Interaktiver Leitfaden · Winkelsumme

Winkelsumme

Ziehe α, β oder das Ergebnis über den Kreis oder gib die Winkel ein. Das Panel wendet die Additionstheoreme an und prüft, dass sie denselben Wert liefern wie die direkte Rechnung. Tippe auf eine Formel im Leitfaden, um ihren Beweis zu sehen.

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αβ (der Bogen zeigt die Drehung ab α)α ± βcos(α ± β)sin(α ± β)
°
°
Von 0° bis 360°. Du kannst auch im Bogenmaß mit π schreiben, z. B. π/3.
Ergebnis
α + β = 75°
= 5π/12 rad ≈1,3090 rad
αβα + β
sin√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tan1√3/32+√3
Mit den Additionstheoremen
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659stimmt mit sin(75°) überein
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588stimmt mit cos(75°) überein
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · Die Idee

Was Winkeladdition bedeutet

α (Alpha) und β (Beta) zu addieren heißt, zuerst um α von der x-Achse aus und dann noch um β weiterzudrehen. Subtrahieren heißt, um β zurückzudrehen. Die Additionstheoreme liefern sin, cos und tan des Endwinkels nur aus den Werten von α und β.

Typischer Fehler: der Sinus lässt sich nicht aufteilensin(α + β) ist fast nie sin α + sin β. Mit den aktuellen Winkeln:
sin 45° + sin 30° = 1,2071  ≠  sin(75°) = 0,9659
2 · Die Formeln

Summe und Differenz

Lies ± mit dem oberen Zeichen für die Summe und dem unteren für die Differenz; bei ∓ umgekehrt. Beim Kosinus kehrt sich das Vorzeichen um.

Sinus

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Gleiches Vorzeichen wie die Rechenart. Sinus und Kosinus werden gemischt.

Beweis ansehen

Kosinus

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Umgekehrtes Vorzeichen. cos mit cos und sin mit sin.

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Tangens

tan⁡(α±β)=(tan⁡α±tan⁡β)/(1∓tan⁡α tan⁡β)\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta)

Entsteht durch Division der beiden oberen. Nicht definiert, wenn der Nenner 0 ist.

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3 · Rechenbeispiel

sin 75° ohne Taschenrechner

75° ist kein besonderer Winkel, aber die Summe von zweien: 45° + 30°.

  1. 1In besondere Winkel zerlegen75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Sinusformel anwendensin⁡75°=sin⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sin⁡30°\operatorname{sin} 75\degree = \operatorname{sin} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sin} 30\degree
  3. 3Werte aus der Tabelle einsetzen=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Ausmultiplizieren und zusammenfassen=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Folgerungen

Weitere wichtige Identitäten

Alle folgen aus den Additionstheoremen. Die Probe nutzt die aktuellen Winkel.

Doppelter Winkel

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha
tan⁡2α=2tan⁡α/(1−tan⁡2α)\operatorname{tan} 2\alpha = 2\operatorname{tan}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tan}^2\alpha)

Die Summe mit β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sin 2α = 1,0000 (direkt 1,0000), cos 2α = 0,0000 (direkt 0,0000), tan 2α ist nicht definiert
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Halber Winkel

sin⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sin}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

Aus dem Kosinus des doppelten Winkels umgestellt. Das Vorzeichen hängt vom Quadranten von α/2 ab.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sin = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
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Varianten des doppelten Kosinus

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

sin² durch 1 − cos² ersetzen (oder umgekehrt).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
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Summe in Produkt

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Verwandeln eine Summe in ein Produkt, praktisch zum Vereinfachen.

sin α + sin β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
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5 · Wofür man es braucht

Wo sie vorkommen

Exakte Wertesin, cos oder tan von 15°, 75°, 105° … durch Kombination besonderer Winkel berechnen.
Hintereinander drehenErst um α und dann um β drehen ist eine Drehung um α + β; so zeigt man, dass sich Drehmatrizen multiplizieren.
WellenZwei Töne ähnlicher Frequenz ergeben zusammen eine „Schwebung“: Summe-in-Produkt erklärt sie.
Vereinfachen und lösenTerme vereinfachen, trigonometrische Gleichungen lösen und Integrale wie ∫ sin²x dx mit dem doppelten Winkel berechnen.
Beweis

Sinus einer Summe und Differenz

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. sin⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sin} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Komplementwinkel (Summe 90°): Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete des einen spitzen Winkels die Ankathete des anderen. Daher ist der Sinus des einen der Kosinus des anderen.

  2. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    Das auf α + β anwenden und die Klammer umgruppieren.

  3. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sin⁡(90°−α) sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sin}\beta

    Die Kosinus-Differenzformel mit 90° − α statt α anwenden.

  4. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sin}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sin}\beta

    cos(90° − α) = sin α und sin(90° − α) = cos α (wieder Komplementwinkel).

  5. sin⁡(α−β)=sin⁡α cos⁡β−cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha - \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Für die Differenz β durch −β ersetzen: cos(−β) = cos β und sin(−β) = −sin β.

Wofür man es braucht

Exakte Sinuswerte nicht besonderer Winkel (15°, 75°, 105° …) berechnen und Wellen in der Physik addieren.

