Guida interattiva · Somma di angoli

Somma di angoli

Trascina α, β o il risultato sulla circonferenza, oppure scrivi gli angoli. Il pannello applica le formule di addizione e sottrazione e verifica che diano lo stesso valore del calcolo diretto. Tocca una formula della guida per vederne la dimostrazione.

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αβ (l'arco mostra la rotazione da α)α ± βcos(α ± β)sen(α ± β)
°
°
Da 0° a 360°. Puoi anche scrivere in radianti con π, per esempio π/3.
Risultato
α + β = 75°
= 5π/12 rad ≈1,3090 rad
αβα + β
sen√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tg1√3/32+√3
Con le formule di addizione
sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659coincide con sen(75°)
cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588coincide con cos(75°)
tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · L'idea

Cosa significa sommare angoli

Sommare α (alfa) e β (beta) significa ruotare prima di α dall'asse x e poi ancora di β. Sottrarre significa ruotare di β all'indietro. Le formule di addizione danno sen, cos e tg dell'angolo finale usando solo i valori di α e β.

Errore tipico: il seno non si distribuiscesen(α + β) non è quasi mai sen α + sen β. Con gli angoli attuali:
sen 45° + sen 30° = 1,2071  ≠  sen(75°) = 0,9659
2 · Le formule

Addizione e sottrazione

Leggi ± con il segno di sopra per la somma e quello di sotto per la differenza; ∓ è il contrario. Nel coseno il segno si inverte.

Seno

sen⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

Stesso segno dell'operazione. Seno e coseno si mescolano.

Vedi la dimostrazione

Coseno

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

Segno opposto. cos con cos e sen con sen.

Vedi la dimostrazione

Tangente

tg⁡(α±β)=(tg⁡α±tg⁡β)/(1∓tg⁡α tg⁡β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta)

Si ottiene dividendo le due precedenti. Non esiste se il denominatore è 0.

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3 · Esempio svolto

sen 75° senza calcolatrice

75° non è un angolo notevole, ma è la somma di due: 45° + 30°.

  1. 1Scomporre in angoli notevoli75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Applicare la formula del senosen⁡75°=sen⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sen⁡30°\operatorname{sen} 75\degree = \operatorname{sen} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sen} 30\degree
  3. 3Sostituire i valori della tabella=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Moltiplicare e sommare=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Conseguenze

Altre identità importanti

Derivano tutte dalle formule di addizione. La verifica usa gli angoli attuali.

Angolo doppio

sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha
tg⁡2α=2tg⁡α/(1−tg⁡2α)\operatorname{tg} 2\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tg}^2\alpha)

È la somma con β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sen 2α = 1,0000 (diretto 1,0000), cos 2α = 0,0000 (diretto 0,0000), tg 2α non esiste
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Angolo metà (bisezione)

sen⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sen}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

Si ricava dal coseno dell'angolo doppio. Il segno dipende dal quadrante di α/2.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sen = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
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Varianti del coseno doppio

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha

Sostituendo sen² con 1 − cos² (o viceversa).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
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Prostaferesi

sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Trasformano una somma in un prodotto, utile per semplificare.

sen α + sen β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
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5 · A cosa serve

Dove si usano

Valori esattiCalcolare sen, cos o tg di 15°, 75°, 105°… combinando angoli notevoli.
Rotazioni in sequenzaRuotare di α e poi di β equivale a ruotare di α + β; così si dimostra che le matrici di rotazione si moltiplicano.
OndeSommare due suoni di frequenze vicine produce dei «battimenti»: le formule di prostaferesi li spiegano.
Semplificare e risolvereRidurre espressioni, risolvere equazioni goniometriche e calcolare integrali come ∫ sen²x dx con l'angolo doppio.
Dimostrazione

Seno di una somma e di una differenza

sen⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta
  1. sen⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sen} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Angoli complementari (sommano 90°): in un triangolo rettangolo, il cateto opposto a un angolo acuto è adiacente all'altro. Per questo il seno dell'uno è il coseno dell'altro.

  2. sen⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    Applichiamo questo ad α + β e raggruppiamo la parentesi.

  3. sen⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sen⁡(90°−α) sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sen}\beta

    Usiamo la formula del coseno di una differenza, con 90° − α al posto di α.

  4. sen⁡(α+β)=sen⁡α cos⁡β+cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sen}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sen}\beta

    cos(90° − α) = sen α e sen(90° − α) = cos α (di nuovo complementari).

  5. sen⁡(α−β)=sen⁡α cos⁡β−cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha - \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Per la differenza sostituiamo β con −β: cos(−β) = cos β e sen(−β) = −sen β.

A cosa serve

Calcolare seni esatti di angoli non notevoli (15°, 75°, 105°…) e sommare onde in fisica.

