Ghid interactiv · Suma unghiurilor

Suma unghiurilor

Trage α, β sau rezultatul pe cerc ori scrie unghiurile. Panoul aplică formulele de adunare și scădere și verifică dacă dau aceeași valoare ca și calculul direct. Atinge orice formulă din ghid ca să vezi demonstrația.

Cumpără-mi o cafea
αβ (arcul arată rotația pornind de la α)α ± βcos(α ± β)sin(α ± β)
°
°
De la 0° la 360°. Poți scrie și în radiani cu π, de exemplu π/3.
Rezultat
α + β = 75°
= 5π/12 rad ≈1,3090 rad
αβα + β
sin√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tg1√3/32+√3
Cu formulele de adunare
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659coincide cu sin(75°)
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588coincide cu cos(75°)
tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · Ideea

Ce înseamnă să aduni unghiuri

A aduna α (alfa) și β (beta) înseamnă să rotești întâi cu α de la axa x și apoi încă cu β. A scădea înseamnă să rotești cu β înapoi. Formulele de adunare dau sin, cos și tg ale unghiului final folosind doar valorile lui α și β.

Greșeală tipică: sinusul nu se distribuiesin(α + β) aproape niciodată nu este sin α + sin β. Cu unghiurile curente:
sin 45° + sin 30° = 1,2071  ≠  sin(75°) = 0,9659
2 · Formulele

Suma și diferența

Citește ± cu semnul de sus pentru sumă și cu cel de jos pentru diferență; la ∓ e invers. La cosinus semnul se inversează.

Sinus

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Același semn ca operația. Se amestecă sinusul și cosinusul.

Vezi demonstrația

Cosinus

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Semn opus. cos cu cos și sin cu sin.

Vezi demonstrația

Tangentă

tg⁡(α±β)=(tg⁡α±tg⁡β)/(1∓tg⁡α tg⁡β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta)

Se obține împărțind cele două de mai sus. Nu există dacă numitorul este 0.

Vezi demonstrația
3 · Exemplu rezolvat

sin 75° fără calculator

75° nu este un unghi remarcabil, dar este suma a două: 45° + 30°.

  1. 1Descompune în unghiuri remarcabile75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Aplică formula sinusuluisin⁡75°=sin⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sin⁡30°\operatorname{sin} 75\degree = \operatorname{sin} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sin} 30\degree
  3. 3Înlocuiește valorile din tabel=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Înmulțește și adună=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Consecințe

Alte identități importante

Toate decurg din formulele de adunare. Verificarea folosește unghiurile curente.

Unghiul dublu

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha
tg⁡2α=2tg⁡α/(1−tg⁡2α)\operatorname{tg} 2\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tg}^2\alpha)

Este suma cu β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sin 2α = 1,0000 (direct 1,0000), cos 2α = 0,0000 (direct 0,0000), tg 2α nu există
Vezi demonstrația

Unghiul pe jumătate

sin⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sin}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

Se scoate din cosinusul unghiului dublu. Semnul depinde de cadranul lui α/2.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sin = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
Vezi demonstrația

Variante ale cosinusului dublu

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

Înlocuind sin² cu 1 − cos² (sau invers).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
Vezi demonstrația

Transformarea sumelor în produse

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Transformă o sumă într-un produs, util la simplificări.

sin α + sin β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
Vezi demonstrația
5 · La ce folosește

Unde se folosesc

Valori exacteCalcularea sin, cos sau tg pentru 15°, 75°, 105°… combinând unghiuri remarcabile.
Rotații succesiveA roti cu α și apoi cu β înseamnă a roti cu α + β; așa se arată că matricele de rotație se înmulțesc.
UndeDouă sunete cu frecvențe apropiate produc „bătăi”: formulele sumă–produs le explică.
Simplificare și rezolvareSimplificarea expresiilor, rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și calculul integralelor precum ∫ sin²x dx cu unghiul dublu.
Demonstrație

Sinusul sumei și al diferenței

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. sin⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sin} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Unghiuri complementare (suma 90°): într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unui unghi ascuțit este alăturată celuilalt. De aceea sinusul unuia este cosinusul celuilalt.

  2. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    Aplicăm asta lui α + β și regrupăm paranteza.

  3. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sin⁡(90°−α) sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sin}\beta

    Folosim formula cosinusului diferenței, cu 90° − α în locul lui α.

  4. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sin}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sin}\beta

    cos(90° − α) = sin α și sin(90° − α) = cos α (din nou complementare).

  5. sin⁡(α−β)=sin⁡α cos⁡β−cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha - \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Pentru diferență înlocuim β cu −β: cos(−β) = cos β și sin(−β) = −sin β.

La ce folosește

Calcularea sinusurilor exacte ale unghiurilor neremarcabile (15°, 75°, 105°…) și adunarea undelor în fizică.