Beweis

Kosinus einer Summe und Differenz

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. A=(cos⁡α,sin⁡α),B=(cos⁡β,sin⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sin}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sin}\beta)

    Zwei Punkte auf dem Einheitskreis mit den Winkeln α und β. Der Winkel zwischen ihnen ist α − β. Wir berechnen den Abstand d von A und B auf zwei Arten.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sin}\alpha - \operatorname{sin}\beta)^2

    Abstandsformel für zwei Punkte: (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α−2sin⁡α sin⁡β+sin⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sin}^2\alpha - 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta + \operatorname{sin}^2\beta

    Jedes Quadrat mit (a − b)² = a² − 2ab + b² ausmultiplizieren.

  4. d2=(sin⁡2α+cos⁡2α)+(sin⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sin}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sin}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Die Quadrate jedes Winkels zusammenfassen.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Jede farbige Klammer ist 1, wegen sin² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sin⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sin}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Zweiter Weg: Wir drehen die Figur, bis B auf der x-Achse liegt. Drehen ändert keine Abstände, also ist auch A′B′ gleich d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sin⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sin}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Dieselbe Abstandsformel. Beim Ausmultiplizieren ergibt sin² + cos² wieder 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)}

    Beide Ausdrücke sind derselbe Abstand, also gleich.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Auf beiden Seiten 2 abziehen und durch −2 teilen. Das ist die Differenzformel.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sin⁡α sin⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Für die Summe schreiben wir α + β = α − (−β). Ein negativer Winkel spiegelt den Punkt an der x-Achse: cos(−β) = cos β und sin(−β) = −sin β. Daher das Minuszeichen.

Wofür man es braucht

Die Grundformel: Sinus, Tangens, doppelter und halber Winkel folgen daraus.

Beweis

Tangens einer Summe und Differenz

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡α tan⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta}{1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta}
  1. tan⁡(α±β)=sin⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    Der Tangens ist Sinus durch Kosinus.

  2. tan⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}

    Die Formeln für Sinus und Kosinus einsetzen.

  3. tan⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    Zähler und Nenner durch cos α cos β teilen. Der Wert bleibt gleich: wie Multiplizieren mit 1.

  4. tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡α tan⁡β\operatorname{tan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha \pm \operatorname{tan}\beta}{1 \mp \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\beta}

    Jeden Bruch kürzen: sin α/cos α = tan α, sin β/cos β = tan β, und Gleiches oben und unten ergibt 1.

Wofür man es braucht

Den Winkel zwischen zwei Geraden aus ihren Steigungen berechnen.

Beweis

Doppelter Winkel

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Wir starten mit der Summenformel.

  2. sin⁡(α+α)=sin⁡α cos⁡α+cos⁡α sin⁡α\operatorname{sin}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\hl{\alpha}

    Setze β = α (einen Winkel zu sich selbst addieren).

  3. sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    Beide Summanden sind gleich.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sin⁡α sin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Derselbe Trick mit der Kosinusformel.

  5. tan⁡2α=tan⁡α+tan⁡α1−tan⁡α tan⁡α=2tan⁡α1−tan⁡2α\operatorname{tan} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tan}\alpha + \operatorname{tan}\alpha}{1 - \operatorname{tan}\alpha\,\operatorname{tan}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tan}\alpha}{1 - \operatorname{tan}^2\alpha}

    Und mit der Tangensformel.

Wofür man es braucht

Terme vereinfachen und Integrale wie ∫ sin x cos x dx berechnen.

Beweis

Varianten des doppelten Kosinus

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Kosinus des doppelten Winkels.

  2. sin⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sin}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Umgestellt aus sin²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    sin²α einsetzen und die cos²α zusammenfassen.

  4. cos⁡2α=1−sin⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sin}^2\alpha

    Jetzt nach dem Kosinus umstellen.

  5. cos⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sin}^2\alpha)} - \operatorname{sin}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

    Einsetzen und die sin²α zusammenfassen.

Wofür man es braucht

Die Variante wählen, die nur Sinus oder nur Kosinus enthält – je nachdem, was gegeben ist.

Beweis

Halber Winkel

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sin⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sin}^2 x

    Eine Variante des doppelten Kosinus, gültig für jeden Winkel x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sin⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2}

    Sei x die Hälfte von α. Dann ist 2x = α.

  3. 2sin⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    Terme auf die andere Seite bringen.

  4. sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Durch 2 teilen und die Wurzel ziehen. Die Wurzel hat zwei Vorzeichen: Man nimmt das des Quadranten, in dem α/2 liegt.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Genauso, ausgehend von cos 2x = 2cos²x − 1.

Wofür man es braucht

Exakte Werte wie sin 15° oder cos 22,5° aus 30° oder 45° berechnen.

Beweis

Summe in Produkt

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x + y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Summenformel.

  2. sin⁡(x−y)=sin⁡x cos⁡y−cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x - y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Differenzformel.

  3. sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡x cos⁡y\operatorname{sin}(x + y) + \operatorname{sin}(x - y) = 2\operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y

    Beide addieren: Die Terme cos x sin y heben sich auf.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Umbenennen. Durch Addieren und Subtrahieren der beiden Gleichungen erhält man x und y.

  5. sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Einsetzen. Dasselbe mit den Kosinusformeln ergibt cos α + cos β.

Wofür man es braucht

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist – das erleichtert das Lösen von Gleichungen. Es erklärt auch die „Schwebung“ zweier Töne.

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