Guide interactif · Somme d'angles

Somme d'angles

Fais glisser α, β ou le résultat sur le cercle, ou saisis les angles. Le panneau applique les formules d'addition et de soustraction et vérifie qu'elles donnent la même valeur que le calcul direct. Touche n'importe quelle formule du guide pour voir sa démonstration.

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αβ (l'arc montre la rotation depuis α)α ± βcos(α ± β)sin(α ± β)
°
°
De 0° à 360°. Tu peux aussi écrire en radians avec π, par exemple π/3.
Résultat
α + β = 75°
= 5π/12 rad ≈1,3090 rad
αβα + β
sin√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tan1√3/32+√3
Avec les formules d'addition
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659égal à sin(75°)
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588égal à cos(75°)
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · L'idée

Ce que veut dire additionner des angles

Additionner α (alpha) et β (bêta), c'est tourner d'abord de α depuis l'axe x, puis encore de β. Soustraire, c'est tourner de β en arrière. Les formules d'addition donnent sin, cos et tan de l'angle final à partir des seules valeurs de α et β.

Erreur classique : le sinus ne se distribue passin(α + β) n'est presque jamais sin α + sin β. Avec les angles actuels :
sin 45° + sin 30° = 1,2071  ≠  sin(75°) = 0,9659
2 · Les formules

Somme et différence

Lis ± avec le signe du haut pour la somme et celui du bas pour la différence ; ∓ c'est l'inverse. Dans le cosinus, le signe s'inverse.

Sinus

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Même signe que l'opération. Sinus et cosinus se mélangent.

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Cosinus

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Signe contraire. cos va avec cos et sin avec sin.

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Tangente

tan⁡(α±β)=(tan⁡α±tan⁡β)/(1∓tan⁡α tan⁡β)\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta)

Vient de la division des deux précédentes. N'existe pas si le dénominateur vaut 0.

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3 · Exemple résolu

sin 75° sans calculatrice

75° n'est pas un angle remarquable, mais c'est la somme de deux : 45° + 30°.

  1. 1Décomposer en angles remarquables75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Appliquer la formule du sinussin⁡75°=sin⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sin⁡30°\operatorname{sin} 75\degree = \operatorname{sin} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sin} 30\degree
  3. 3Remplacer par les valeurs du tableau=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Multiplier et regrouper=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Conséquences

Autres identités importantes

Elles découlent toutes des formules d'addition. La vérification utilise les angles actuels.

Angle double

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha
tan⁡2α=2tan⁡α/(1−tan⁡2α)\operatorname{tan} 2\alpha = 2\operatorname{tan}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tan}^2\alpha)

C'est la somme avec β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sin 2α = 1,0000 (direct 1,0000), cos 2α = 0,0000 (direct 0,0000), tan 2α n'existe pas
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Angle moitié

sin⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sin}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

On l'isole à partir du cosinus de l'angle double. Le signe dépend du quadrant de α/2.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sin = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
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Variantes du cosinus double

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

En remplaçant sin² par 1 − cos² (ou l'inverse).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
Voir la démonstration

Somme en produit

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Transforment une somme en produit, pratique pour simplifier.

sin α + sin β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
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5 · À quoi ça sert

Où on les utilise

Valeurs exactesCalculer sin, cos ou tan de 15°, 75°, 105°… en combinant des angles remarquables.
Rotations successivesTourner de α puis de β, c'est tourner de α + β ; c'est ainsi qu'on montre que les matrices de rotation se multiplient.
OndesAdditionner deux sons de fréquences proches produit des « battements » : les formules somme-produit l'expliquent.
Simplifier et résoudreRéduire des expressions, résoudre des équations trigonométriques et calculer des intégrales comme ∫ sin²x dx avec l'angle double.
Démonstration

Sinus d'une somme et d'une différence

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. sin⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sin} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Angles complémentaires (de somme 90°) : dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle aigu est adjacent à l'autre. Le sinus de l'un est donc le cosinus de l'autre.

  2. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    On applique ça à α + β et on regroupe la parenthèse.

  3. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sin⁡(90°−α) sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sin}\beta

    On utilise la formule du cosinus d'une différence, avec 90° − α à la place de α.

  4. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sin}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sin}\beta

    cos(90° − α) = sin α et sin(90° − α) = cos α (encore les complémentaires).

  5. sin⁡(α−β)=sin⁡α cos⁡β−cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha - \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Pour la différence, on remplace β par −β : cos(−β) = cos β et sin(−β) = −sin β.

À quoi ça sert

Calculer les sinus exacts d'angles non remarquables (15°, 75°, 105°…) et additionner des ondes en physique.

