Guida interattiva · funzioni goniometriche

Circonferenza Goniometrica

Trascina i punti sulla circonferenza o scrivi gli angoli. Ogni segmento colorato è una funzione goniometrica: la sua lunghezza (con segno) è il suo valore. Tocca una formula della guida per vederne la dimostrazione.

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Angolo
θ = 60°
= π/3 rad ≈1,0472 rad
Quadrante I · angolo di riferimento 60°
°
Da 0° a 360°. Puoi anche scrivere in radianti con π, per esempio π/3.
Valori
1 · Punto di partenza

Cos'è la circonferenza goniometrica

È una circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine (0, 0). Un angolo θ si misura a partire dal semiasse x positivo, in senso antiorario. Dove il lato finale dell'angolo taglia la circonferenza c'è il punto P, e le sue coordinate sono proprio P = (cos θ, sen θ).

GradoUn giro completo sono 360°.
RadianteAngolo il cui arco è lungo quanto il raggio. Un giro sono 2π rad. Per convertire: rad = gradi · π / 180.Vedi da dove viene
QuadranteCiascuna delle 4 zone in cui gli assi dividono il piano, numerate da I a IV in senso antiorario.
Angolo di riferimentoL'angolo acuto tra il lato finale e l'asse x. Le sue funzioni sono quelle di θ, a meno del segno.
2 · Le sei funzioni

Cosa misura ogni segmento

Poiché il raggio è 1, l'ipotenusa del triangolo vale 1 e ogni funzione diventa una lunghezza visibile.

sen Seno

sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y

Segmento arancione verticale dall'asse x fino a P. È l'altezza del punto. Sempre tra −1 e 1.

Vedi perché

cos Coseno

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Segmento viola orizzontale dall'origine fino all'ombra di P sull'asse x. Sempre tra −1 e 1.

Vedi perché

tg Tangente

tg⁡θ=sen⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sen}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmento giallo sulla retta x = 1, tangente alla circonferenza (da qui il nome). Non esiste a 90° e 270°, perché cos = 0.

Vedi perché

cotg Cotangente

cotg⁡θ=cos⁡θ/sen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

Segmento blu sulla retta y = 1. Non esiste a 0° e 180°, perché sen = 0.

Vedi perché

sec Secante

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmento rosso dall'origine fino all'estremo della tangente. Il suo valore assoluto non scende mai sotto 1.

Vedi perché

cosec Cosecante

cosec⁡θ=1/sen⁡θ\operatorname{cosec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

Segmento verde dall'origine fino all'estremo della cotangente. Il suo valore assoluto non scende mai sotto 1.

Vedi perché
3 · Relazioni

Identità fondamentali

Un'identità è un'uguaglianza vera per qualsiasi angolo (dove le funzioni esistono). Sotto ognuna vedi la verifica con l'angolo attuale; toccala per vedere la dimostrazione.

Reciproche

sen⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1

Seno e cosecante sono reciproche.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Vedi la dimostrazione
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Coseno e secante sono reciproche.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Vedi la dimostrazione
tg⁡θ⋅cotg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = 1

Tangente e cotangente sono reciproche.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Vedi la dimostrazione

Di quoziente

tg⁡θ=sen⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sen}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

La tangente è il seno diviso il coseno.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Vedi la dimostrazione
cotg⁡θ=cos⁡θ/sen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

La cotangente è il coseno diviso il seno.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Vedi la dimostrazione

Pitagoriche

sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Teorema di Pitagora nel triangolo arancione–viola, con ipotenusa 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Vedi la dimostrazione
1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Pitagora nel triangolo grande della retta x = 1 (giallo e rosso).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Vedi la dimostrazione
1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

Pitagora nel triangolo della retta y = 1 (blu e verde).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Vedi la dimostrazione
4 · Segni

Segno in base al quadrante

Il seno è positivo sopra l'asse x; il coseno, a destra dell'asse y. Le altre ereditano il segno da queste due.

II · 90°–180° Positive: sen, cosec
I · 0°–90° Positive: tutte
III · 180°–270° Positive: tg, cotg
IV · 270°–360° Positive: cos, sec
5 · Da ricordare

Angoli notevoli

Tocca una riga per portare il punto su quell'angolo. Per gli altri quadranti, usa l'angolo di riferimento e aggiungi il segno del quadrante.

