Ghid interactiv · funcții trigonometrice

Cercul Trigonometric

Trage punctele pe cerc sau scrie unghiurile. Fiecare segment colorat este o funcție trigonometrică: lungimea lui (cu semn) este valoarea ei. Atinge orice formulă din ghid ca să vezi demonstrația.

Cumpără-mi o cafea
Unghi
θ = 60°
= π/3 rad ≈1,0472 rad
Cadranul I · unghi de referință 60°
°
De la 0° la 360°. Poți scrie și în radiani cu π, de exemplu π/3.
Valori
1 · Punctul de plecare

Ce este cercul trigonometric

Este un cerc cu raza 1 cu centrul în origine (0, 0). Un unghi θ se măsoară de la semiaxa x pozitivă, în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic). Acolo unde latura finală a unghiului taie cercul se află punctul P, iar coordonatele lui sunt exact P = (cos θ, sin θ).

GradO rotație completă are 360°.
RadianUnghiul al cărui arc are aceeași lungime ca raza. O rotație are 2π rad. Conversie: rad = grade · π / 180.Vezi de unde vine
CadranFiecare dintre cele 4 zone în care axele împart planul, numerotate de la I la IV în sens trigonometric.
Unghi de referințăUnghiul ascuțit dintre latura finală și axa x. Funcțiile lui sunt aceleași ca ale lui θ, mai puțin semnul.
2 · Cele șase funcții

Ce măsoară fiecare segment

Pentru că raza este 1, ipotenuza triunghiului este 1 și fiecare funcție devine o lungime pe care o poți vedea.

sin Sinus

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

Segmentul portocaliu vertical de la axa x până la P. Este înălțimea punctului. Mereu între −1 și 1.

Vezi de ce

cos Cosinus

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x

Segmentul mov orizontal de la origine până la umbra lui P pe axa x. Mereu între −1 și 1.

Vezi de ce

tg Tangentă

tg⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmentul galben pe dreapta x = 1, tangentă la cerc (de aici numele). Nu există la 90° și 270°, pentru că cos = 0.

Vezi de ce

ctg Cotangentă

ctg⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Segmentul albastru pe dreapta y = 1. Nu există la 0° și 180°, pentru că sin = 0.

Vezi de ce

sec Secantă

sec⁡θ=1/cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Segmentul roșu de la origine până la capătul tangentei. Valoarea lui absolută nu scade niciodată sub 1.

Vezi de ce

cosec Cosecantă

cosec⁡θ=1/sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = 1 \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Segmentul verde de la origine până la capătul cotangentei. Valoarea lui absolută nu scade niciodată sub 1.

Vezi de ce
3 · Relații

Identități fundamentale

O identitate este o egalitate adevărată pentru orice unghi (acolo unde funcțiile există). Sub fiecare vezi verificarea cu unghiul curent; atinge-o ca să vezi demonstrația.

Reciproce

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1

Sinusul și cosecanta sunt inverse.

0,8660 · 1,1547 = 1,0000
Vezi demonstrația
cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1

Cosinusul și secanta sunt inverse.

0,5000 · 2,0000 = 1,0000
Vezi demonstrația
tg⁡θ⋅ctg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = 1

Tangenta și cotangenta sunt inverse.

1,7321 · 0,5774 = 1,0000
Vezi demonstrația

De cât

tg⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sin}\theta \mathbin{/} \operatorname{cos}\theta

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus.

0,8660 / 0,5000 = 1,7321
Vezi demonstrația
ctg⁡θ=cos⁡θ/sin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \operatorname{cos}\theta \mathbin{/} \operatorname{sin}\theta

Cotangenta este cosinusul împărțit la sinus.

0,5000 / 0,8660 = 0,5774
Vezi demonstrația

Pitagoreice

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

Teorema lui Pitagora în triunghiul portocaliu–mov, cu ipotenuza 1.

0,7500 + 0,2500 = 1,0000
Vezi demonstrația
1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

Pitagora în triunghiul mare de pe dreapta x = 1 (galben și roșu).

1 + 3,0000 = 4,0000 = 2,0000²
Vezi demonstrația
1+ctg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

Pitagora în triunghiul de pe dreapta y = 1 (albastru și verde).

1 + 0,3333 = 1,3333 = 1,1547²
Vezi demonstrația
4 · Semne

Semnul în funcție de cadran

Sinusul este pozitiv deasupra axei x; cosinusul, la dreapta axei y. Celelalte moștenesc semnul de la acestea două.

