Guia interativo · Soma de ângulos

Soma de ângulos

Arrasta α, β ou o resultado sobre o círculo, ou escreve os ângulos. O painel aplica as fórmulas da soma e da diferença e verifica que dão o mesmo valor que o cálculo direto. Toca em qualquer fórmula do guia para ver a demonstração.

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αβ (o arco mostra o giro a partir de α)α ± βcos(α ± β)sen(α ± β)
°
°
De 0° a 360°. Também podes escrever em radianos com π, por exemplo π/3.
Resultado
α + β = 75°
= 5π/12 rad ≈1,3090 rad
αβα + β
sen√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tg1√3/32+√3
Com as fórmulas da soma
sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659coincide com sen(75°)
cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588coincide com cos(75°)
tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · A ideia

O que é somar ângulos

Somar α (alfa) e β (beta) é rodar primeiro α a partir do eixo x e, daí, rodar mais β. Subtrair é rodar β para trás. As fórmulas da soma dão sen, cos e tg do ângulo final usando apenas os valores de α e β.

Erro típico: o seno não se distribuisen(α + β) quase nunca é sen α + sen β. Com os ângulos atuais:
sen 45° + sen 30° = 1,2071  ≠  sen(75°) = 0,9659
2 · As fórmulas

Soma e diferença

Lê ± com o sinal de cima para a soma e o de baixo para a diferença; ∓ é ao contrário. No cosseno o sinal inverte-se.

Seno

sen⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

Mesmo sinal da operação. Misturam-se seno e cosseno.

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Cosseno

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

Sinal contrário. Junta-se cos com cos e sen com sen.

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Tangente

tg⁡(α±β)=(tg⁡α±tg⁡β)/(1∓tg⁡α tg⁡β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta)

Obtém-se dividindo as duas anteriores. Não existe se o denominador for 0.

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3 · Exemplo resolvido

sen 75° sem calculadora

75° não é um ângulo notável, mas é a soma de dois: 45° + 30°.

  1. 1Decompor em ângulos notáveis75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Aplicar a fórmula do senosen⁡75°=sen⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sen⁡30°\operatorname{sen} 75\degree = \operatorname{sen} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sen} 30\degree
  3. 3Substituir os valores da tabela=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Multiplicar e juntar=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Consequências

Outras identidades importantes

Todas saem das fórmulas da soma. A verificação usa os ângulos atuais.

Ângulo duplo

sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha
tg⁡2α=2tg⁡α/(1−tg⁡2α)\operatorname{tg} 2\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tg}^2\alpha)

É a soma com β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sen 2α = 1,0000 (direto 1,0000), cos 2α = 0,0000 (direto 0,0000), tg 2α não existe
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Ângulo metade

sen⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sen}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

Isola-se a partir do cosseno do ângulo duplo. O sinal depende do quadrante de α/2.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sen = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
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Variantes do cosseno duplo

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha

Trocando sen² por 1 − cos² (ou o contrário).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
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Fórmulas de transformação

sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Convertem uma soma num produto, úteis para simplificar.

sen α + sen β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
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5 · Para que serve

Onde se usam

Valores exatosCalcular sen, cos ou tg de 15°, 75°, 105°… combinando ângulos notáveis.
Rotações seguidasRodar α e depois β é rodar α + β; é assim que se prova que as matrizes de rotação se multiplicam.
OndasSomar dois sons de frequências parecidas produz «batimentos»: as fórmulas de transformação explicam-nos.
Simplificar e resolverReduzir expressões, resolver equações trigonométricas e calcular integrais como ∫ sen²x dx com o ângulo duplo.
Demonstração

Seno da soma e da diferença

sen⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta
  1. sen⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sen} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Ângulos complementares (somam 90°): num triângulo retângulo, o cateto oposto a um ângulo agudo é o adjacente do outro. Por isso o seno de um é o cosseno do outro.

  2. sen⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    Aplicamos isto a α + β e reagrupamos o parêntese.

  3. sen⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sen⁡(90°−α) sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sen}\beta

    Usamos a fórmula do cosseno da diferença, com 90° − α no lugar de α.

  4. sen⁡(α+β)=sen⁡α cos⁡β+cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sen}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sen}\beta

    cos(90° − α) = sen α e sen(90° − α) = cos α (complementares outra vez).

  5. sen⁡(α−β)=sen⁡α cos⁡β−cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha - \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Para a diferença trocamos β por −β: cos(−β) = cos β e sen(−β) = −sen β.

Para que serve

Calcular senos exatos de ângulos não notáveis (15°, 75°, 105°…) e somar ondas em física.

