Guide interactif · rapports trigonométriques

Cercle Trigonométrique

Fais glisser les points sur le cercle ou saisis les angles. Chaque segment coloré est un rapport trigonométrique : sa longueur (avec son signe) est sa valeur. Touche n'importe quelle formule du guide pour voir sa démonstration.

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Angle
θ = 60°
= π/3 rad ≈1,0472 rad
Quadrant I · angle de référence 60°
°
De 0° à 360°. Tu peux aussi écrire en radians avec π, par exemple π/3.
Valeurs
1 · Point de départ

Qu'est-ce que le cercle trigonométrique

C'est un cercle de rayon 1 centré à l'origine (0, 0). Un angle θ se mesure à partir de l'axe x positif, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Là où le côté final de l'angle coupe le cercle se trouve le point P, dont les coordonnées sont exactement P = (cos θ, sin θ).

DegréUn tour complet fait 360°.
RadianAngle dont l'arc a la même longueur que le rayon. Un tour fait 2π rad. Conversion : rad = degrés · π / 180.Voir d'où ça vient
QuadrantChacune des 4 zones que les axes découpent dans le plan, numérotées de I à IV dans le sens antihoraire.
Angle de référenceL'angle aigu entre le côté final et l'axe x. Ses rapports sont ceux de θ, au signe près.
2 · Les six rapports

Ce que mesure chaque segment

Comme le rayon vaut 1, l'hypoténuse du triangle vaut 1 et chaque rapport devient une longueur visible.

sin Sinus

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

Segment orange vertical de l'axe x jusqu'à P. C'est la hauteur du point. Toujours entre −1 et 1.

Voir pourquoi

cos Cosinus

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Segment violet horizontal de l'origine jusqu'à l'ombre de P sur l'axe x. Toujours entre −1 et 1.

Voir pourquoi

tan Tangente

tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segment jaune sur la droite x = 1, tangente au cercle (d'où son nom). N'existe pas à 90° et 270°, car cos = 0.

Voir pourquoi

cotan Cotangente

cotan⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{cotan}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Segment bleu sur la droite y = 1. N'existe pas à 0° et 180°, car sin = 0.

Voir pourquoi

sec Sécante

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segment rouge de l'origine jusqu'à l'extrémité de la tangente. Sa valeur absolue n'est jamais inférieure à 1.

Voir pourquoi

cosec Cosécante

cosec⁡θ=1/sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Segment vert de l'origine jusqu'à l'extrémité de la cotangente. Sa valeur absolue n'est jamais inférieure à 1.

Voir pourquoi
3 · Relations

Identités fondamentales

Une identité est une égalité vraie pour tout angle (là où les rapports existent). Sous chacune, tu vois la vérification avec l'angle actuel ; touche-la pour voir la démonstration.

Réciproques

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1

Sinus et cosécante sont inverses.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Voir la démonstration
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Cosinus et sécante sont inverses.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Voir la démonstration
tan⁡θ⋅cotan⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cotan}\theta = 1

Tangente et cotangente sont inverses.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Voir la démonstration

De quotient

tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

La tangente est le sinus divisé par le cosinus.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Voir la démonstration
cotan⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{cotan}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

La cotangente est le cosinus divisé par le sinus.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Voir la démonstration

Pythagoriciennes

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Théorème de Pythagore dans le triangle orange–violet, d'hypoténuse 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Voir la démonstration
1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Pythagore dans le grand triangle de la droite x = 1 (jaune et rouge).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Voir la démonstration
1+cotan⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotan}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

Pythagore dans le triangle de la droite y = 1 (bleu et vert).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Voir la démonstration
4 · Signes

Signe selon le quadrant

Le sinus est positif au-dessus de l'axe x ; le cosinus, à droite de l'axe y. Les autres héritent du signe de ces deux-là.

II · 90°–180° Positifs : sin, cosec
I · 0°–90° Positifs : tous
III · 180°–270° Positifs : tan, cotan
IV · 270°–360° Positifs : cos, sec
5 · À retenir

Angles remarquables

Touche une ligne pour amener le point à cet angle. Pour les autres quadrants, utilise l'angle de référence et ajoute le signe du quadrant.

