Guía interactiva · Suma de ángulos

Suma de ángulos

Arrastra α, β o el resultado sobre el círculo, o escribe los ángulos. El panel aplica las fórmulas de suma y resta y comprueba que dan el mismo valor que el cálculo directo. Pulsa cualquier fórmula de la guía para ver su demostración.

Invítame a un café
αβ (el arco muestra el giro desde α)α ± βcos(α ± β)sen(α ± β)
°
°
De 0° a 360°. También puedes escribir en radianes con π, por ejemplo π/3.
Resultado
α + β = 75°
= 5π/12 rad ≈1,3090 rad
αβα + β
sen√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tan1√3/32+√3
Con las fórmulas de suma
sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659coincide con sen(75°)
cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588coincide con cos(75°)
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · La idea

Qué es sumar ángulos

Sumar α (alfa) y β (beta) es girar primero α desde el eje x y, desde ahí, girar β más. Restar es girar β hacia atrás. Las fórmulas de suma calculan sen, cos y tan del ángulo final usando solo los valores de α y β.

Error típico: el seno no se repartesen(α + β) casi nunca es sen α + sen β. Con los ángulos actuales:
sen 45° + sen 30° = 1,2071  ≠  sen(75°) = 0,9659
2 · Las fórmulas

Suma y resta

Lee ± con el signo de arriba para la suma y el de abajo para la resta; ∓ va al revés. En el coseno el signo se invierte.

Seno

sen⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

Mismo signo que la operación. Se mezclan seno y coseno.

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Coseno

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

Signo contrario. Se agrupan cos con cos y sen con sen.

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Tangente

tan⁡(α±β)=(tan⁡α±tan⁡β)/(1∓tan⁡α tan⁡β)\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta)

Sale de dividir las dos anteriores. No existe si el denominador es 0.

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3 · Ejemplo resuelto

sen 75° sin calculadora

75° no es un ángulo notable, pero sí es la suma de dos: 45° + 30°.

  1. 1Descomponer en notables75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Aplicar la fórmula del senosen⁡75°=sen⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sen⁡30°\operatorname{sen} 75\degree = \operatorname{sen} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sen} 30\degree
  3. 3Sustituir los valores de la tabla=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Multiplicar y juntar=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Consecuencias

Otras identidades importantes

Todas salen de las fórmulas de suma. La comprobación usa los ángulos actuales.

Ángulo doble

sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha
tan⁡2α=2tan⁡α/(1−tan⁡2α)\operatorname{tan} 2\alpha = 2\operatorname{tan}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tan}^2\alpha)

Es la suma con β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sen 2α = 1,0000 (directo 1,0000), cos 2α = 0,0000 (directo 0,0000), tan 2α no existe
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Ángulo mitad

sen⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sen}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

Despejando del coseno del doble. El signo lo da el cuadrante de α/2.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sen = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
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Variantes del coseno doble

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha

Cambiando sen² por 1 − cos² (o al revés).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
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Sumas a productos

sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Convierten una suma en un producto, útil para simplificar.

sen α + sen β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
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5 · Para qué sirve

Dónde se usan

Valores exactosCalcular sen, cos o tan de 15°, 75°, 105°… combinando ángulos notables.
Rotaciones encadenadasGirar α y luego β es girar α + β; así se demuestra que las matrices de rotación se multiplican.
OndasSumar dos sonidos de frecuencias parecidas produce «batidos»: se explica con sumas a productos.
Simplificar y resolverReducir expresiones, resolver ecuaciones trigonométricas y calcular integrales como ∫ sen²x dx con el ángulo doble.
Demostración

Seno de una suma y una resta

sen⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta
  1. sen⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sen} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Ángulos complementarios (suman 90°): en un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo agudo es el contiguo del otro. Por eso el seno de uno es el coseno del otro.

  2. sen⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    Aplicamos lo anterior a α + β y reagrupamos el paréntesis.

  3. sen⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sen⁡(90°−α) sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sen}\beta

    Usamos la fórmula del coseno de una resta, poniendo 90° − α en lugar de α.

  4. sen⁡(α+β)=sen⁡α cos⁡β+cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sen}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sen}\beta

    cos(90° − α) = sen α y sen(90° − α) = cos α (complementarios otra vez).

  5. sen⁡(α−β)=sen⁡α cos⁡β−cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha - \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Para la resta cambiamos β por −β: cos(−β) = cos β y sen(−β) = −sen β.

Para qué sirve

Calcular senos exactos de ángulos no notables (15°, 75°, 105°…) y sumar ondas en física.

Demostración

Coseno de una suma y una resta

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta
  1. A=(cos⁡α,sen⁡α),B=(cos⁡β,sen⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sen}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sen}\beta)

    Dos puntos del círculo unitario, con ángulos α y β. El ángulo entre ellos es α − β. Vamos a calcular la distancia d entre A y B de dos formas.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sen⁡α−sen⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}\beta)^2

    Fórmula de la distancia entre dos puntos: (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sen⁡2α−2sen⁡α sen⁡β+sen⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sen}^2\alpha - 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta + \operatorname{sen}^2\beta

    Desarrollamos cada cuadrado con (a − b)² = a² − 2ab + b².

