Guia interactiva · Suma d'angles

Suma d'angles

Arrossega α, β o el resultat sobre el cercle, o escriu els angles. El panell aplica les fórmules de suma i resta i comprova que donen el mateix valor que el càlcul directe. Prem qualsevol fórmula de la guia per veure'n la demostració.

Convida'm a un cafè
αβ (l'arc mostra el gir des d'α)α ± βcos(α ± β)sin(α ± β)
°
°
De 0° a 360°. També pots escriure en radiants amb π, per exemple π/3.
Resultat
α + β = 75°
= 5π/12 rad ≈1,3090 rad
αβα + β
sin√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tg1√3/32+√3
Amb les fórmules de suma
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659coincideix amb sin(75°)
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588coincideix amb cos(75°)
tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · La idea

Què és sumar angles

Sumar α (alfa) i β (beta) és girar primer α des de l'eix x i, des d'allà, girar β més. Restar és girar β enrere. Les fórmules de suma calculen sin, cos i tg de l'angle final fent servir només els valors d'α i β.

Error típic: el sinus no es reparteixsin(α + β) gairebé mai és sin α + sin β. Amb els angles actuals:
sin 45° + sin 30° = 1,2071  ≠  sin(75°) = 0,9659
2 · Les fórmules

Suma i resta

Llegeix ± amb el signe de dalt per a la suma i el de baix per a la resta; ∓ va al revés. En el cosinus el signe s'inverteix.

Sinus

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Mateix signe que l'operació. Es barregen sinus i cosinus.

Veure demostració

Cosinus

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Signe contrari. S'agrupa cos amb cos i sin amb sin.

Veure demostració

Tangent

tg⁡(α±β)=(tg⁡α±tg⁡β)/(1∓tg⁡α tg⁡β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta)

Surt de dividir les dues anteriors. No existeix si el denominador és 0.

Veure demostració
3 · Exemple resolt

sin 75° sense calculadora

75° no és un angle notable, però sí que és la suma de dos: 45° + 30°.

  1. 1Descompondre en notables75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Aplicar la fórmula del sinussin⁡75°=sin⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sin⁡30°\operatorname{sin} 75\degree = \operatorname{sin} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sin} 30\degree
  3. 3Substituir els valors de la taula=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Multiplicar i ajuntar=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Conseqüències

Altres identitats importants

Totes surten de les fórmules de suma. La comprovació fa servir els angles actuals.

Angle doble

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha
tg⁡2α=2tg⁡α/(1−tg⁡2α)\operatorname{tg} 2\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tg}^2\alpha)

És la suma amb β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sin 2α = 1,0000 (directe 1,0000), cos 2α = 0,0000 (directe 0,0000), tg 2α no existeix
Veure demostració

Angle meitat

sin⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sin}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

Aïllant del cosinus del doble. El signe el dona el quadrant d'α/2.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sin = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
Veure demostració

Variants del cosinus doble

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

Canviant sin² per 1 − cos² (o al revés).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
Veure demostració

Sumes a productes

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Converteixen una suma en un producte, útil per simplificar.

sin α + sin β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
Veure demostració
5 · Per a què serveix

On es fan servir

Valors exactesCalcular sin, cos o tg de 15°, 75°, 105°… combinant angles notables.
Rotacions encadenadesGirar α i després β és girar α + β; així es demostra que les matrius de rotació es multipliquen.
OnesSumar dos sons de freqüències semblants produeix «batecs»: s'explica amb sumes a productes.
Simplificar i resoldreReduir expressions, resoldre equacions trigonomètriques i calcular integrals com ∫ sin²x dx amb l'angle doble.
Demostració

Sinus d'una suma i d'una resta

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. sin⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sin} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Angles complementaris (sumen 90°): en un triangle rectangle, el catet oposat a un angle agut és el contigu de l'altre. Per això el sinus d'un és el cosinus de l'altre.

  2. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    Apliquem això a α + β i reagrupem el parèntesi.

  3. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sin⁡(90°−α) sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sin}\beta

    Fem servir la fórmula del cosinus d'una resta, posant 90° − α en lloc d'α.

  4. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sin}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sin}\beta

    cos(90° − α) = sin α i sin(90° − α) = cos α (complementaris un altre cop).

  5. sin⁡(α−β)=sin⁡α cos⁡β−cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha - \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Per a la resta canviem β per −β: cos(−β) = cos β i sin(−β) = −sin β.

Per a què serveix

Calcular sinus exactes d'angles no notables (15°, 75°, 105°…) i sumar ones en física.

