Guia interativo · razões trigonométricas

Círculo Trigonométrico

Arrasta os pontos sobre o círculo ou escreve os ângulos. Cada segmento colorido é uma razão trigonométrica: o seu comprimento (com sinal) é o seu valor. Toca em qualquer fórmula do guia para ver a demonstração.

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Ângulo
θ = 60°
= π/3 rad ≈1,0472 rad
Quadrante I · ângulo de referência 60°
°
De 0° a 360°. Também podes escrever em radianos com π, por exemplo π/3.
Valores
1 · Ponto de partida

O que é o círculo trigonométrico

É uma circunferência de raio 1 centrada na origem (0, 0). Um ângulo θ mede-se a partir do semieixo x positivo, rodando no sentido anti-horário. Onde o lado final do ângulo corta o círculo está o ponto P, e as suas coordenadas são exatamente P = (cos θ, sen θ).

GrauUma volta completa são 360°.
RadianoÂngulo cujo arco mede o mesmo que o raio. Uma volta são 2π rad. Para converter: rad = graus · π / 180.Ver de onde vem
QuadranteCada uma das 4 zonas em que os eixos dividem o plano, numeradas de I a IV no sentido anti-horário.
Ângulo de referênciaO ângulo agudo entre o lado final e o eixo x. As suas razões são as mesmas de θ, exceto o sinal.
2 · As seis razões

O que mede cada segmento

Como o raio é 1, a hipotenusa do triângulo vale 1 e cada razão transforma-se num comprimento que se pode ver.

sen Seno

sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y

Segmento laranja vertical do eixo x até P. É a altura do ponto. Sempre entre −1 e 1.

Ver porquê

cos Cosseno

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Segmento roxo horizontal da origem até à sombra de P no eixo x. Sempre entre −1 e 1.

Ver porquê

tg Tangente

tg⁡θ=sen⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sen}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmento amarelo sobre a reta x = 1, que é tangente ao círculo (daí o nome). Não existe em 90° e 270°, porque cos = 0.

Ver porquê

cotg Cotangente

cotg⁡θ=cos⁡θ/sen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

Segmento azul sobre a reta y = 1. Não existe em 0° e 180°, porque sen = 0.

Ver porquê

sec Secante

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmento vermelho da origem até à extremidade da tangente. O seu valor absoluto nunca é menor que 1.

Ver porquê

cosec Cossecante

cosec⁡θ=1/sen⁡θ\operatorname{cosec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

Segmento verde da origem até à extremidade da cotangente. O seu valor absoluto nunca é menor que 1.

Ver porquê
3 · Relações

Identidades fundamentais

Uma identidade é uma igualdade verdadeira para qualquer ângulo (desde que as razões existam). Por baixo de cada uma vês a verificação com o ângulo atual; toca para ver a demonstração.

Recíprocas

sen⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1

Seno e cossecante são inversas.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Ver demonstração
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Cosseno e secante são inversas.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Ver demonstração
tg⁡θ⋅cotg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = 1

Tangente e cotangente são inversas.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Ver demonstração

De quociente

tg⁡θ=sen⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sen}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

A tangente é o seno a dividir pelo cosseno.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Ver demonstração
cotg⁡θ=cos⁡θ/sen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sen}\theta

A cotangente é o cosseno a dividir pelo seno.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Ver demonstração

Pitagóricas

sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Teorema de Pitágoras no triângulo laranja–roxo, com hipotenusa 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Ver demonstração
1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Pitágoras no triângulo grande da reta x = 1 (amarelo e vermelho).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Ver demonstração
1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

Pitágoras no triângulo da reta y = 1 (azul e verde).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Ver demonstração
4 · Sinais

Sinal conforme o quadrante

O seno é positivo acima do eixo x; o cosseno, à direita do eixo y. As outras herdam o sinal destas duas.

II · 90°–180° Positivas: sen, cosec
I · 0°–90° Positivas: todas
III · 180°–270° Positivas: tg, cotg
IV · 270°–360° Positivas: cos, sec
5 · De cor

Ângulos notáveis

Toca numa linha para levar o ponto a esse ângulo. Para outros quadrantes, usa o ângulo de referência e põe o sinal do quadrante.