II · 90°–180° Pozitive: sin, cosec
I · 0°–90° Pozitive: toate
III · 180°–270° Pozitive: tg, ctg
IV · 270°–360° Pozitive: cos, sec
5 · De reținut

Unghiuri remarcabile

Atinge un rând ca să muți punctul la acel unghi. Pentru alte cadrane, folosește unghiul de referință și pune semnul cadranului.

GradeRadianisincostgctgseccosec
0010∄1∄
π/61/2√3/2√3/3√32√3/32
π/4√2/2√2/211√2√2
π/3√3/21/2√3√3/322√3/3
π/210∄0∄1
π0−10∄−1∄
3π/2−10∄0∄−1
6 · La ce folosește

Unde se folosesc

Rezolvarea triunghiurilorCalcularea laturilor și unghiurilor necunoscute: înălțimi, distanțe, pante.
Descompunerea vectorilorÎn fizică, o forță F la unghiul θ are componentele F cos θ și F sin θ.
Mișcare circulară și undeUn punct care se rotește descrie (cos t, sin t); înălțimea lui în timp este o undă sinusoidală (sunet, curent alternativ).
Grafică și rotațiiRotirea unui punct într-un joc sau într-un grafic folosește o matrice cu cos și sin ale unghiului.
Demonstrație

De ce sin θ = y

sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    P este punctul în care latura unghiului taie cercul. Coborând o verticală din P până la axa x se formează un triunghi dreptunghic (unul dintre unghiuri are 90°).

  2. ipotenuza˘=1\text{ipotenuză} = \hl{1}

    Ipotenuza este latura cea mai lungă, cea opusă unghiului drept. Aici este raza cercului, adică 1.

  3. sin⁡θ=cateta opusa˘ipotenuza˘\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}

    Definiția sinusului. Cateta opusă este latura din fața lui θ, care nu-l atinge: înălțimea punctului.

  4. sin⁡θ=y1\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\hl{y}}{\hl{1}}

    Înlocuim: cateta opusă este y, iar ipotenuza 1.

  5. sin⁡θ=y\operatorname{sin}\theta = y

    Împărțirea la 1 nu schimbă nimic.

La ce folosește

Sinusul se citește direct pe desen: este înălțimea (coordonata y) a punctului P.

Demonstrație

De ce cos θ = x

cos⁡θ=x\operatorname{cos}\theta = x
  1. P=(x,y)P = (x, y)

    Ca la sinus, P și umbra lui pe axa x formează un triunghi dreptunghic.

  2. ipotenuza˘=1\text{ipotenuză} = \hl{1}

    Ipotenuza este raza cercului.

  3. cos⁡θ=cateta ala˘turata˘ipotenuza˘\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}

    Definiția cosinusului. Cateta alăturată este cea care atinge unghiul θ (fără să fie ipotenuza): baza triunghiului.

  4. cos⁡θ=x1=x\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\hl{x}}{\hl{1}} = x

    Baza este x, iar ipotenuza 1.

La ce folosește

Cosinusul este coordonata x a lui P: cât s-a deplasat punctul pe orizontală.

Demonstrație

De ce segmentul galben este tg θ

tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=t\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = t
  1. tg⁡θ=cateta opusa˘cateta ala˘turata˘=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} = \dfrac{y}{x}

    Definiția tangentei într-un triunghi dreptunghic. În triunghiul mic, opusa este y și alăturata este x.

  2. △(x,y)  ∼  △(1,t)\triangle(x, y) \;\sim\; \triangle(\hl{1}, \hl{t})

    Prelungim latura unghiului până la dreapta x = 1: apare un triunghi mare cu baza 1 și înălțimea t (segmentul galben). Simbolul ∼ înseamnă „asemenea”.

  3. t1=yx\dfrac{t}{1} = \dfrac{y}{x}

    Cele două triunghiuri au aceleași unghiuri (au în comun θ și ambele au 90°). Sunt asemenea: aceeași formă, altă mărime, deci laturile sunt proporționale.

  4. t=yx=tg⁡θt = \dfrac{y}{x} = \operatorname{tg}\theta

    Îl scoatem pe t. Segmentul galben este exact tangenta. Se numește așa pentru că dreapta x = 1 atinge cercul într-un singur punct: este tangentă.

La ce folosește

Tangenta este panta dreptei unghiului: cât urcă pentru fiecare unitate parcursă.

Demonstrație

De ce segmentul albastru este ctg θ

ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=c\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = c
  1. ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tg⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta}

    Definiție: cotangenta este inversa tangentei.

