Интерактивное пособие · тригонометрические функции

Тригонометрический круг

Перетаскивай точки по окружности или вводи углы. Каждый цветной отрезок — тригонометрическая функция: его длина (со знаком) и есть её значение. Нажми на любую формулу в пособии, чтобы увидеть доказательство.

Угостить кофе
Угол
θ = 60°
= π/3 рад ≈1,0472 рад
Четверть I · опорный угол 60°
°
От 0° до 360°. Можно писать и в радианах через π, например π/3.
Значения
1 · Отправная точка

Что такое единичная окружность

Это окружность радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0). Угол θ отсчитывается от положительной полуоси x против часовой стрелки. Там, где конечная сторона угла пересекает окружность, лежит точка P, и её координаты — ровно P = (cos θ, sin θ).

ГрадусПолный оборот — 360°.
РадианУгол, дуга которого равна радиусу. Полный оборот — 2π рад. Перевод: рад = градусы · π / 180.Откуда это
ЧетвертьКаждая из 4 частей, на которые оси делят плоскость; нумеруются от I до IV против часовой стрелки.
Опорный уголОстрый угол между конечной стороной и осью x. Его функции равны функциям θ с точностью до знака.
2 · Шесть функций

Что измеряет каждый отрезок

Раз радиус равен 1, гипотенуза треугольника тоже равна 1, и каждая функция превращается в длину, которую можно увидеть.

sin Синус

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

Вертикальный оранжевый отрезок от оси x до P. Это высота точки. Всегда от −1 до 1.

Почему так

cos Косинус

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Горизонтальный фиолетовый отрезок от начала координат до проекции P на ось x. Всегда от −1 до 1.

Почему так

tg Тангенс

tg⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Жёлтый отрезок на прямой x = 1, касательной к окружности (отсюда название). Не существует при 90° и 270°, так как cos = 0.

Почему так

ctg Котангенс

ctg⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Синий отрезок на прямой y = 1. Не существует при 0° и 180°, так как sin = 0.

Почему так

sec Секанс

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Красный отрезок от начала координат до конца тангенса. Его модуль никогда не меньше 1.

Почему так

cosec Косеканс

cosec⁡θ=1/sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Зелёный отрезок от начала координат до конца котангенса. Его модуль никогда не меньше 1.

Почему так
3 · Связи

Основные тождества

Тождество — это равенство, верное для любого угла (там, где функции определены). Под каждым — проверка для текущего угла; нажми, чтобы увидеть доказательство.

Обратные

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1

Синус и косеканс — взаимно обратные.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Доказательство
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Косинус и секанс — взаимно обратные.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Доказательство
tg⁡θ⋅ctg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = 1

Тангенс и котангенс — взаимно обратные.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Доказательство

Через отношение

tg⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Тангенс — это синус, делённый на косинус.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Доказательство
ctg⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Котангенс — это косинус, делённый на синус.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Доказательство

Пифагоровы

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Теорема Пифагора в оранжево-фиолетовом треугольнике с гипотенузой 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Доказательство
1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Пифагор в большом треугольнике у прямой x = 1 (жёлтый и красный).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Доказательство
1+ctg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

Пифагор в треугольнике у прямой y = 1 (синий и зелёный).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Доказательство
4 · Знаки

Знак по четвертям

Синус положителен выше оси x, косинус — правее оси y. Остальные функции берут знак от этих двух.

II · 90°–180° Положительны: sin, cosec
I · 0°–90° Положительны: все
III · 180°–270° Положительны: tg, ctg
IV · 270°–360° Положительны: cos, sec
5 · Запомнить

Табличные углы

Нажми на строку, чтобы перенести точку на этот угол. Для других четвертей возьми опорный угол и добавь знак четверти.

ГрадусыРадианыsincostgctgseccosec
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · Зачем это нужно

Где применяются

Решение треугольниковНахождение неизвестных сторон и углов: высот, расстояний, уклонов.
Разложение векторовВ физике сила F под углом θ имеет составляющие F cos θ и F sin θ.
Вращение и волныВращающаяся точка описывает (cos t, sin t); её высота во времени — синусоида (звук, переменный ток).
Графика и поворотыПоворот точки в игре или на графике использует матрицу с cos и sin угла.
Доказательство

Почему sin θ = y

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P — точка, где сторона угла пересекает окружность. Если опустить из P перпендикуляр на ось x, получится прямоугольный треугольник (один из углов равен 90°).

  2. гипотенуза=1\text{гипотенуза} = \hl{1}

    Гипотенуза — самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла. Здесь это радиус окружности, равный 1.

  3. sin⁡θ=противолежащий катетгипотенуза\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

    Определение синуса. Противолежащий катет — сторона напротив θ, не касающаяся его: высота точки.

  4. sin⁡θ=y1\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    Подставляем: противолежащий катет равен y, гипотенуза — 1.

  5. sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

    Деление на 1 ничего не меняет.

Зачем это нужно

Синус можно прочитать прямо на рисунке: это высота (координата y) точки P.