GradiRadiantisencostgcotgseccosec
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · A cosa serve

Dove si usano

Risolvere triangoliCalcolare lati e angoli sconosciuti: altezze, distanze, pendenze.
Scomporre vettoriIn fisica, una forza F con angolo θ ha componenti F cos θ e F sen θ.
Moto circolare e ondeUn punto che ruota descrive (cos t, sen t); la sua altezza nel tempo è un'onda sinusoidale (suono, corrente alternata).
Grafica e rotazioniRuotare un punto in un videogioco o in un grafico usa una matrice con cos e sen dell'angolo.
Dimostrazione

Perché sen θ = y

sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P è il punto in cui il lato dell'angolo taglia la circonferenza. Abbassando una verticale da P fino all'asse x si forma un triangolo rettangolo (uno dei suoi angoli misura 90°).

  2. ipotenusa=1\text{ipotenusa} = \hl{1}

    L'ipotenusa è il lato più lungo, quello opposto all'angolo retto. Qui è il raggio della circonferenza, che misura 1.

  3. sen⁡θ=cateto oppostoipotenusa\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}

    Definizione di seno. Il cateto opposto è il lato di fronte a θ, senza toccarlo: l'altezza del punto.

  4. sen⁡θ=y1\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    Sostituiamo: il cateto opposto misura y e l'ipotenusa 1.

  5. sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y

    Dividere per 1 non cambia nulla.

A cosa serve

Il seno si legge direttamente sul disegno: è l'altezza (coordinata y) del punto P.

Dimostrazione

Perché cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Come per il seno, P e la sua ombra sull'asse x formano un triangolo rettangolo.

  2. ipotenusa=1\text{ipotenusa} = \hl{1}

    L'ipotenusa è il raggio della circonferenza.

  3. cos⁡θ=cateto adiacenteipotenusa\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}

    Definizione di coseno. Il cateto adiacente è quello che tocca l'angolo θ (senza essere l'ipotenusa): la base del triangolo.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    La base misura x e l'ipotenusa 1.

A cosa serve

Il coseno è la coordinata x di P: di quanto il punto si è spostato in orizzontale.

Dimostrazione

Perché il segmento giallo è tg θ

tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tg⁡θ=cateto oppostocateto adiacente=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \dfrac{y}{x}

    Definizione di tangente in un triangolo rettangolo. Nel triangolo piccolo l'opposto è y e l'adiacente è x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    Prolunghiamo il lato dell'angolo fino alla retta x = 1: compare un triangolo grande di base 1 e altezza t (il segmento giallo). Il simbolo ∼ significa «simile».

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    I due triangoli hanno gli stessi angoli (condividono θ ed entrambi hanno 90°). Sono simili: stessa forma, dimensioni diverse, quindi lati proporzionali.

  4. t=yx=tg⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tg}\theta

    Ricaviamo t. Il segmento giallo misura esattamente la tangente. Si chiama così perché la retta x = 1 tocca la circonferenza in un solo punto: è tangente.

A cosa serve

La tangente è la pendenza della retta dell'angolo: quanto sale per ogni unità di avanzamento.

Dimostrazione

Perché il segmento blu è cotg θ

cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ=c\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = c
  1. cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ=1tg⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta}

    Definizione: la cotangente è la reciproca della tangente.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    Prolunghiamo il lato dell'angolo fino alla retta orizzontale y = 1. Si forma un triangolo di altezza 1 e base c (il segmento blu).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    La retta y = 1 è parallela all'asse x, e la diagonale taglia entrambe con lo stesso angolo (angoli alterni interni).

  4. tg⁡θ=1c\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    Da quel vertice, il lato opposto misura 1 e il lato adiacente misura c: tangente = opposto / adiacente.

  5. c=1tg⁡θ=cotg⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta} = \operatorname{cotg}\theta

    Ricaviamo c.

A cosa serve

È la reciproca della pendenza; compare quando si studiano rette quasi verticali.

Dimostrazione

Perché il segmento rosso è sec θ

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    È lo stesso triangolo grande della tangente: base 1, altezza t. La sua ipotenusa h è il segmento rosso, dall'origine fino alla retta x = 1.