DegrésRadianssincostancotanseccosec
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · À quoi ça sert

Où on les utilise

Résoudre des trianglesCalculer des côtés et des angles inconnus : hauteurs, distances, pentes.
Décomposer des vecteursEn physique, une force F d'angle θ a pour composantes F cos θ et F sin θ.
Mouvement circulaire et ondesUn point qui tourne décrit (cos t, sin t) ; sa hauteur au cours du temps est une sinusoïde (son, courant alternatif).
Graphisme et rotationsFaire tourner un point dans un jeu vidéo ou un graphique utilise une matrice avec le cos et le sin de l'angle.
Démonstration

Pourquoi sin θ = y

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P est le point où le côté de l'angle coupe le cercle. En abaissant une verticale de P jusqu'à l'axe x, on obtient un triangle rectangle (l'un de ses angles mesure 90°).

  2. hypoteˊnuse=1\text{hypoténuse} = \hl{1}

    L'hypoténuse est le plus grand côté, celui en face de l'angle droit. Ici, c'est le rayon du cercle, qui vaut 1.

  3. sin⁡θ=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}

    Définition du sinus. Le côté opposé est celui qui fait face à θ sans le toucher : la hauteur du point.

  4. sin⁡θ=y1\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    On remplace : le côté opposé mesure y et l'hypoténuse 1.

  5. sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

    Diviser par 1 ne change rien.

À quoi ça sert

On lit le sinus directement sur le dessin : c'est la hauteur (ordonnée y) du point P.

Démonstration

Pourquoi cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Comme pour le sinus, P et son ombre sur l'axe x forment un triangle rectangle.

  2. hypoteˊnuse=1\text{hypoténuse} = \hl{1}

    L'hypoténuse est le rayon du cercle.

  3. cos⁡θ=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}

    Définition du cosinus. Le côté adjacent est celui qui touche l'angle θ (sans être l'hypoténuse) : la base du triangle.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    La base mesure x et l'hypoténuse 1.

À quoi ça sert

Le cosinus est l'abscisse x de P : de combien le point s'est déplacé horizontalement.

Démonstration

Pourquoi le segment jaune est tan θ

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tan⁡θ=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=yx\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{y}{x}

    Définition de la tangente dans un triangle rectangle. Dans le petit triangle, l'opposé est y et l'adjacent est x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    On prolonge le côté de l'angle jusqu'à la droite x = 1 : un grand triangle apparaît, de base 1 et de hauteur t (le segment jaune). Le symbole ∼ signifie « semblable ».

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    Les deux triangles ont les mêmes angles (ils partagent θ et ont tous deux un angle de 90°). Ils sont semblables : même forme, taille différente, donc côtés proportionnels.

  4. t=yx=tan⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tan}\theta

    On isole t. Le segment jaune mesure exactement la tangente. Elle s'appelle ainsi car la droite x = 1 touche le cercle en un seul point : elle est tangente.

À quoi ça sert

La tangente est la pente de la droite de l'angle : de combien elle monte pour chaque unité parcourue.

Démonstration

Pourquoi le segment bleu est cotan θ

cotan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=c\operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = c
  1. cotan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tan⁡θ\operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tan}\theta}

    Définition : la cotangente est l'inverse de la tangente.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    On prolonge le côté de l'angle jusqu'à la droite horizontale y = 1. On obtient un triangle de hauteur 1 et de base c (le segment bleu).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    La droite y = 1 est parallèle à l'axe x, et la diagonale coupe les deux avec le même angle (angles alternes-internes).

  4. tan⁡θ=1c\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    Depuis ce coin, le côté opposé mesure 1 et le côté adjacent mesure c : tangente = opposé / adjacent.

  5. c=1tan⁡θ=cotan⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tan}\theta} = \operatorname{cotan}\theta

    On isole c.

À quoi ça sert

C'est l'inverse de la pente ; elle apparaît quand on étudie des droites presque verticales.

Démonstration

Pourquoi le segment rouge est sec θ

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    C'est le même grand triangle que pour la tangente : base 1, hauteur t. Son hypoténuse h est le segment rouge, de l'origine jusqu'à la droite x = 1.

