Interaktiver Leitfaden · Winkelfunktionen

Einheitskreis

Ziehe die Punkte über den Kreis oder gib die Winkel ein. Jede farbige Strecke ist eine Winkelfunktion: Ihre Länge (mit Vorzeichen) ist ihr Wert. Tippe auf eine Formel im Leitfaden, um ihren Beweis zu sehen.

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Winkel
θ = 60°
= π/3 rad ≈1,0472 rad
Quadrant I · Bezugswinkel 60°
°
Von 0° bis 360°. Du kannst auch im Bogenmaß mit π schreiben, z. B. π/3.
Werte
1 · Ausgangspunkt

Was der Einheitskreis ist

Ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung (0, 0). Ein Winkel θ wird von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Wo der freie Schenkel des Winkels den Kreis schneidet, liegt der Punkt P, und seine Koordinaten sind genau P = (cos θ, sin θ).

GradEine volle Umdrehung sind 360°.
Bogenmaß (Radiant)Der Winkel, dessen Bogen so lang ist wie der Radius. Eine Umdrehung sind 2π rad. Umrechnung: rad = Grad · π / 180.Woher kommt das?
QuadrantJeder der 4 Bereiche, in die die Achsen die Ebene teilen, gegen den Uhrzeigersinn von I bis IV nummeriert.
BezugswinkelDer spitze Winkel zwischen dem freien Schenkel und der x-Achse. Seine Funktionswerte sind die von θ, bis aufs Vorzeichen.
2 · Die sechs Funktionen

Was jede Strecke misst

Da der Radius 1 ist, hat die Hypotenuse des Dreiecks die Länge 1, und jede Funktion wird zu einer sichtbaren Länge.

sin Sinus

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

Senkrechte orange Strecke von der x-Achse bis P. Sie ist die Höhe des Punkts. Immer zwischen −1 und 1.

Warum?

cos Kosinus

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Waagrechte violette Strecke vom Ursprung bis zum Schatten von P auf der x-Achse. Immer zwischen −1 und 1.

Warum?

tan Tangens

tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Gelbe Strecke auf der Geraden x = 1, die den Kreis berührt (daher der Name). Bei 90° und 270° nicht definiert, weil cos = 0.

Warum?

cot Kotangens

cot⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{cot}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Blaue Strecke auf der Geraden y = 1. Bei 0° und 180° nicht definiert, weil sin = 0.

Warum?

sec Sekans

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Rote Strecke vom Ursprung bis zum Ende des Tangens. Ihr Betrag ist nie kleiner als 1.

Warum?

csc Kosekans

csc⁡θ=1/sin⁡θ\operatorname{csc}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Grüne Strecke vom Ursprung bis zum Ende des Kotangens. Ihr Betrag ist nie kleiner als 1.

Warum?
3 · Zusammenhänge

Grundlegende Identitäten

Eine Identität ist eine Gleichung, die für jeden Winkel gilt (sofern die Funktionen definiert sind). Darunter siehst du jeweils die Probe mit dem aktuellen Winkel; tippe darauf für den Beweis.

Kehrwerte

sin⁡θ⋅csc⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = 1

Sinus und Kosekans sind Kehrwerte.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Beweis ansehen
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Kosinus und Sekans sind Kehrwerte.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Beweis ansehen
tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = 1

Tangens und Kotangens sind Kehrwerte.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Beweis ansehen

Quotienten

tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Der Tangens ist Sinus durch Kosinus.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Beweis ansehen
cot⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{cot}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Der Kotangens ist Kosinus durch Sinus.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Beweis ansehen

Pythagoreisch

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Satz des Pythagoras im orange–violetten Dreieck mit Hypotenuse 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Beweis ansehen
1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Pythagoras im großen Dreieck an der Geraden x = 1 (gelb und rot).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Beweis ansehen
1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \operatorname{cot}^2\theta = \operatorname{csc}^2\theta

Pythagoras im Dreieck an der Geraden y = 1 (blau und grün).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Beweis ansehen
4 · Vorzeichen

Vorzeichen je Quadrant

Der Sinus ist oberhalb der x-Achse positiv, der Kosinus rechts der y-Achse. Die anderen erben ihr Vorzeichen von diesen beiden.

II · 90°–180° Positiv: sin, csc
I · 0°–90° Positiv: alle
III · 180°–270° Positiv: tan, cot
IV · 270°–360° Positiv: cos, sec
5 · Zum Merken

Besondere Winkel

Tippe auf eine Zeile, um den Punkt auf diesen Winkel zu setzen. Für andere Quadranten nimm den Bezugswinkel und das Vorzeichen des Quadranten.