Доказательство

Почему cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Как и для синуса, P и её проекция на ось x образуют прямоугольный треугольник.

  2. гипотенуза=1\text{гипотенуза} = \hl{1}

    Гипотенуза — радиус окружности.

  3. cos⁡θ=прилежащий катетгипотенуза\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

    Определение косинуса. Прилежащий катет — тот, что касается угла θ (и не является гипотенузой): основание треугольника.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    Основание равно x, гипотенуза — 1.

Зачем это нужно

Косинус — это координата x точки P: насколько точка сместилась по горизонтали.

Доказательство

Почему жёлтый отрезок равен tg θ

tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tg⁡θ=противолежащий катетприлежащий катет=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \dfrac{y}{x}

    Определение тангенса в прямоугольном треугольнике. В маленьком треугольнике противолежащий катет — y, прилежащий — x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    Продолжим сторону угла до прямой x = 1: появляется большой треугольник с основанием 1 и высотой t (жёлтый отрезок). Знак ∼ означает «подобен».

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    У обоих треугольников одинаковые углы (общий θ и по 90°). Они подобны: одна форма, разный размер, поэтому стороны пропорциональны.

  4. t=yx=tg⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tg}\theta

    Выражаем t. Жёлтый отрезок в точности равен тангенсу. Название связано с тем, что прямая x = 1 касается окружности в одной точке: это касательная.

Зачем это нужно

Тангенс — это угловой коэффициент прямой: на сколько она поднимается на каждую единицу вправо.

Доказательство

Почему синий отрезок равен ctg θ

ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=c\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = c
  1. ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tg⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta}

    Определение: котангенс — величина, обратная тангенсу.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    Продолжим сторону угла до горизонтальной прямой y = 1. Получится треугольник с высотой 1 и основанием c (синий отрезок).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    Прямая y = 1 параллельна оси x, и наклонная пересекает обе под одним углом (накрест лежащие углы).

  4. tg⁡θ=1c\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    Из этой вершины противолежащая сторона равна 1, а прилежащая — c: тангенс = противолежащий / прилежащий.

  5. c=1tg⁡θ=ctg⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta} = \operatorname{ctg}\theta

    Выражаем c.

Зачем это нужно

Это величина, обратная угловому коэффициенту; появляется при изучении почти вертикальных прямых.

Доказательство

Почему красный отрезок равен sec θ

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    Это тот же большой треугольник, что и для тангенса: основание 1, высота t. Его гипотенуза h — красный отрезок от начала координат до прямой x = 1.

  2. cos⁡θ=прилежащий катетгипотенуза=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \dfrac{1}{h}

    Определение косинуса для большого треугольника: прилежащий катет равен 1, гипотенуза — h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    Выражаем h. Поэтому |sec θ| всегда не меньше 1: гипотенуза не бывает короче основания.

Зачем это нужно

Встречается в физике (составляющие наклонных сил) и в интегралах.

Доказательство

Почему зелёный отрезок равен cosec θ

cosec⁡θ=1sin⁡θ=h\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    Это треугольник котангенса: основание c, высота 1. Его гипотенуза h — зелёный отрезок от начала координат до прямой y = 1.

  2. sin⁡θ=противолежащий катетгипотенуза=1h\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \dfrac{1}{h}

    Угол θ находится в вершине (c, 1). Оттуда противолежащая сторона равна 1.

  3. h=1sin⁡θ=cosec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = \operatorname{cosec}\theta

    Выражаем h.

Зачем это нужно

Дополняет шесть функций; полезен для упрощения выражений с 1/sin.

Доказательство

Градусы и радианы

θрад=θ°⋅π180\theta_{\text{рад}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Длина L окружности радиуса r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    На единичной окружности полный оборот имеет длину 2π.

  3. 1 рад: ⌢=r1\ \text{рад}:\ \frown = r

    Радиан — угол, опирающийся на дугу (⌒), равную радиусу. Поэтому полный оборот составляет 2π радиан.

  4. 360°=2π рад  →  180°=π рад360\degree = 2\pi\ \text{рад} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{рад}

    Один и тот же оборот, измеренный двумя способами. Делим на 2.

  5. 60°⋅π180=π3 рад60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{рад}

    Пропорция: умножение на π/180 даёт радианы, на 180/π — обратно градусы.

Зачем это нужно

Формулы физики и анализа (например, производные sin и cos) работают только в радианах.

Доказательство

Знаки по четвертям

sin⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sin⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    Синус имеет знак y, косинус — знак x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    Справа вверху: все положительны.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    Слева вверху: положителен только синус (и обратный ему косеканс).

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    Слева внизу: sin и cos отрицательны, но tg = y/x — минус на минус = плюс.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    Справа внизу: положителен только косинус (и секанс).

  6. sec⁡∼cos⁡,cosec⁡∼sin⁡,ctg⁡∼tg⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{cosec} \sim \operatorname{sin},\quad \operatorname{ctg} \sim \operatorname{tg}

    Функция и обратная ей всегда одного знака (∼), потому что 1, делённая на число, сохраняет его знак.