GrausRadianossencostgcotgseccosec
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · Para que serve

Onde se usam

Resolver triângulosCalcular lados e ângulos desconhecidos: alturas, distâncias, declives.
Decompor vetoresEm física, uma força F com ângulo θ tem componentes F cos θ e F sen θ.
Movimento circular e ondasUm ponto que roda descreve (cos t, sen t); a sua altura ao longo do tempo é uma onda sinusoidal (som, corrente alternada).
Gráficos e rotaçõesRodar um ponto num videojogo ou num gráfico usa uma matriz com o cos e o sen do ângulo.
Demonstração

Porque é que sen θ = y

sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P é o ponto onde o lado do ângulo corta o círculo. Baixando uma linha vertical de P até ao eixo x forma-se um triângulo retângulo (um dos ângulos mede 90°).

  2. hipotenusa=1\text{hipotenusa} = \hl{1}

    A hipotenusa é o lado maior, o que está em frente ao ângulo reto. Aqui é o raio do círculo, que mede 1.

  3. sen⁡θ=cateto opostohipotenusa\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}

    Definição de seno. O cateto oposto é o lado em frente a θ, sem lhe tocar: a altura do ponto.

  4. sen⁡θ=y1\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    Substituímos: o cateto oposto mede y e a hipotenusa mede 1.

  5. sen⁡θ=y\operatorname{sen}\theta = y

    Dividir por 1 não muda nada.

Para que serve

O seno lê-se diretamente no desenho: é a altura (coordenada y) do ponto P.

Demonstração

Porque é que cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Tal como no seno, P e a sua sombra no eixo x formam um triângulo retângulo.

  2. hipotenusa=1\text{hipotenusa} = \hl{1}

    A hipotenusa é o raio do círculo.

  3. cos⁡θ=cateto adjacentehipotenusa\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}

    Definição de cosseno. O cateto adjacente é o que toca no ângulo θ (sem ser a hipotenusa): a base do triângulo.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    A base mede x e a hipotenusa 1.

Para que serve

O cosseno é a coordenada x de P: quanto o ponto se deslocou na horizontal.

Demonstração

Porque é que o segmento amarelo é tg θ

tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tg⁡θ=cateto opostocateto adjacente=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \dfrac{y}{x}

    Definição de tangente num triângulo retângulo. No triângulo pequeno o oposto é y e o adjacente é x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    Prolongamos o lado do ângulo até à reta x = 1: aparece um triângulo grande de base 1 e altura t (o segmento amarelo). O símbolo ∼ significa «semelhante».

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    Os dois triângulos têm os mesmos ângulos (partilham θ e ambos têm 90°). São semelhantes: mesma forma, tamanho diferente, por isso os lados são proporcionais.

  4. t=yx=tg⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tg}\theta

    Isolamos t. O segmento amarelo mede exatamente a tangente. Chama-se assim porque a reta x = 1 toca o círculo num só ponto: é tangente.

Para que serve

A tangente é o declive da reta do ângulo: quanto sobe por cada unidade que avança.

Demonstração

Porque é que o segmento azul é cotg θ

cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ=c\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = c
  1. cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ=1tg⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta}

    Definição: a cotangente é a inversa da tangente.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    Prolongamos o lado do ângulo até à reta horizontal y = 1. Forma-se um triângulo com altura 1 e base c (o segmento azul).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    A reta y = 1 é paralela ao eixo x, e a diagonal corta ambas com o mesmo ângulo (ângulos alternos internos).

  4. tg⁡θ=1c\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    A partir desse vértice, o lado em frente mede 1 e o lado que lhe toca mede c: tangente = oposto / adjacente.

  5. c=1tg⁡θ=cotg⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta} = \operatorname{cotg}\theta

    Isolamos c.

Para que serve

É a inversa do declive; aparece ao estudar retas quase verticais.

Demonstração

Porque é que o segmento vermelho é sec θ

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    É o mesmo triângulo grande da tangente: base 1, altura t. A sua hipotenusa h é o segmento vermelho, da origem até à reta x = 1.