  2. cos⁡θ=cateto adiacenteipotenusa=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    Definizione di coseno applicata al triangolo grande: l'adiacente misura 1 e l'ipotenusa h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    Ricaviamo h. Per questo |sec θ| è sempre 1 o più: l'ipotenusa non è mai più corta della base.

A cosa serve

Compare in fisica (componenti di forze inclinate) e negli integrali.

Dimostrazione

Perché il segmento verde è cosec θ

cosec⁡θ=1sen⁡θ=h\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    È il triangolo della cotangente: base c, altezza 1. La sua ipotenusa h è il segmento verde, dall'origine fino alla retta y = 1.

  2. sen⁡θ=cateto oppostoipotenusa=1h\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    L'angolo θ si trova nel vertice (c, 1). Da lì, il lato opposto misura 1.

  3. h=1sen⁡θ=cosec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta} = \operatorname{cosec}\theta

    Ricaviamo h.

A cosa serve

Completa le sei funzioni; utile per semplificare espressioni con 1/sen.

Dimostrazione

Gradi e radianti

θrad=θ°⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Lunghezza L di una circonferenza di raggio r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    Sulla circonferenza goniometrica un giro completo è lungo 2π.

  3. 1 rad: ⌢=r1\ \text{rad}:\ \frown = r

    Un radiante è l'angolo che sottende un arco (⌒) lungo quanto il raggio. Per questo un giro ha 2π radianti.

  4. 360°=2π rad  →  180°=π rad360\degree = 2\pi\ \text{rad} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{rad}

    Lo stesso giro misurato in due modi. Dividiamo per 2.

  5. 60°⋅π180=π3 rad60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

    Proporzione: moltiplicare per π/180 dà i radianti; per 180/π si torna ai gradi.

A cosa serve

Le formule di fisica e di analisi (per esempio le derivate di sen e cos) funzionano solo in radianti.

Dimostrazione

Segni per quadrante

sen⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sen}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sen⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sen}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    Il seno ha il segno di y e il coseno quello di x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    In alto a destra: tutte positive.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    In alto a sinistra: solo il seno (e la sua reciproca, la cosecante) è positivo.

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    In basso a sinistra: sen e cos negativi, ma tg = y/x è negativo/negativo = positivo.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    In basso a destra: solo il coseno (e la secante) è positivo.

  6. sec⁡∼cos⁡,cosec⁡∼sen⁡,cotg⁡∼tg⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{cosec} \sim \operatorname{sen},\quad \operatorname{cotg} \sim \operatorname{tg}

    Una funzione e la sua reciproca hanno sempre lo stesso segno (∼), perché 1 diviso un numero ne conserva il segno.

A cosa serve

Calcolare qualsiasi angolo con il suo angolo di riferimento: valore della tabella + segno del quadrante.

Dimostrazione

Da dove vengono gli angoli notevoli

sen⁡30°=12⋅sen⁡45°=22⋅sen⁡60°=32\operatorname{sen} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sen} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sen} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Se un angolo acuto misura 45°, anche l'altro (insieme fanno 90°). I due cateti sono uguali; li chiamiamo a. Applichiamo Pitagora con ipotenusa 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Ricaviamo a. Razionalizzare significa moltiplicare sopra e sotto per √2 per togliere la radice dal denominatore.

  3. sen⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sen} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    I due cateti misurano uguale.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Un triangolo equilatero (tre lati uguali) ha tre angoli di 60°. Diviso a metà dà due triangoli 30°-60°-90° con ipotenusa 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    La base b si divide in due metà. L'altezza h si ricava con Pitagora: h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sen⁡30°=12,cos⁡30°=32,sen⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sen} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sen} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    Di fronte a 30° c'è la base corta; di fronte a 60° c'è l'altezza.

A cosa serve

Con due triangoli ricostruisci tutta la tabella senza impararla a memoria.

Dimostrazione

sen θ · cosec θ = 1

sen⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1
  1. cosec⁡θ=1sen⁡θ\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta}

    Definizione di cosecante: è la reciproca del seno.

  2. sen⁡θ⋅cosec⁡θ=sen⁡θ⋅1sen⁡θ\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \operatorname{sen}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta}}

    Sostituiamo la cosecante.