  2. cos⁡θ=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{1}{h}

    Définition du cosinus appliquée au grand triangle : l'adjacent mesure 1 et l'hypoténuse h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    On isole h. C'est pourquoi |sec θ| vaut toujours 1 ou plus : l'hypoténuse n'est jamais plus courte que la base.

À quoi ça sert

Elle apparaît en physique (composantes de forces inclinées) et dans les intégrales.

Démonstration

Pourquoi le segment vert est cosec θ

cosec⁡θ=1sin⁡θ=h\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    C'est le triangle de la cotangente : base c, hauteur 1. Son hypoténuse h est le segment vert, de l'origine jusqu'à la droite y = 1.

  2. sin⁡θ=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse=1h\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{1}{h}

    L'angle θ se trouve au coin (c, 1). De là, le côté opposé mesure 1.

  3. h=1sin⁡θ=cosec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = \operatorname{cosec}\theta

    On isole h.

À quoi ça sert

Complète les six rapports ; utile pour simplifier des expressions avec 1/sin.

Démonstration

Degrés et radians

θrad=θ°⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Longueur L d'un cercle de rayon r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    Sur le cercle trigonométrique, un tour complet mesure 2π.

  3. 1 rad: ⌢=r1\ \text{rad}:\ \frown = r

    Un radian est l'angle qui intercepte un arc (⌒) égal au rayon. Un tour fait donc 2π radians.

  4. 360°=2π rad  →  180°=π rad360\degree = 2\pi\ \text{rad} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{rad}

    Le même tour mesuré de deux façons. On divise par 2.

  5. 60°⋅π180=π3 rad60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

    Règle de trois : multiplier par π/180 donne des radians ; par 180/π on revient en degrés.

À quoi ça sert

Les formules de physique et d'analyse (par exemple les dérivées de sin et cos) ne marchent qu'en radians.

Démonstration

Signes selon le quadrant

sin⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sin⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    Le sinus a le signe de y et le cosinus celui de x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    En haut à droite : tous positifs.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    En haut à gauche : seul le sinus (et son inverse, la cosécante) est positif.

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    En bas à gauche : sin et cos négatifs, mais tan = y/x est négatif/négatif = positif.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    En bas à droite : seul le cosinus (et la sécante) est positif.

  6. sec⁡∼cos⁡,cosec⁡∼sin⁡,cotan⁡∼tan⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{cosec} \sim \operatorname{sin},\quad \operatorname{cotan} \sim \operatorname{tan}

    Un rapport et son inverse ont toujours le même signe (∼), car 1 divisé par un nombre garde son signe.

À quoi ça sert

Calculer n'importe quel angle avec son angle de référence : valeur du tableau + signe du quadrant.

Démonstration

D'où viennent les angles remarquables

sin⁡30°=12⋅sin⁡45°=22⋅sin⁡60°=32\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Si un angle aigu mesure 45°, l'autre aussi (ils font 90° à eux deux). Les deux côtés de l'angle droit sont égaux ; on les appelle a. On applique Pythagore avec une hypoténuse de 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    On isole a. Rationaliser, c'est multiplier en haut et en bas par √2 pour enlever la racine du dénominateur.

  3. sin⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sin} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Les deux côtés ont la même longueur.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Un triangle équilatéral (trois côtés égaux) a trois angles de 60°. Coupé en deux, il donne deux triangles 30°-60°-90° d'hypoténuse 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    La base b est coupée en deux moitiés. La hauteur h vient de Pythagore : h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sin⁡30°=12,cos⁡30°=32,sin⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    En face de 30°, il y a la petite base ; en face de 60°, la hauteur.

À quoi ça sert

Avec deux triangles, tu reconstruis tout le tableau sans l'apprendre par cœur.

Démonstration

sin θ · cosec θ = 1

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1
  1. cosec⁡θ=1sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}

    Définition de la cosécante : c'est l'inverse du sinus.

  2. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θ⋅1sin⁡θ\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \operatorname{sin}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}}

    On remplace la cosécante.