Dimostrazione

Coseno di una somma e di una differenza

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta
  1. A=(cos⁡α,sen⁡α),B=(cos⁡β,sen⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sen}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sen}\beta)

    Due punti della circonferenza goniometrica, con angoli α e β. L'angolo tra loro è α − β. Calcoleremo la distanza d tra A e B in due modi.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sen⁡α−sen⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}\beta)^2

    Formula della distanza tra due punti: (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sen⁡2α−2sen⁡α sen⁡β+sen⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sen}^2\alpha - 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta + \operatorname{sen}^2\beta

    Sviluppiamo ogni quadrato con (a − b)² = a² − 2ab + b².

  4. d2=(sen⁡2α+cos⁡2α)+(sen⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sen}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sen}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)

    Raggruppiamo i quadrati di ciascun angolo.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)

    Ogni parentesi colorata vale 1 perché sen² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sen⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sen}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Secondo modo: ruotiamo la figura finché B finisce sull'asse x. Ruotare non cambia le distanze, quindi anche A′B′ misura d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sen⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sen}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Stessa formula della distanza. Sviluppando, sen² + cos² dà di nuovo 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)}

    Le due espressioni sono la stessa distanza, quindi sono uguali.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Togliamo 2 da entrambi i membri e dividiamo per −2. Ecco la formula della differenza.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sen⁡α sen⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Per la somma scriviamo α + β = α − (−β). Un angolo negativo riflette il punto rispetto all'asse x: cos(−β) = cos β e sen(−β) = −sen β. Per questo compare il segno meno.

A cosa serve

È la formula base: da essa derivano quelle del seno, della tangente, dell'angolo doppio e dell'angolo metà.

Dimostrazione

Tangente di una somma e di una differenza

tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}
  1. tg⁡(α±β)=sen⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    La tangente è seno diviso coseno.

  2. tg⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}

    Sostituiamo le formule del seno e del coseno.

  3. tg⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    Dividiamo sopra e sotto per cos α cos β. Il valore non cambia: è come moltiplicare per 1.

  4. tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}

    Semplifichiamo ogni frazione: sen α/cos α = tg α, sen β/cos β = tg β, e ciò che è uguale sopra e sotto dà 1.

A cosa serve

Calcolare l'angolo tra due rette a partire dalle loro pendenze.

Dimostrazione

Angolo doppio

sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sen⁡(α+β)=sen⁡α cos⁡β+cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Partiamo dalla formula della somma.

  2. sen⁡(α+α)=sen⁡α cos⁡α+cos⁡α sen⁡α\operatorname{sen}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\hl{\alpha}

    Poniamo β = α (sommare un angolo a sé stesso).

  3. sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    I due addendi sono uguali.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sen⁡α sen⁡α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha

    Lo stesso trucco con la formula del coseno.

  5. tg⁡2α=tg⁡α+tg⁡α1−tg⁡α tg⁡α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}

    E con quella della tangente.

A cosa serve

Semplificare espressioni e calcolare integrali come ∫ sen x cos x dx.

Dimostrazione

Varianti del coseno doppio

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha

    Coseno dell'angolo doppio.

  2. sen⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sen}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Ricavato da sen²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    Sostituiamo sen²α e sommiamo i cos²α.

  4. cos⁡2α=1−sen⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sen}^2\alpha

    Ora ricaviamo il coseno.

  5. cos⁡2α=(1−sen⁡2α)−sen⁡2α=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sen}^2\alpha)} - \operatorname{sen}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha

    Sostituiamo e sommiamo i sen²α.

A cosa serve

Scegliere la versione con solo seno o solo coseno, a seconda del dato che hai.

Dimostrazione

Angolo metà

sen⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sen⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x

    Una variante del coseno doppio, valida per qualsiasi angolo x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sen⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\dfrac{\alpha}{2}

    Chiamiamo x la metà di α. Allora 2x = α.

  3. 2sen⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sen}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    Portiamo i termini da un membro all'altro.

  4. sen⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Dividiamo per 2 e facciamo la radice quadrata. La radice ha due segni: si sceglie quello del quadrante in cui cade α/2.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Allo stesso modo, partendo da cos 2x = 2cos²x − 1.

A cosa serve

Calcolare valori esatti come sen 15° o cos 22,5° a partire da 30° o 45°.

Dimostrazione

Prostaferesi

sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sen⁡(x+y)=sen⁡x cos⁡y+cos⁡x sen⁡y\operatorname{sen}(x + y) = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sen} y

    Formula della somma.

  2. sen⁡(x−y)=sen⁡x cos⁡y−cos⁡x sen⁡y\operatorname{sen}(x - y) = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sen} y

    Formula della differenza.

  3. sen⁡(x+y)+sen⁡(x−y)=2sen⁡x cos⁡y\operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) = 2\operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y

    Le sommiamo: i termini cos x sen y si annullano.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Cambio di nome. Sommando e sottraendo le due equazioni ricaviamo x e y.

  5. sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Sostituiamo. Facendo lo stesso con le formule del coseno si ottiene cos α + cos β.

A cosa serve

Un prodotto vale 0 se un fattore vale 0, quindi le equazioni diventano più facili. Spiega anche i «battimenti» quando si sommano due suoni.

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