GradBogenmaßsincostancotseccsc
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · Wofür man es braucht

Wo sie vorkommen

Dreiecke berechnenUnbekannte Seiten und Winkel bestimmen: Höhen, Entfernungen, Steigungen.
Vektoren zerlegenIn der Physik hat eine Kraft F unter dem Winkel θ die Komponenten F cos θ und F sin θ.
Kreisbewegung und WellenEin rotierender Punkt beschreibt (cos t, sin t); seine Höhe über die Zeit ist eine Sinuswelle (Schall, Wechselstrom).
Grafik und DrehungenEinen Punkt in einem Spiel oder Diagramm zu drehen nutzt eine Matrix mit cos und sin des Winkels.
Beweis

Warum sin θ = y

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P ist der Punkt, an dem der Schenkel des Winkels den Kreis schneidet. Fällt man von P das Lot auf die x-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck (ein Winkel ist 90°).

  2. Hypotenuse=1\text{Hypotenuse} = \hl{1}

    Die Hypotenuse ist die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel. Hier ist es der Radius des Kreises, also 1.

  3. sin⁡θ=GegenkatheteHypotenuse\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

    Definition des Sinus. Die Gegenkathete liegt θ gegenüber, ohne den Winkel zu berühren: die Höhe des Punkts.

  4. sin⁡θ=y1\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    Einsetzen: Die Gegenkathete ist y, die Hypotenuse 1.

  5. sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

    Durch 1 teilen ändert nichts.

Wofür man es braucht

Den Sinus liest man direkt in der Zeichnung ab: Er ist die Höhe (y-Koordinate) von P.

Beweis

Warum cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Wie beim Sinus bilden P und sein Schatten auf der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck.

  2. Hypotenuse=1\text{Hypotenuse} = \hl{1}

    Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises.

  3. cos⁡θ=AnkatheteHypotenuse\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

    Definition des Kosinus. Die Ankathete berührt den Winkel θ (und ist nicht die Hypotenuse): die Grundseite des Dreiecks.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    Die Grundseite ist x, die Hypotenuse 1.

Wofür man es braucht

Der Kosinus ist die x-Koordinate von P: wie weit sich der Punkt waagrecht bewegt hat.

Beweis

Warum die gelbe Strecke tan θ ist

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tan⁡θ=GegenkatheteAnkathete=yx\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{y}{x}

    Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Im kleinen Dreieck ist die Gegenkathete y und die Ankathete x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    Wir verlängern den Schenkel bis zur Geraden x = 1: Es entsteht ein großes Dreieck mit Grundseite 1 und Höhe t (die gelbe Strecke). Das Zeichen ∼ bedeutet „ähnlich“.

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    Beide Dreiecke haben dieselben Winkel (gemeinsames θ und jeweils 90°). Sie sind ähnlich: gleiche Form, andere Größe, also verhältnisgleiche Seiten.

  4. t=yx=tan⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tan}\theta

    Nach t auflösen. Die gelbe Strecke ist genau der Tangens. Der Name kommt daher, dass die Gerade x = 1 den Kreis in nur einem Punkt berührt: Sie ist eine Tangente.

Wofür man es braucht

Der Tangens ist die Steigung der Winkelgeraden: wie viel sie pro Einheit nach rechts steigt.

Beweis

Warum die blaue Strecke cot θ ist

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=c\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = c
  1. cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tan⁡θ\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tan}\theta}

    Definition: Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    Wir verlängern den Schenkel bis zur waagrechten Geraden y = 1. Es entsteht ein Dreieck mit Höhe 1 und Grundseite c (die blaue Strecke).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    Die Gerade y = 1 ist parallel zur x-Achse, und die Schräge schneidet beide unter demselben Winkel (Wechselwinkel).

  4. tan⁡θ=1c\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    Von dieser Ecke aus ist die Gegenkathete 1 und die Ankathete c: Tangens = Gegenkathete / Ankathete.

  5. c=1tan⁡θ=cot⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tan}\theta} = \operatorname{cot}\theta

    Nach c auflösen.

Wofür man es braucht

Er ist der Kehrwert der Steigung; er taucht bei fast senkrechten Geraden auf.

Beweis

Warum die rote Strecke sec θ ist

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    Es ist dasselbe große Dreieck wie beim Tangens: Grundseite 1, Höhe t. Seine Hypotenuse h ist die rote Strecke vom Ursprung bis zur Geraden x = 1.