  2. △ (0,0), (0,1), (c,1)\triangle\ (0, 0),\ (0, 1),\ (c, 1)

    Prelungim latura unghiului până la dreapta orizontală y = 1. Se formează un triunghi cu înălțimea 1 și baza c (segmentul albastru).

  3. ∠(c,1)=θ\angle(c, 1) = \theta

    Dreapta y = 1 este paralelă cu axa x, iar diagonala le taie pe amândouă sub același unghi (unghiuri alterne interne).

  4. tg⁡θ=1c\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{1}}{\hl{c}}

    Din acel colț, latura opusă este 1, iar cea alăturată este c: tangenta = opusă / alăturată.

  5. c=1tg⁡θ=ctg⁡θc = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\theta} = \operatorname{ctg}\theta

    Îl scoatem pe c.

La ce folosește

Este inversa pantei; apare când studiezi drepte aproape verticale.

Demonstrație

De ce segmentul roșu este sec θ

sec⁡θ=1cos⁡θ=h\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = h
  1. △: 1, t, h\triangle:\ 1,\ t,\ \hl{h}

    Este același triunghi mare de la tangentă: baza 1, înălțimea t. Ipotenuza lui h este segmentul roșu, de la origine până la dreapta x = 1.

  2. cos⁡θ=cateta ala˘turata˘ipotenuza˘=1h\operatorname{cos}\theta = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}} = \dfrac{1}{h}

    Definiția cosinusului aplicată triunghiului mare: alăturata este 1, iar ipotenuza h.

  3. h=1cos⁡θ=sec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta} = \operatorname{sec}\theta

    Îl scoatem pe h. De aceea |sec θ| este mereu cel puțin 1: ipotenuza nu e niciodată mai scurtă decât baza.

La ce folosește

Apare în fizică (componentele forțelor înclinate) și la integrale.

Demonstrație

De ce segmentul verde este cosec θ

cosec⁡θ=1sin⁡θ=h\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = h
  1. △: c, 1, h\triangle:\ c,\ 1,\ \hl{h}

    Este triunghiul cotangentei: baza c, înălțimea 1. Ipotenuza lui h este segmentul verde, de la origine până la dreapta y = 1.

  2. sin⁡θ=cateta opusa˘ipotenuza˘=1h\operatorname{sin}\theta = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \dfrac{1}{h}

    Unghiul θ se află în colțul (c, 1). De acolo, latura opusă este 1.

  3. h=1sin⁡θ=cosec⁡θh = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta} = \operatorname{cosec}\theta

    Îl scoatem pe h.

La ce folosește

Completează cele șase funcții; util pentru a simplifica expresii cu 1/sin.

Demonstrație

Grade și radiani

θrad=θ°⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta\degree \cdot \dfrac{\pi}{180}
  1. L=2πrL = 2\pi r

    Lungimea L a unui cerc de rază r.

  2. r=1  →  L=2πr = 1 \;\to\; L = 2\pi

    Pe cercul trigonometric o rotație completă are lungimea 2π.

  3. 1 rad: ⌢=r1\ \text{rad}:\ \frown = r

    Un radian este unghiul care cuprinde un arc (⌒) egal cu raza. De aceea o rotație are 2π radiani.

  4. 360°=2π rad  →  180°=π rad360\degree = 2\pi\ \text{rad} \;\to\; 180\degree = \pi\ \text{rad}

    Aceeași rotație măsurată în două moduri. Împărțim la 2.

  5. 60°⋅π180=π3 rad60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

    Regula de trei simplă: înmulțind cu π/180 obții radiani; cu 180/π revii la grade.

La ce folosește

Formulele din fizică și analiză (de exemplu derivatele lui sin și cos) funcționează doar în radiani.

Demonstrație

Semnele pe cadrane

sin⁡θ=y⋅cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y \quad\cdot\quad \operatorname{cos}\theta = x
  1. sin⁡θ=y,cos⁡θ=x\operatorname{sin}\theta = y,\quad \operatorname{cos}\theta = x

    Sinusul are semnul lui y, iar cosinusul semnul lui x.

  2. I: x>0, y>0\text{I}:\ x > 0,\ y > 0

    Sus în dreapta: toate pozitive.

  3. II: x<0, y>0\text{II}:\ x < 0,\ y > 0

    Sus în stânga: doar sinusul (și inversa lui, cosecanta) este pozitiv.