Demonstrație

Cosinusul sumei și al diferenței

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. A=(cos⁡α,sin⁡α),B=(cos⁡β,sin⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sin}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sin}\beta)

    Două puncte pe cercul trigonometric, cu unghiurile α și β. Unghiul dintre ele este α − β. Vom calcula distanța d dintre A și B în două moduri.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sin}\alpha - \operatorname{sin}\beta)^2

    Formula distanței dintre două puncte: (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α−2sin⁡α sin⁡β+sin⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sin}^2\alpha - 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta + \operatorname{sin}^2\beta

    Dezvoltăm fiecare pătrat cu (a − b)² = a² − 2ab + b².

  4. d2=(sin⁡2α+cos⁡2α)+(sin⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sin}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sin}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Grupăm pătratele fiecărui unghi.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Fiecare paranteză colorată este 1, pentru că sin² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sin⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sin}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Al doilea mod: rotim figura până când B ajunge pe axa x. Rotația nu schimbă distanțele, deci și A′B′ are lungimea d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sin⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sin}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Aceeași formulă a distanței. La dezvoltare, sin² + cos² dă din nou 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)}

    Ambele expresii sunt aceeași distanță, deci sunt egale.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Scădem 2 din ambii membri și împărțim la −2. Avem formula diferenței.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sin⁡α sin⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Pentru sumă scriem α + β = α − (−β). Un unghi negativ reflectă punctul față de axa x: cos(−β) = cos β și sin(−β) = −sin β. De aici apare semnul minus.

La ce folosește

Este formula de bază: din ea decurg cele pentru sinus, tangentă, unghiul dublu și unghiul pe jumătate.

Demonstrație

Tangenta sumei și a diferenței

tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}
  1. tg⁡(α±β)=sin⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    Tangenta este sinus supra cosinus.

  2. tg⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}

    Înlocuim formulele sinusului și cosinusului.

  3. tg⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    Împărțim sus și jos la cos α cos β. Valoarea nu se schimbă: e ca o înmulțire cu 1.

  4. tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}

    Simplificăm fiecare fracție: sin α/cos α = tg α, sin β/cos β = tg β, iar ce e egal sus și jos dă 1.

La ce folosește

Calcularea unghiului dintre două drepte din pantele lor.

Demonstrație

Unghiul dublu

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Pornim de la formula sumei.

  2. sin⁡(α+α)=sin⁡α cos⁡α+cos⁡α sin⁡α\operatorname{sin}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\hl{\alpha}

    Punem β = α (adunăm un unghi cu el însuși).

  3. sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    Cei doi termeni sunt egali.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sin⁡α sin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Același truc cu formula cosinusului.

  5. tg⁡2α=tg⁡α+tg⁡α1−tg⁡α tg⁡α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}

    Și cu cea a tangentei.

La ce folosește

Simplificarea expresiilor și calculul integralelor precum ∫ sin x cos x dx.

Demonstrație

Variante ale cosinusului dublu

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Cosinusul unghiului dublu.

  2. sin⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sin}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Scos din sin²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    Înlocuim sin²α și adunăm termenii în cos²α.

  4. cos⁡2α=1−sin⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sin}^2\alpha

    Acum scoatem cosinusul.

  5. cos⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sin}^2\alpha)} - \operatorname{sin}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

    Înlocuim și adunăm termenii în sin²α.

La ce folosește

Alegi varianta care are doar sinus sau doar cosinus, după datele pe care le ai.

Demonstrație

Unghiul pe jumătate

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sin⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sin}^2 x

    O variantă a cosinusului dublu, valabilă pentru orice unghi x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sin⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2}

    Notăm cu x jumătatea lui α. Atunci 2x = α.

  3. 2sin⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    Trecem termenii dintr-o parte în alta.

  4. sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Împărțim la 2 și extragem radicalul. Radicalul are două semne: îl alegi pe cel al cadranului în care se află α/2.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    La fel, pornind de la cos 2x = 2cos²x − 1.

La ce folosește

Calcularea valorilor exacte precum sin 15° sau cos 22,5° din 30° sau 45°.

Demonstrație

Transformarea sumelor în produse

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x + y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Formula sumei.

  2. sin⁡(x−y)=sin⁡x cos⁡y−cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x - y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Formula diferenței.

  3. sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡x cos⁡y\operatorname{sin}(x + y) + \operatorname{sin}(x - y) = 2\operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y

    Le adunăm: termenii cos x sin y se reduc.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Schimbare de notație. Adunând și scăzând cele două ecuații îi aflăm pe x și y.

  5. sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Înlocuim. Procedând la fel cu formulele cosinusului se obține cos α + cos β.

La ce folosește

Un produs este 0 dacă un factor este 0, deci ecuațiile se rezolvă mai ușor. Explică și „bătăile” când se adună două sunete.

Ți-a fost util?

Acest ghid este gratuit și fără reclame. Dacă te ajută la învățat, poți să-mi cumperi o cafea.

Cumpără-mi o cafea