Зачем это нужно

Вычислять любой угол через опорный: значение из таблицы + знак четверти.

Доказательство

Откуда берутся табличные углы

sin⁡30°=12⋅sin⁡45°=22⋅sin⁡60°=32\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Если один острый угол равен 45°, то и другой тоже (вместе 90°). Оба катета равны; обозначим их a. Применяем Пифагора с гипотенузой 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Выражаем a. Избавиться от иррациональности — значит умножить числитель и знаменатель на √2, чтобы убрать корень из знаменателя.

  3. sin⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sin} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Оба катета равны.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Равносторонний треугольник (три равные стороны) имеет три угла по 60°. Разрезав его пополам, получим два треугольника 30°-60°-90° с гипотенузой 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    Основание b делится пополам. Высота h — по Пифагору: h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sin⁡30°=12,cos⁡30°=32,sin⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    Напротив 30° лежит короткий катет; напротив 60° — высота.

Зачем это нужно

По двум треугольникам можно восстановить всю таблицу, не заучивая её.

Доказательство

sin θ · cosec θ = 1

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1
  1. cosec⁡θ=1sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}

    Определение косеканса: величина, обратная синусу.

  2. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θ⋅1sin⁡θ\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \operatorname{sin}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}}

    Подставляем косеканс.

  3. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θsin⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = 1

    Число, делённое само на себя, равно 1. Верно только при sin θ ≠ 0 (на 0 делить нельзя).

Зачем это нужно

Поэтому их называют взаимно обратными: их произведение равно 1. Так можно переходить от одной к другой.

Доказательство

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Определение секанса: величина, обратная косинусу.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    Подставляем секанс.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Сокращается при условии cos θ ≠ 0.

Зачем это нужно

Зная косинус, секанс находим как обратную величину (и наоборот).

Доказательство

tg θ · ctg θ = 1

tg⁡θ⋅ctg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = 1
  1. tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Записываем обе функции через синус и косинус.

  2. tg⁡θ⋅ctg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Перемножаем.

  3. tg⁡θ⋅ctg⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sin⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sin}\theta}} = 1

    Дроби умножают числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Сверху и снизу одно и то же: 1.

Зачем это нужно

Переход от тангенса к котангенсу: ctg θ = 1/tg θ.

Доказательство

tg θ = sin θ / cos θ

tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tg⁡θ=противолежащий катетприлежащий катет\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}

    Определение тангенса в прямоугольном треугольнике.

  2. tg⁡θ=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{y}{x}

    На единичной окружности противолежащий катет — y, прилежащий — x.

  3. tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Потому что y = sin θ и x = cos θ.

Зачем это нужно

Так находят тангенс, когда известны только синус и косинус.

Доказательство

ctg θ = cos θ / sin θ

ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}
  1. ctg⁡θ=прилежащий катетпротиволежащий катет\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}

    Определение котангенса: перевёрнутый тангенс.

  2. ctg⁡θ=xy\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{x}{y}

    На единичной окружности.

  3. ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sin}\theta}}

    Заменяем x и y на косинус и синус.

Зачем это нужно

Записать всё через синус и косинус — первый шаг к упрощению почти любого выражения.

Доказательство

sin²θ + cos²θ = 1

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (c) равен сумме квадратов катетов (a и b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    На единичной окружности катеты — x и y, а гипотенуза — радиус.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    Подставляем.

  4. (cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sin}\theta)^2 = 1

    Заменяем x на cos θ, а y на sin θ.

  5. cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sin}^2\theta = 1

    Пишут cos²θ вместо (cos θ)²; это просто обозначение.

  6. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Порядок слагаемых не важен.

Зачем это нужно

Зная одну функцию, находишь другую: cos θ = ±√(1 − sin²θ). На этом держатся почти все остальные тождества.

Доказательство

1 + tg²θ = sec²θ

1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Начинаем с основного тригонометрического тождества.

  2. sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    Делим каждое слагаемое на cos²θ (можно, если cos θ ≠ 0). Если сделать одно и то же с обеими частями, равенство сохраняется.

  3. tg⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tg}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sin/cos — это tg, cos/cos — 1, а 1/cos — sec.

  4. 1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    Переставляем. На рисунке это Пифагор в большом треугольнике: катеты 1 и tg θ, гипотенуза sec θ.

Зачем это нужно

Переход от тангенса к секансу без вычисления угла; часто встречается в интегралах.

Доказательство

1 + ctg²θ = cosec²θ

1+ctg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Начинаем с основного тригонометрического тождества.

  2. sin⁡2θsin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}}

    Теперь делим на sin²θ (если sin θ ≠ 0).

  3. 1+ctg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

    sin/sin — 1, cos/sin — ctg, а 1/sin — cosec. Это Пифагор в треугольнике у прямой y = 1.

Зачем это нужно

Связывает котангенс и косеканс так же, как предыдущее — тангенс и секанс.

Было полезно?

Это пособие бесплатное и без рекламы. Если оно помогает тебе учиться, можешь угостить меня кофе.

Угостить кофе