  4. III: x<0, y<0\text{III}:\ x < 0,\ y < 0

    Jos în stânga: sin și cos negative, dar tg = y/x este negativ/negativ = pozitiv.

  5. IV: x>0, y<0\text{IV}:\ x > 0,\ y < 0

    Jos în dreapta: doar cosinusul (și secanta) este pozitiv.

  6. sec⁡∼cos⁡,cosec⁡∼sin⁡,ctg⁡∼tg⁡\operatorname{sec} \sim \operatorname{cos},\quad \operatorname{cosec} \sim \operatorname{sin},\quad \operatorname{ctg} \sim \operatorname{tg}

    O funcție și inversa ei au mereu același semn (∼), pentru că 1 împărțit la un număr își păstrează semnul.

La ce folosește

Calcularea oricărui unghi cu unghiul lui de referință: valoarea din tabel + semnul cadranului.

Demonstrație

De unde vin unghiurile remarcabile

sin⁡30°=12⋅sin⁡45°=22⋅sin⁡60°=32\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad\cdot\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  1. 45°: a2+a2=1245\degree:\ a^2 + a^2 = 1^2

    Dacă un unghi ascuțit are 45°, și celălalt are (împreună fac 90°). Cele două catete sunt egale; le notăm a. Aplicăm Pitagora cu ipotenuza 1.

  2. 2a2=1  →  a=12=222a^2 = 1 \;\to\; a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Îl scoatem pe a. A raționaliza înseamnă a înmulți sus și jos cu √2 ca să scoți radicalul de la numitor.

  3. sin⁡45°=cos⁡45°=22\operatorname{sin} 45\degree = \operatorname{cos} 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Cele două catete sunt egale.

  4. 60°+60°+60°=180°  →  30°, 60°, 90°60\degree + 60\degree + 60\degree = 180\degree \;\to\; 30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree

    Un triunghi echilateral (trei laturi egale) are trei unghiuri de 60°. Tăiat în două, dă două triunghiuri 30°-60°-90° cu ipotenuza 1.

  5. b=12,(12)2+h2=1  →  h=32b = \dfrac{1}{2},\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \;\to\; h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    Baza b se împarte în două jumătăți. Înălțimea h vine din Pitagora: h² = 1 − 1/4 = 3/4.

  6. sin⁡30°=12,cos⁡30°=32,sin⁡60°=32,cos⁡60°=12\operatorname{sin} 30\degree = \dfrac{1}{2},\quad \operatorname{cos} 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sin} 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{cos} 60\degree = \dfrac{1}{2}

    Opus lui 30° este baza scurtă; opusă lui 60° este înălțimea.

La ce folosește

Cu două triunghiuri reconstruiești tot tabelul fără să-l înveți pe de rost.

Demonstrație

sin θ · cosec θ = 1

sin⁡θ⋅cosec⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = 1
  1. cosec⁡θ=1sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}

    Definiția cosecantei: este inversa sinusului.

  2. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θ⋅1sin⁡θ\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \operatorname{sin}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{sin}\theta}}

    Înlocuim cosecanta.

  3. sin⁡θ⋅cosec⁡θ=sin⁡θsin⁡θ=1\operatorname{sin}\theta \cdot \operatorname{cosec}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{sin}\theta} = 1

    Un număr împărțit la el însuși dă 1. E valabil doar dacă sin θ ≠ 0 (nu se împarte la 0).

La ce folosește

De aceea se numesc funcții reciproce: înmulțite dau 1. Permite trecerea de la una la alta.

Demonstrație

cos θ · sec θ = 1

cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = 1
  1. sec⁡θ=1cos⁡θ\operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}

    Definiția secantei: este inversa cosinusului.

  2. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θ⋅1cos⁡θ\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\dfrac{1}{\operatorname{cos}\theta}}

    Înlocuim secanta.

  3. cos⁡θ⋅sec⁡θ=cos⁡θcos⁡θ=1\operatorname{cos}\theta \cdot \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta} = 1

    Se simplifică, cu condiția cos θ ≠ 0.

La ce folosește

Dacă știi cosinusul, secanta este inversa lui (și invers).

Demonstrație

tg θ · ctg θ = 1

tg⁡θ⋅ctg⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = 1
  1. tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta},\quad \operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Le scriem pe amândouă cu sinus și cosinus.

  2. tg⁡θ⋅ctg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta} \cdot \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}

    Înmulțim.