  2. cos⁡θ=cateto adjacentehipotenusa=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    Definição de cosseno aplicada ao triângulo grande: o adjacente mede 1 e a hipotenusa mede h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    Isolamos h. Por isso |sec θ| é sempre 1 ou mais: a hipotenusa nunca é mais curta do que a base.

Para que serve

Aparece em física (componentes de forças inclinadas) e em integrais.

Demonstração

Porque é que o segmento verde é cosec θ

cosec⁡θ=1sen⁡θ=h\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    É o triângulo da cotangente: base c, altura 1. A sua hipotenusa h é o segmento verde, da origem até à reta y = 1.

  2. sen⁡θ=cateto opostohipotenusa=1h\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{1}{h}

    O ângulo θ está no vértice (c, 1). A partir daí, o lado em frente mede 1.

  3. h=1sen⁡θ=cosec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta} = \operatorname{cosec}\theta

    Isolamos h.

Para que serve

Completa as seis razões; útil para simplificar expressões com 1/sen.

Demonstração

Graus e radianos

θrad=θ°⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Perímetro L de uma circunferência de raio r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    No círculo trigonométrico uma volta completa mede 2π.

  3. 1 rad: ⌢=r1\ \text{rad}:\ \frown = r

    Um radiano é o ângulo que abrange um arco (⌒) igual ao raio. Por isso uma volta tem 2π radianos.

  4. 360°=2π rad  →  180°=π rad360\degree = 2\pi\ \text{rad} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{rad}

    A mesma volta medida de duas formas. Dividimos por 2.

  5. 60°⋅π180=π3 rad60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

    Regra de três simples: multiplicar por π/180 passa a radianos; por 180/π volta a graus.

Para que serve

As fórmulas de física e de cálculo (por exemplo, as derivadas de sen e cos) só funcionam em radianos.

Demonstração

Sinais por quadrante

sen⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sen}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sen⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sen}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    O seno tem o sinal de y e o cosseno o de x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    Em cima à direita: todas positivas.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    Em cima à esquerda: só o seno (e a sua inversa, a cossecante) é positivo.

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    Em baixo à esquerda: sen e cos negativos, mas tg = y/x é negativo/negativo = positivo.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    Em baixo à direita: só o cosseno (e a secante) é positivo.

  6. sec⁡∼cos⁡,cosec⁡∼sen⁡,cotg⁡∼tg⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{cosec} \sim \operatorname{sen},\quad \operatorname{cotg} \sim \operatorname{tg}

    Uma razão e a sua inversa têm sempre o mesmo sinal (∼), porque 1 a dividir por um número mantém o sinal dele.

Para que serve

Calcular qualquer ângulo com o seu ângulo de referência: valor da tabela + sinal do quadrante.

Demonstração

De onde vêm os ângulos notáveis

sen⁡30°=12⋅sen⁡45°=22⋅sen⁡60°=32\operatorname{sen} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sen} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sen} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Se um ângulo agudo mede 45°, o outro também (somam 90°). Os dois catetos são iguais; chamamos-lhes a. Aplicamos Pitágoras com hipotenusa 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Isolamos a. Racionalizar é multiplicar em cima e em baixo por √2 para tirar a raiz do denominador.

  3. sen⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sen} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Os dois catetos medem o mesmo.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Um triângulo equilátero (três lados iguais) tem três ângulos de 60°. Cortado ao meio dá dois triângulos de 30°, 60° e 90° com hipotenusa 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    A base b divide-se em duas metades. A altura h sai de Pitágoras: h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sen⁡30°=12,cos⁡30°=32,sen⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sen} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sen} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    Em frente a 30° está a base curta; em frente a 60° está a altura.

Para que serve

Com dois triângulos reconstróis a tabela inteira sem a decorar.

Demonstração

sen θ · cosec θ = 1

sen⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1
  1. cosec⁡θ=1sen⁡θ\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta}

    Definição de cossecante: é a inversa do seno.

  2. sen⁡θ⋅cosec⁡θ=sen⁡θ⋅1sen⁡θ\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \operatorname{sen}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sen}\theta}}

    Substituímos a cossecante.