  2. cos⁡θ=AnkatheteHypotenuse=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{1}{h}

    Definition des Kosinus im großen Dreieck: Die Ankathete ist 1, die Hypotenuse h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    Nach h auflösen. Deshalb ist |sec θ| immer mindestens 1: Die Hypotenuse ist nie kürzer als die Grundseite.

Wofür man es braucht

Kommt in der Physik (Komponenten schräger Kräfte) und bei Integralen vor.

Beweis

Warum die grüne Strecke csc θ ist

csc⁡θ=1sin⁡θ=h\operatorname{csc}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    Es ist das Dreieck des Kotangens: Grundseite c, Höhe 1. Seine Hypotenuse h ist die grüne Strecke vom Ursprung bis zur Geraden y = 1.

  2. sin⁡θ=GegenkatheteHypotenuse=1h\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{1}{h}

    Der Winkel θ liegt an der Ecke (c, 1). Von dort aus ist die Gegenkathete 1.

  3. h=1sin⁡θ=csc⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = \operatorname{csc}\theta

    Nach h auflösen.

Wofür man es braucht

Vervollständigt die sechs Funktionen; nützlich zum Vereinfachen von Termen mit 1/sin.

Beweis

Grad und Bogenmaß

θrad=θ°⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Umfang L eines Kreises mit Radius r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    Am Einheitskreis ist eine volle Umdrehung 2π lang.

  3. 1 rad: ⌢=r1\ \text{rad}:\ \frown = r

    Ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen (⌒) so lang ist wie der Radius. Deshalb hat eine Umdrehung 2π Radiant.

  4. 360°=2π rad  →  180°=π rad360\degree = 2\pi\ \text{rad} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{rad}

    Dieselbe Umdrehung auf zwei Arten gemessen. Durch 2 teilen.

  5. 60°⋅π180=π3 rad60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

    Dreisatz: Mal π/180 ergibt Bogenmaß, mal 180/π wieder Grad.

Wofür man es braucht

Formeln in Physik und Analysis (z. B. die Ableitungen von sin und cos) gelten nur im Bogenmaß.

Beweis

Vorzeichen je Quadrant

sin⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sin⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    Der Sinus hat das Vorzeichen von y, der Kosinus das von x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    Oben rechts: alle positiv.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    Oben links: nur der Sinus (und sein Kehrwert, der Kosekans) ist positiv.

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    Unten links: sin und cos negativ, aber tan = y/x ist negativ/negativ = positiv.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    Unten rechts: nur der Kosinus (und der Sekans) ist positiv.

  6. sec⁡∼cos⁡,csc⁡∼sin⁡,cot⁡∼tan⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{csc} \sim \operatorname{sin},\quad \operatorname{cot} \sim \operatorname{tan}

    Eine Funktion und ihr Kehrwert haben immer dasselbe Vorzeichen (∼), denn 1 durch eine Zahl behält deren Vorzeichen.

Wofür man es braucht

Jeden Winkel über seinen Bezugswinkel berechnen: Tabellenwert + Vorzeichen des Quadranten.

Beweis

Woher die besonderen Winkel kommen

sin⁡30°=12⋅sin⁡45°=22⋅sin⁡60°=32\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Ist ein spitzer Winkel 45°, ist es der andere auch (zusammen 90°). Beide Katheten sind gleich lang; wir nennen sie a. Pythagoras mit Hypotenuse 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Nach a auflösen. Rationalisieren heißt, Zähler und Nenner mit √2 zu multiplizieren, um die Wurzel aus dem Nenner zu holen.

  3. sin⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sin} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Beide Katheten sind gleich lang.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Ein gleichseitiges Dreieck (drei gleiche Seiten) hat drei 60°-Winkel. Halbiert ergibt es zwei 30°-60°-90°-Dreiecke mit Hypotenuse 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    Die Grundseite b wird halbiert. Die Höhe h folgt aus Pythagoras: h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sin⁡30°=12,cos⁡30°=32,sin⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    Gegenüber von 30° liegt die kurze Grundseite, gegenüber von 60° die Höhe.

Wofür man es braucht

Mit zwei Dreiecken rekonstruierst du die ganze Tabelle, ohne sie auswendig zu lernen.

Beweis

sin θ · csc θ = 1

sin⁡θ⋅csc⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = 1
  1. csc⁡θ=1sin⁡θ\operatorname{csc}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}

    Definition des Kosekans: der Kehrwert des Sinus.