Demostració

Cosinus d'una suma i d'una resta

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. A=(cos⁡α,sin⁡α),B=(cos⁡β,sin⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sin}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sin}\beta)

    Dos punts del cercle unitari, amb angles α i β. L'angle entre ells és α − β. Calcularem la distància d entre A i B de dues maneres.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sin}\alpha - \operatorname{sin}\beta)^2

    Fórmula de la distància entre dos punts: (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α−2sin⁡α sin⁡β+sin⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sin}^2\alpha - 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta + \operatorname{sin}^2\beta

    Desenvolupem cada quadrat amb (a − b)² = a² − 2ab + b².

  4. d2=(sin⁡2α+cos⁡2α)+(sin⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sin}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sin}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Agrupem els quadrats de cada angle.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Cada parèntesi de color val 1 per sin² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sin⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sin}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Segona manera: girem la figura fins que B quedi sobre l'eix x. Girar no canvia distàncies, així que A′B′ també mesura d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sin⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sin}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Mateixa fórmula de la distància. En desenvolupar, sin² + cos² torna a donar 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)}

    Les dues expressions són la mateixa distància, així que són iguals.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Restem 2 als dos costats i dividim entre −2. Ja tenim la resta.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sin⁡α sin⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Per a la suma escrivim α + β = α − (−β). Un angle negatiu reflecteix el punt sobre l'eix x: cos(−β) = cos β i sin(−β) = −sin β. Per això apareix el signe menys.

Per a què serveix

És la fórmula base: d'ella surten la del sinus, la tangent, l'angle doble i l'angle meitat.

Demostració

Tangent d'una suma i d'una resta

tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}
  1. tg⁡(α±β)=sin⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    La tangent és sinus entre cosinus.

  2. tg⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}

    Substituïm les fórmules del sinus i del cosinus.

  3. tg⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    Dividim a dalt i a baix entre cos α cos β. El valor no canvia: és com multiplicar per 1.

  4. tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}

    Simplifiquem cada fracció: sin α/cos α = tg α, sin β/cos β = tg β, i el que és igual a dalt i a baix dona 1.

Per a què serveix

Calcular l'angle entre dues rectes a partir dels seus pendents.

Demostració

Angle doble

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Partim de la fórmula de la suma.

  2. sin⁡(α+α)=sin⁡α cos⁡α+cos⁡α sin⁡α\operatorname{sin}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\hl{\alpha}

    Posem β = α (sumar un angle amb si mateix).

  3. sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    Els dos sumands són iguals.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sin⁡α sin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    El mateix truc amb la fórmula del cosinus.

  5. tg⁡2α=tg⁡α+tg⁡α1−tg⁡α tg⁡α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}

    I amb la de la tangent.

Per a què serveix

Simplificar expressions i calcular integrals com ∫ sin x cos x dx.

Demostració

Variants del cosinus doble

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Cosinus de l'angle doble.

  2. sin⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sin}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Aïllat de sin²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    Substituïm sin²α i ajuntem els cos²α.

  4. cos⁡2α=1−sin⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sin}^2\alpha

    Ara aïllem el cosinus.

  5. cos⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sin}^2\alpha)} - \operatorname{sin}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

    Substituïm i ajuntem els sin²α.

Per a què serveix

Triar la versió que només té sinus o només cosinus, segons la dada que et donin.

Demostració

Angle meitat

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sin⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sin}^2 x

    Una variant del cosinus doble, vàlida per a qualsevol angle x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sin⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2}

    Anomenem x la meitat d'α. Aleshores 2x = α.

  3. 2sin⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    Passem termes d'un costat a l'altre.

  4. sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Dividim entre 2 i fem l'arrel quadrada. L'arrel té dos signes: es tria el del quadrant on cau α/2.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Igual, partint de cos 2x = 2cos²x − 1.

Per a què serveix

Calcular valors exactes com sin 15° o cos 22,5° a partir de 30° o 45°.

Demostració

Sumes a productes

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x + y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Fórmula de la suma.

  2. sin⁡(x−y)=sin⁡x cos⁡y−cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x - y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Fórmula de la resta.

  3. sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡x cos⁡y\operatorname{sin}(x + y) + \operatorname{sin}(x - y) = 2\operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y

    Sumem les dues: els termes cos x sin y s'anul·len.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Canvi de nom. Sumant i restant les dues equacions aïllem x i y.

  5. sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Substituïm. Fent el mateix amb les fórmules del cosinus surt cos α + cos β.

Per a què serveix

Un producte val 0 si algun factor val 0, així que resoldre equacions és més fàcil. També explica els «batecs» en sumar dos sons.

T'ha estat útil?

Aquesta guia és gratuïta i sense anuncis. Si t'ajuda a estudiar, pots convidar-me a un cafè.

Convida'm a un cafè