  3. tg⁡θ⋅ctg⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θcos⁡θ⋅sin⁡θ=1\operatorname{tg}\theta \cdot \operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta} \cdot \operatorname{cos}\theta}{\operatorname{cos}\theta \cdot \hl{\operatorname{sin}\theta}} = 1

    Fracțiile se înmulțesc numărător cu numărător și numitor cu numitor. Sus și jos rămâne același lucru: 1.

La ce folosește

Trecerea de la tangentă la cotangentă cu ctg θ = 1/tg θ.

Demonstrație

tg θ = sin θ / cos θ

tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sin}\theta}{\operatorname{cos}\theta}
  1. tg⁡θ=cateta opusa˘cateta ala˘turata˘\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}

    Definiția tangentei în triunghiul dreptunghic.

  2. tg⁡θ=yx\operatorname{tg}\theta = \dfrac{y}{x}

    Pe cercul trigonometric opusa este y, iar alăturata x.

  3. tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{sin}\theta}}{\hl{\operatorname{cos}\theta}}

    Pentru că y = sin θ și x = cos θ.

La ce folosește

Așa calculezi tangenta când știi doar sinusul și cosinusul.

Demonstrație

ctg θ = cos θ / sin θ

ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\operatorname{cos}\theta}{\operatorname{sin}\theta}
  1. ctg⁡θ=cateta ala˘turata˘cateta opusa˘\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}

    Definiția cotangentei: tangenta întoarsă.

  2. ctg⁡θ=xy\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{x}{y}

    Pe cercul trigonometric.

  3. ctg⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\operatorname{ctg}\theta = \dfrac{\hl{\operatorname{cos}\theta}}{\hl{\operatorname{sin}\theta}}

    Înlocuim x și y cu cosinus și sinus.

La ce folosește

Să scrii totul cu sinus și cosinus e primul pas pentru a simplifica aproape orice expresie.

Demonstrație

sin²θ + cos²θ = 1

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei (c) este suma pătratelor catetelor (a și b).

  2. a=x,b=y,c=1a = \hl{x},\quad b = \hl{y},\quad c = \hl{1}

    Pe cercul trigonometric catetele sunt x și y, iar ipotenuza este raza.

  3. x2+y2=(1)2x^2 + y^2 = (1)^2

    Înlocuim.

  4. (cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\operatorname{cos}\theta)^2 + (\operatorname{sin}\theta)^2 = 1

    Înlocuim x cu cos θ și y cu sin θ.

  5. cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sin}^2\theta = 1

    Se scrie cos²θ în loc de (cos θ)²; e doar o notație.

  6. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Ordinea termenilor nu contează.

La ce folosește

Dacă știi o funcție, o afli pe cealaltă: cos θ = ±√(1 − sin²θ). Stă la baza aproape tuturor celorlalte identități.

Demonstrație

1 + tg²θ = sec²θ

1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Pornim de la identitatea pitagoreică.

  2. sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{cos}^2\theta}}

    Împărțim toți termenii la cos²θ (se poate dacă cos θ ≠ 0). Făcând același lucru în ambii membri, egalitatea se păstrează.

  3. tg⁡2θ+1=sec⁡2θ\operatorname{tg}^2\theta + 1 = \operatorname{sec}^2\theta

    sin/cos este tg, cos/cos este 1, iar 1/cos este sec.

  4. 1+tg⁡2θ=sec⁡2θ1 + \operatorname{tg}^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta

    Reordonăm. În figură este Pitagora în triunghiul mare: catete 1 și tg θ, ipotenuză sec θ.

La ce folosește

Trecerea de la tangentă la secantă fără a calcula unghiul; apare des la integrale.

Demonstrație

1 + ctg²θ = cosec²θ

1+ctg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta
  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\operatorname{sin}^2\theta + \operatorname{cos}^2\theta = 1

    Pornim de la identitatea pitagoreică.

  2. sin⁡2θsin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\dfrac{\operatorname{sin}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} + \dfrac{\operatorname{cos}^2\theta}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}} = \dfrac{1}{\hl{\operatorname{sin}^2\theta}}

    Acum împărțim la sin²θ (dacă sin θ ≠ 0).

  3. 1+ctg⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta

    sin/sin este 1, cos/sin este ctg, iar 1/sin este cosec. Este Pitagora în triunghiul de pe dreapta y = 1.

La ce folosește

Leagă cotangenta de cosecantă, așa cum precedenta leagă tangenta de secantă.

Ți-a fost util?

Acest ghid este gratuit și fără reclame. Dacă te ajută la învățat, poți să-mi cumperi o cafea.

Cumpără-mi o cafea