  2. sin⁡θ⋅csc⁡θ=sin⁡θ⋅1sin⁡θ\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = \operatorname{sin}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}}

    Den Kosekans einsetzen.

  3. sin⁡θ⋅csc⁡θ=sin⁡θsin⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{csc}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = 1

    Eine Zahl durch sich selbst ergibt 1. Gilt nur für sin θ ≠ 0 (durch 0 teilt man nicht).

Wofür man es braucht

Deshalb heißen sie Kehrwerte: Ihr Produkt ist 1. So wechselt man von einer zur anderen.

Beweis

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Definition des Sekans: der Kehrwert des Kosinus.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    Den Sekans einsetzen.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Kürzt sich, solange cos θ ≠ 0.

Wofür man es braucht

Kennst du den Kosinus, ist der Sekans sein Kehrwert (und umgekehrt).

Beweis

tan θ · cot θ = 1

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = 1
  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Beide durch Sinus und Kosinus ausdrücken.

  2. tan⁡θ⋅cot⁡θ=sin⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Multiplizieren.

  3. tan⁡θ⋅cot⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sin⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cot}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sin}\theta}} = 1

    Brüche multipliziert man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Oben und unten steht dasselbe: 1.

Wofür man es braucht

Vom Tangens zum Kotangens mit cot θ = 1/tan θ.

Beweis

tan θ = sin θ / cos θ

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tan⁡θ=GegenkatheteAnkathete\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

    Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

  2. tan⁡θ=yx\operatorname{tan}\theta = \dfrac{y}{x}

    Am Einheitskreis ist die Gegenkathete y und die Ankathete x.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Weil y = sin θ und x = cos θ.

Wofür man es braucht

So berechnet man den Tangens, wenn man nur Sinus und Kosinus kennt.

Beweis

cot θ = cos θ / sin θ

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}
  1. cot⁡θ=AnkatheteGegenkathete\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}

    Definition des Kotangens: der umgedrehte Tangens.

  2. cot⁡θ=xy\operatorname{cot}\theta = \dfrac{x}{y}

    Am Einheitskreis.

  3. cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{cot}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sin}\theta}}

    x und y durch Kosinus und Sinus ersetzen.

Wofür man es braucht

Alles in Sinus und Kosinus zu schreiben ist der erste Schritt, um fast jeden Term zu vereinfachen.

Beweis

sin²θ + cos²θ = 1

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Satz des Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse (c) gleich der Summe der Kathetenquadrate (a und b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    Am Einheitskreis sind die Katheten x und y, die Hypotenuse ist der Radius.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    Einsetzen.

  4. (cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sin}\theta)^2 = 1

    x durch cos θ und y durch sin θ ersetzen.

  5. cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sin}^2\theta = 1

    Man schreibt cos²θ statt (cos θ)²; das ist nur Schreibweise.

  6. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Die Reihenfolge der Summanden ist egal.

Wofür man es braucht

Kennst du einen Wert, bekommst du den anderen: cos θ = ±√(1 − sin²θ). Grundlage fast aller anderen Identitäten.

Beweis

1 + tan²θ = sec²θ

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Wir starten mit der pythagoreischen Identität.

  2. sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    Jeden Term durch cos²θ teilen (erlaubt, wenn cos θ ≠ 0). Macht man auf beiden Seiten dasselbe, bleibt die Gleichung gültig.

  3. tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tan}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sin/cos ist tan, cos/cos ist 1 und 1/cos ist sec.

  4. 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    Umstellen. In der Figur ist das Pythagoras im großen Dreieck: Katheten 1 und tan θ, Hypotenuse sec θ.

Wofür man es braucht

Vom Tangens zum Sekans, ohne den Winkel zu berechnen; kommt oft bei Integralen vor.

Beweis

1 + cot²θ = csc²θ

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \operatorname{cot}^2\theta = \operatorname{csc}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Wir starten mit der pythagoreischen Identität.

  2. sin⁡2θsin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}}

    Diesmal durch sin²θ teilen (wenn sin θ ≠ 0).

  3. 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \operatorname{cot}^2\theta = \operatorname{csc}^2\theta

    sin/sin ist 1, cos/sin ist cot und 1/sin ist csc. Das ist Pythagoras im Dreieck an der Geraden y = 1.

Wofür man es braucht

Verbindet Kotangens und Kosekans, so wie die vorige Tangens und Sekans verbindet.

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