Démonstration

Cosinus d'une somme et d'une différence

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. A=(cos⁡α,sin⁡α),B=(cos⁡β,sin⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sin}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sin}\beta)

    Deux points du cercle trigonométrique, d'angles α et β. L'angle entre eux est α − β. On va calculer la distance d entre A et B de deux façons.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sin}\alpha - \operatorname{sin}\beta)^2

    Formule de la distance entre deux points : (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α−2sin⁡α sin⁡β+sin⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sin}^2\alpha - 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta + \operatorname{sin}^2\beta

    On développe chaque carré avec (a − b)² = a² − 2ab + b².

  4. d2=(sin⁡2α+cos⁡2α)+(sin⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sin}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sin}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    On regroupe les carrés de chaque angle.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Chaque parenthèse colorée vaut 1 car sin² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sin⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sin}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Deuxième façon : on fait tourner la figure jusqu'à ce que B soit sur l'axe x. Une rotation ne change pas les distances, donc A′B′ mesure aussi d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sin⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sin}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Même formule de distance. En développant, sin² + cos² redonne 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)}

    Les deux expressions représentent la même distance, elles sont donc égales.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    On retire 2 des deux côtés et on divise par −2. On a la formule de la différence.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sin⁡α sin⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Pour la somme, on écrit α + β = α − (−β). Un angle négatif est le symétrique par rapport à l'axe x : cos(−β) = cos β et sin(−β) = −sin β. D'où le signe moins.

À quoi ça sert

C'est la formule de base : celles du sinus, de la tangente, de l'angle double et de l'angle moitié en découlent.

Démonstration

Tangente d'une somme et d'une différence

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡α tan⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta}{1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta}
  1. tan⁡(α±β)=sin⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    La tangente est le sinus divisé par le cosinus.

  2. tan⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}

    On remplace par les formules du sinus et du cosinus.

  3. tan⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    On divise en haut et en bas par cos α cos β. La valeur ne change pas : c'est comme multiplier par 1.

  4. tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡α tan⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta}{1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta}

    On simplifie chaque fraction : sin α/cos α = tan α, sin β/cos β = tan β, et ce qui est identique en haut et en bas donne 1.

À quoi ça sert

Calculer l'angle entre deux droites à partir de leurs pentes.

Démonstration

Angle double

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    On part de la formule de la somme.

  2. sin⁡(α+α)=sin⁡α cos⁡α+cos⁡α sin⁡α\operatorname{sin}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\hl{\alpha}

    On pose β = α (on ajoute un angle à lui-même).

  3. sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    Les deux termes sont égaux.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sin⁡α sin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Même astuce avec la formule du cosinus.

  5. tan⁡2α=tan⁡α+tan⁡α1−tan⁡α tan⁡α=2tan⁡α1−tan⁡2α\operatorname{tan} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha + \operatorname{tan}\alpha}{1 - \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tan}\alpha}{1 - \operatorname{tan}^2\alpha}

    Et avec celle de la tangente.

À quoi ça sert

Simplifier des expressions et calculer des intégrales comme ∫ sin x cos x dx.

Démonstration

Variantes du cosinus double

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Cosinus de l'angle double.

  2. sin⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sin}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Isolé à partir de sin²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    On remplace sin²α et on regroupe les cos²α.

  4. cos⁡2α=1−sin⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sin}^2\alpha

    Maintenant on isole le cosinus.

  5. cos⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sin}^2\alpha)} - \operatorname{sin}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

    On remplace et on regroupe les sin²α.

À quoi ça sert

Choisir la version qui ne contient que le sinus ou que le cosinus, selon la donnée fournie.

Démonstration

Angle moitié

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sin⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sin}^2 x

    Une variante du cosinus double, valable pour tout angle x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sin⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2}

    On appelle x la moitié de α. Alors 2x = α.

  3. 2sin⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    On fait passer des termes d'un côté à l'autre.

  4. sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    On divise par 2 et on prend la racine carrée. La racine a deux signes : on choisit celui du quadrant où se trouve α/2.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Pareil, en partant de cos 2x = 2cos²x − 1.

À quoi ça sert

Calculer des valeurs exactes comme sin 15° ou cos 22,5° à partir de 30° ou 45°.

Démonstration

Somme en produit

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x + y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Formule de la somme.

  2. sin⁡(x−y)=sin⁡x cos⁡y−cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x - y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Formule de la différence.

  3. sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡x cos⁡y\operatorname{sin}(x + y) + \operatorname{sin}(x - y) = 2\operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y

    On les additionne : les termes cos x sin y s'annulent.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Changement de nom. En additionnant et en soustrayant les deux équations, on obtient x et y.

  5. sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    On remplace. En faisant pareil avec les formules du cosinus, on obtient cos α + cos β.

À quoi ça sert

Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est, ce qui facilite la résolution d'équations. Ça explique aussi les « battements » quand on additionne deux sons.

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