  3. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θsin⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = 1

    Un nombre divisé par lui-même donne 1. Valable seulement si sin θ ≠ 0 (on ne divise pas par 0).

À quoi ça sert

D'où le nom de rapports réciproques : leur produit vaut 1. On passe ainsi de l'un à l'autre.

Démonstration

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Définition de la sécante : c'est l'inverse du cosinus.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    On remplace la sécante.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Ça se simplifie, tant que cos θ ≠ 0.

À quoi ça sert

Si tu connais le cosinus, la sécante est son inverse (et réciproquement).

Démonstration

tan θ · cotan θ = 1

tan⁡θ⋅cotan⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cotan}\theta = 1
  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cotan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    On écrit les deux en fonction du sinus et du cosinus.

  2. tan⁡θ⋅cotan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    On multiplie.

  3. tan⁡θ⋅cotan⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sin⁡θ=1\operatorname{tan}\theta \cdot \operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sin}\theta}} = 1

    Pour multiplier des fractions, on multiplie numérateurs et dénominateurs entre eux. On obtient la même chose en haut et en bas : 1.

À quoi ça sert

Passer de la tangente à la cotangente avec cotan θ = 1/tan θ.

Démonstration

tan θ = sin θ / cos θ

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tan⁡θ=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

    Définition de la tangente dans le triangle rectangle.

  2. tan⁡θ=yx\operatorname{tan}\theta = \dfrac{y}{x}

    Sur le cercle trigonométrique, l'opposé est y et l'adjacent est x.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tan}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Car y = sin θ et x = cos θ.

À quoi ça sert

C'est ainsi qu'on calcule la tangente quand on ne connaît que le sinus et le cosinus.

Démonstration

cotan θ = cos θ / sin θ

cotan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}
  1. cotan⁡θ=coˆteˊ adjacentcoˆteˊ opposeˊ\operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}

    Définition de la cotangente : la tangente renversée.

  2. cotan⁡θ=xy\operatorname{cotan}\theta = \dfrac{x}{y}

    Sur le cercle trigonométrique.

  3. cotan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{cotan}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sin}\theta}}

    On remplace x et y par cosinus et sinus.

À quoi ça sert

Tout écrire en sinus et cosinus est la première étape pour simplifier presque n'importe quelle expression.

Démonstration

sin²θ + cos²θ = 1

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (c) est la somme des carrés des deux autres côtés (a et b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    Sur le cercle trigonométrique, les côtés sont x et y, et l'hypoténuse est le rayon.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    On remplace.

  4. (cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sin}\theta)^2 = 1

    On remplace x par cos θ et y par sin θ.

  5. cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sin}^2\theta = 1

    On écrit cos²θ au lieu de (cos θ)² ; c'est juste une notation.

  6. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    L'ordre de l'addition n'a pas d'importance.

À quoi ça sert

Si tu connais un rapport, tu obtiens l'autre : cos θ = ±√(1 − sin²θ). C'est la base de presque toutes les autres identités.

Démonstration

1 + tan²θ = sec²θ

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    On part de l'identité de Pythagore.

  2. sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    On divise chaque terme par cos²θ (possible si cos θ ≠ 0). Faire la même chose des deux côtés conserve l'égalité.

  3. tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tan}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sin/cos c'est tan, cos/cos c'est 1 et 1/cos c'est sec.

  4. 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tan}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    On réordonne. Sur la figure, c'est Pythagore dans le grand triangle : côtés 1 et tan θ, hypoténuse sec θ.

À quoi ça sert

Passer de la tangente à la sécante sans calculer l'angle ; très fréquent dans les intégrales.

Démonstration

1 + cotan²θ = cosec²θ

1+cotan⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotan}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    On part de l'identité de Pythagore.

  2. sin⁡2θsin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}}

    Cette fois on divise par sin²θ (si sin θ ≠ 0).

  3. 1+cotan⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{cotan}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

    sin/sin c'est 1, cos/sin c'est cotan et 1/sin c'est cosec. C'est Pythagore dans le triangle de la droite y = 1.

À quoi ça sert

Relie cotangente et cosécante comme la précédente relie tangente et sécante.

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