  3. sen⁡θ⋅cosec⁡θ=sen⁡θsen⁡θ=1\operatorname{sen}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{sen}\theta} = 1

    Um número a dividir por si próprio dá 1. Só vale se sen θ ≠ 0 (não se divide por 0).

Para que serve

Por isso chamam-se razões recíprocas: multiplicadas dão 1. Permite passar de uma para a outra.

Demonstração

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Definição de secante: é a inversa do cosseno.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    Substituímos a secante.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Simplifica-se, desde que cos θ ≠ 0.

Para que serve

Se conheces o cosseno, a secante é a sua inversa (e vice-versa).

Demonstração

tg θ · cotg θ = 1

tg⁡θ⋅cotg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = 1
  1. tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ,cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}

    Escrevemos as duas em função do seno e do cosseno.

  2. tg⁡θ⋅cotg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsen⁡θ\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}

    Multiplicamos.

  3. tg⁡θ⋅cotg⁡θ=sen⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sen⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sen}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sen}\theta}} = 1

    Para multiplicar frações multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador. Fica o mesmo em cima e em baixo: 1.

Para que serve

Passar da tangente para a cotangente com cotg θ = 1/tg θ.

Demonstração

tg θ = sen θ / cos θ

tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tg⁡θ=cateto opostocateto adjacente\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

    Definição de tangente no triângulo retângulo.

  2. tg⁡θ=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{y}{x}

    No círculo trigonométrico o oposto é y e o adjacente é x.

  3. tg⁡θ=sen⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sen}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Porque y = sen θ e x = cos θ.

Para que serve

É a forma de calcular a tangente quando só conheces o seno e o cosseno.

Demonstração

cotg θ = cos θ / sen θ

cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sen}\theta}
  1. cotg⁡θ=cateto adjacentecateto oposto\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{cateto oposto}}

    Definição de cotangente: a tangente invertida.

  2. cotg⁡θ=xy\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{x}{y}

    No círculo trigonométrico.

  3. cotg⁡θ=cos⁡θsen⁡θ\operatorname{cotg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sen}\theta}}

    Trocamos x e y por cosseno e seno.

Para que serve

Escrever tudo em seno e cosseno é o primeiro passo para simplificar quase qualquer expressão.

Demonstração

sen²θ + cos²θ = 1

sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (c) é a soma dos quadrados dos catetos (a e b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    No círculo trigonométrico os catetos são x e y, e a hipotenusa é o raio.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    Substituímos.

  4. (cos⁡θ)2+(sen⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sen}\theta)^2 = 1

    Trocamos x por cos θ e y por sen θ.

  5. cos⁡2θ+sen⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1

    Escreve-se cos²θ em vez de (cos θ)²; é só notação.

  6. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    A ordem da soma não importa.

Para que serve

Se conheces uma razão, obténs a outra: cos θ = ±√(1 − sen²θ). É a base de quase todas as outras identidades.

Demonstração

1 + tg²θ = sec²θ

1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partimos da identidade pitagórica.

  2. sen⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    Dividimos todos os termos por cos²θ (pode-se se cos θ ≠ 0). Fazendo o mesmo dos dois lados, a igualdade mantém-se.

  3. tg⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tg}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sen/cos é tg, cos/cos é 1 e 1/cos é sec.

  4. 1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    Reordenamos. Na figura é Pitágoras no triângulo grande: catetos 1 e tg θ, hipotenusa sec θ.

Para que serve

Passar da tangente para a secante sem calcular o ângulo; aparece muito em integrais.

Demonstração

1 + cotg²θ = cosec²θ

1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta
  1. sen⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Partimos da identidade pitagórica.

  2. sen⁡2θsen⁡2θ+cos⁡2θsen⁡2θ=1sen⁡2θ\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sen}^2\theta}}

    Agora dividimos por sen²θ (se sen θ ≠ 0).

  3. 1+cotg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

    sen/sen é 1, cos/sen é cotg e 1/sen é cosec. É Pitágoras no triângulo da reta y = 1.

Para que serve

Relaciona cotangente e cossecante tal como a anterior relaciona tangente e secante.

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