  4. d2=(sen⁡2α+cos⁡2α)+(sen⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sen}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sen}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)

    Agrupamos los cuadrados de cada ángulo.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)

    Cada paréntesis de color vale 1 por sen² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sen⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sen}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Segunda forma: giramos la figura hasta que B quede sobre el eje x. Girar no cambia distancias, así que A′B′ también mide d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sen⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sen}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Misma fórmula de la distancia. Al desarrollar, sen² + cos² vuelve a dar 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)}

    Las dos expresiones son la misma distancia, así que son iguales.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Restamos 2 a ambos lados y dividimos entre −2. Ya tenemos la resta.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sen⁡α sen⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sen⁡α sen⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Para la suma escribimos α + β = α − (−β). Un ángulo negativo refleja el punto en el eje x: cos(−β) = cos β y sen(−β) = −sen β. Por eso aparece el signo menos.

Para qué sirve

Es la fórmula base: de ella salen la del seno, la tangente, el ángulo doble y el ángulo mitad.

Demostración

Tangente de una suma y una resta

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡α tan⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta}{1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta}
  1. tan⁡(α±β)=sen⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    La tangente es seno entre coseno.

  2. tan⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}

    Sustituimos las fórmulas del seno y del coseno.

  3. tan⁡(α±β)=sen⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sen⁡α sen⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    Dividimos arriba y abajo entre cos α cos β. No cambia el valor: es como multiplicar por 1.

  4. tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡α tan⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta}{1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta}

    Simplificamos cada fracción: sen α/cos α = tan α, sen β/cos β = tan β, y lo que es igual arriba y abajo da 1.

Para qué sirve

Calcular el ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes.

Demostración

Ángulo doble

sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sen⁡(α+β)=sen⁡α cos⁡β+cos⁡α sen⁡β\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta

    Partimos de la fórmula de la suma.

  2. sen⁡(α+α)=sen⁡α cos⁡α+cos⁡α sen⁡α\operatorname{sen}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\hl{\alpha}

    Ponemos β = α (sumar un ángulo consigo mismo).

  3. sen⁡2α=2sen⁡α cos⁡α\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    Los dos sumandos son iguales.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sen⁡α sen⁡α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha

    El mismo truco con la fórmula del coseno.

  5. tan⁡2α=tan⁡α+tan⁡α1−tan⁡α tan⁡α=2tan⁡α1−tan⁡2α\operatorname{tan} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha + \operatorname{tan}\alpha}{1 - \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tan}\alpha}{1 - \operatorname{tan}^2\alpha}

    Y con la de la tangente.

Para qué sirve

Simplificar expresiones y calcular integrales como ∫ sen x cos x dx.

Demostración

Variantes del coseno doble

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha

    Coseno del ángulo doble.

  2. sen⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sen}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Despejado de sen²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    Sustituimos sen²α y juntamos los cos²α.

  4. cos⁡2α=1−sen⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sen}^2\alpha

    Ahora despejamos el coseno.

  5. cos⁡2α=(1−sen⁡2α)−sen⁡2α=1−2sen⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sen}^2\alpha)} - \operatorname{sen}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha

    Sustituimos y juntamos los sen²α.

Para qué sirve

Elegir la versión que solo tiene seno o solo coseno, según el dato que te den.

Demostración

Ángulo mitad

sen⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sen⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x

    Una variante del coseno doble, válida para cualquier ángulo x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sen⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2\dfrac{\alpha}{2}

    Llamamos x a la mitad de α. Entonces 2x = α.

  3. 2sen⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sen}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    Pasamos términos de un lado a otro.

  4. sen⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Dividimos entre 2 y hacemos la raíz cuadrada. La raíz tiene dos signos: se elige el del cuadrante donde cae α/2.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Igual, partiendo de cos 2x = 2cos²x − 1.

Para qué sirve

Calcular valores exactos como sen 15° o cos 22,5° a partir de 30° o 45°.

Demostración

Sumas a productos

sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sen⁡(x+y)=sen⁡x cos⁡y+cos⁡x sen⁡y\operatorname{sen}(x + y) = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sen} y

    Fórmula de la suma.

  2. sen⁡(x−y)=sen⁡x cos⁡y−cos⁡x sen⁡y\operatorname{sen}(x - y) = \operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sen} y

    Fórmula de la resta.

  3. sen⁡(x+y)+sen⁡(x−y)=2sen⁡x cos⁡y\operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) = 2\operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} y

    Sumamos las dos: los términos cos x sen y se cancelan.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Cambio de nombre. Sumando y restando las dos ecuaciones despejamos x e y.

  5. sen⁡α+sen⁡β=2sen⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Sustituimos. Haciendo lo mismo con las fórmulas del coseno sale cos α + cos β.

Para qué sirve

Un producto vale 0 si algún factor vale 0, así que resolver ecuaciones es más fácil. También explica los «batidos» al sumar dos sonidos.

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