Demonstração

Cosseno da soma e da diferença

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta
  1. A=(cos⁡α,sen⁡α),B=(cos⁡β,sen⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sen}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sen}\beta)

    Dois pontos do círculo trigonométrico, com ângulos α e β. O ângulo entre eles é α − β. Vamos calcular a distância d entre A e B de duas formas.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sen⁡α−sen⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}\beta)^2

    Fórmula da distância entre dois pontos: (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sen⁡2α−2sen⁡α sen⁡β+sen⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sen}^2\alpha - 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta + \operatorname{sen}^2\beta

    Desenvolvemos cada quadrado com (a − b)² = a² − 2ab + b².

  4. d2=(sen⁡2α+cos⁡2α)+(sen⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sen}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sen}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)

    Agrupamos os quadrados de cada ângulo.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)

    Cada parêntese colorido vale 1 por sen² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sen⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sen}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Segunda forma: rodamos a figura até B ficar sobre o eixo x. Rodar não altera distâncias, por isso A′B′ também mede d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sen⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sen}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Mesma fórmula da distância. Ao desenvolver, sen² + cos² volta a dar 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)}

    As duas expressões são a mesma distância, logo são iguais.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Subtraímos 2 aos dois lados e dividimos por −2. Já temos a diferença.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sen⁡α sen⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Para a soma escrevemos α + β = α − (−β). Um ângulo negativo reflete o ponto no eixo x: cos(−β) = cos β e sen(−β) = −sen β. Por isso aparece o sinal menos.

Para que serve

É a fórmula base: dela saem a do seno, a da tangente, a do ângulo duplo e a do ângulo metade.

Demonstração

Tangente da soma e da diferença

tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}
  1. tg⁡(α±β)=sen⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    A tangente é seno a dividir por cosseno.

  2. tg⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}

    Substituímos as fórmulas do seno e do cosseno.

  3. tg⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    Dividimos em cima e em baixo por cos α cos β. O valor não muda: é como multiplicar por 1.

  4. tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}

    Simplificamos cada fração: sen α/cos α = tg α, sen β/cos β = tg β, e o que é igual em cima e em baixo dá 1.

Para que serve

Calcular o ângulo entre duas retas a partir dos seus declives.

Demonstração

Ângulo duplo

sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sen⁡(α+β)=sen⁡α cos⁡β+cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Partimos da fórmula da soma.

  2. sen⁡(α+α)=sen⁡α cos⁡α+cos⁡α sen⁡α\operatorname{sen}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\hl{\alpha}

    Pomos β = α (somar um ângulo a si próprio).

  3. sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    As duas parcelas são iguais.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sen⁡α sen⁡α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha

    O mesmo truque com a fórmula do cosseno.

  5. tg⁡2α=tg⁡α+tg⁡α1−tg⁡α tg⁡α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}

    E com a da tangente.

Para que serve

Simplificar expressões e calcular integrais como ∫ sen x cos x dx.

Demonstração

Variantes do cosseno duplo

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha

    Cosseno do ângulo duplo.

  2. sen⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sen}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Isolado de sen²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    Substituímos sen²α e juntamos os cos²α.

  4. cos⁡2α=1−sen⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sen}^2\alpha

    Agora isolamos o cosseno.

  5. cos⁡2α=(1−sen⁡2α)−sen⁡2α=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sen}^2\alpha)} - \operatorname{sen}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha

    Substituímos e juntamos os sen²α.

Para que serve

Escolher a versão que só tem seno ou só cosseno, conforme o dado que te dão.

Demonstração

Ângulo metade

sen⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sen⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x

    Uma variante do cosseno duplo, válida para qualquer ângulo x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sen⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\dfrac{\alpha}{2}

    Chamamos x à metade de α. Então 2x = α.

  3. 2sen⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sen}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    Passamos termos de um lado para o outro.

  4. sen⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Dividimos por 2 e tiramos a raiz quadrada. A raiz tem dois sinais: escolhe-se o do quadrante onde está α/2.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Igual, partindo de cos 2x = 2cos²x − 1.

Para que serve

Calcular valores exatos como sen 15° ou cos 22,5° a partir de 30° ou 45°.

Demonstração

Fórmulas de transformação

sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sen⁡(x+y)=sen⁡x cos⁡y+cos⁡x sen⁡y\operatorname{sen}(x + y) = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sen} y

    Fórmula da soma.

  2. sen⁡(x−y)=sen⁡x cos⁡y−cos⁡x sen⁡y\operatorname{sen}(x - y) = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sen} y

    Fórmula da diferença.

  3. sen⁡(x+y)+sen⁡(x−y)=2sen⁡x cos⁡y\operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) = 2\operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y

    Somamos as duas: os termos cos x sen y anulam-se.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Mudança de nome. Somando e subtraindo as duas equações isolamos x e y.

  5. sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Substituímos. Fazendo o mesmo com as fórmulas do cosseno obtém-se cos α + cos β.

Para que serve

Um produto vale 0 se algum fator vale 0, por isso resolver equações fica mais fácil. Também explica os «batimentos» ao somar dois sons.

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