  3. sen⁡θ⋅cosec⁡θ=sen⁡θsen⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = 1

    Un numero diviso per sé stesso dà 1. Vale solo se sen θ ≠ 0 (non si divide per 0).

A cosa serve

Per questo si chiamano funzioni reciproche: moltiplicate danno 1. Permette di passare dall'una all'altra.

Dimostrazione

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Definizione di secante: è la reciproca del coseno.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    Sostituiamo la secante.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Si semplifica, purché cos θ ≠ 0.

A cosa serve

Se conosci il coseno, la secante è la sua reciproca (e viceversa).

Dimostrazione

tg θ · cotg θ = 1

tg⁡θ⋅cotg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = 1
  1. tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ,cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}

    Scriviamo entrambe in funzione di seno e coseno.

  2. tg⁡θ⋅cotg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsen⁡θ\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}

    Moltiplichiamo.

  3. tg⁡θ⋅cotg⁡θ=sen⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sen⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sen}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sen}\theta}} = 1

    Per moltiplicare frazioni si moltiplicano numeratori e denominatori tra loro. Sopra e sotto c'è la stessa cosa: 1.

A cosa serve

Passare dalla tangente alla cotangente con cotg θ = 1/tg θ.

Dimostrazione

tg θ = sen θ / cos θ

tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tg⁡θ=cateto oppostocateto adiacente\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}

    Definizione di tangente nel triangolo rettangolo.

  2. tg⁡θ=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{y}{x}

    Sulla circonferenza goniometrica l'opposto è y e l'adiacente è x.

  3. tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sen}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Perché y = sen θ e x = cos θ.

A cosa serve

È il modo di calcolare la tangente quando conosci solo seno e coseno.

Dimostrazione

cotg θ = cos θ / sen θ

cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}
  1. cotg⁡θ=cateto adiacentecateto opposto\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}

    Definizione di cotangente: la tangente capovolta.

  2. cotg⁡θ=xy\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{x}{y}

    Sulla circonferenza goniometrica.

  3. cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sen}\theta}}

    Sostituiamo x e y con coseno e seno.

A cosa serve

Scrivere tutto in seno e coseno è il primo passo per semplificare quasi qualsiasi espressione.

Dimostrazione

sen²θ + cos²θ = 1

sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa (c) è la somma dei quadrati dei cateti (a e b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    Sulla circonferenza goniometrica i cateti sono x e y, e l'ipotenusa è il raggio.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    Sostituiamo.

  4. (cos⁡θ)2+(sen⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sen}\theta)^2 = 1

    Sostituiamo x con cos θ e y con sen θ.

  5. cos⁡2θ+sen⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1

    Si scrive cos²θ invece di (cos θ)²; è solo notazione.

  6. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    L'ordine della somma non conta.

A cosa serve

Se conosci una funzione, ricavi l'altra: cos θ = ±√(1 − sen²θ). È la base di quasi tutte le altre identità.

Dimostrazione

1 + tg²θ = sec²θ

1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partiamo dall'identità pitagorica.

  2. sen⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    Dividiamo ogni termine per cos²θ (si può se cos θ ≠ 0). Facendo la stessa cosa a entrambi i membri, l'uguaglianza resta vera.

  3. tg⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tg}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sen/cos è tg, cos/cos è 1 e 1/cos è sec.

  4. 1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    Riordiniamo. Nella figura è Pitagora nel triangolo grande: cateti 1 e tg θ, ipotenusa sec θ.

A cosa serve

Passare dalla tangente alla secante senza calcolare l'angolo; compare spesso negli integrali.

Dimostrazione

1 + cotg²θ = cosec²θ

1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta
  1. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partiamo dall'identità pitagorica.

  2. sen⁡2θsen⁡2θ+cos⁡2θsen⁡2θ=1sen⁡2θ\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}}

    Ora dividiamo per sen²θ (se sen θ ≠ 0).

  3. 1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

    sen/sen è 1, cos/sen è cotg e 1/sen è cosec. È Pitagora nel triangolo della retta y = 1.

A cosa serve

Collega cotangente e cosecante come la precedente collega tangente e secante.

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