=12,cos⁡30°=32,sen⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sen} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sen} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    Lo que está enfrente de 30° es la base corta; lo que está enfrente de 60° es la altura.

Para qué sirve

Con dos triángulos reconstruyes toda la tabla sin memorizarla.

Demostración

sen θ · csc θ = 1

sen⁡θ⋅csc⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = 1
  1. csc⁡θ=1sen⁡θ\operatorname{csc}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta}

    Definición de cosecante: es la inversa del seno.

  2. sen⁡θ⋅csc⁡θ=sen⁡θ⋅1sen⁡θ\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = \operatorname{sen}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta}}

    Sustituimos la cosecante.

  3. sen⁡θ⋅csc⁡θ=sen⁡θsen⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = 1

    Un número dividido entre sí mismo da 1. Solo vale si sen θ ≠ 0 (no se puede dividir entre 0).

Para qué sirve

Por eso se llaman razones recíprocas: multiplicadas dan 1. Permite pasar de una a la otra.

Demostración

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Definición de secante: es la inversa del coseno.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    Sustituimos la secante.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Se simplifica, siempre que cos θ ≠ 0.

Para qué sirve

Si conoces el coseno, la secante es su inversa (y al revés).

Demostración

tan θ · cot θ = 1

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = 1
  1. tan⁡θ=sen⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}

    Escribimos las dos en función de seno y coseno.

  2. tan⁡θ⋅cot⁡θ=sen⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsen⁡θ\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}

    Multiplicamos.

  3. tan⁡θ⋅cot⁡θ=sen⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sen⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sen}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sen}\theta}} = 1

    Para multiplicar fracciones se multiplica arriba con arriba y abajo con abajo. Queda lo mismo arriba y abajo: 1.

Para qué sirve

Pasar de tangente a cotangente con cot θ = 1/tan θ.

Demostración

tan θ = sen θ / cos θ

tan⁡θ=sen⁡θcos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tan⁡θ=cateto opuestocateto contiguo\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}

    Definición de tangente en el triángulo rectángulo.

  2. tan⁡θ=yx\operatorname{tan}\theta = \dfrac{y}{x}

    En el círculo unitario el opuesto es y y el contiguo es x.

  3. tan⁡θ=sen⁡θcos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sen}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Porque y = sen θ y x = cos θ.

Para qué sirve

Es la forma de calcular la tangente cuando solo conoces seno y coseno.

Demostración

cot θ = cos θ / sen θ

cot⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}
  1. cot⁡θ=cateto contiguocateto opuesto\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\text{cateto contiguo}}{\text{cateto opuesto}}

    Definición de cotangente: la tangente dada la vuelta.

  2. cot⁡θ=xy\operatorname{cot}\theta = \dfrac{x}{y}

    En el círculo unitario.

  3. cot⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sen}\theta}}

    Cambiamos x e y por coseno y seno.

Para qué sirve

Escribir todo en seno y coseno es el primer paso para simplificar casi cualquier expresión.

Demostración

sen²θ + cos²θ = 1

sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es la suma de los cuadrados de los catetos (a y b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    En el círculo unitario los catetos son x e y, y la hipotenusa es el radio.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    Sustituimos.

  4. (cos⁡θ)2+(sen⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sen}\theta)^2 = 1

    Cambiamos x por cos θ e y por sen θ.

  5. cos⁡2θ+sen⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1

    Se escribe cos²θ en lugar de (cos θ)²; es solo notación.

  6. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    El orden de la suma no importa.

Para qué sirve

Si conoces una razón, sacas la otra: cos θ = ±√(1 − sen²θ). Es la base de casi todas las demás identidades.

Demostración

1 + tan²θ = sec²θ

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partimos de la identidad pitagórica.

  2. sen⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    Dividimos todos los términos entre cos²θ (se puede si cos θ ≠ 0). Si se hace lo mismo a los dos lados, la igualdad se mantiene.

  3. tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tan}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sen/cos es tan, cos/cos es 1 y 1/cos es sec.

  4. 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    Reordenamos. En la figura es Pitágoras en el triángulo grande: catetos 1 y tan θ, hipotenusa sec θ.

Para qué sirve

Pasar de tangente a secante sin calcular el ángulo; aparece mucho en integrales.

Demostración

1 + cot²θ = csc²θ

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \operatorname{cot}^2\theta = \operatorname{csc}^2\theta
  1. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partimos de la identidad pitagórica.

  2. sen⁡2θsen⁡2θ+cos⁡2θsen⁡2θ=1sen⁡2θ\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}}

    Ahora dividimos entre sen²θ (si sen θ ≠ 0).

  3. 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \operatorname{cot}^2\theta = \operatorname{csc}^2\theta

    sen/sen es 1, cos/sen es cot y 1/sen es csc. Es Pitágoras en el triángulo de la recta y = 1.

Para qué sirve

Relaciona cotangente y cosecante igual que la anterior relaciona tangente y secante.

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