Интерактивное пособие · Сумма углов

Сумма углов

Перетаскивай α, β или результат по окружности или вводи углы. Панель применяет формулы сложения и вычитания и проверяет, что они дают то же значение, что и прямое вычисление. Нажми на любую формулу в пособии, чтобы увидеть доказательство.

Угостить кофе
αβ (дуга показывает поворот от α)α ± βcos(α ± β)sin(α ± β)
°
°
От 0° до 360°. Можно писать и в радианах через π, например π/3.
Результат
α + β = 75°
= 5π/12 рад ≈1,3090 рад
αβα + β
sin√2/21/2(√6+√2)/4
cos√2/2√3/2(√6−√2)/4
tg1√3/32+√3
По формулам сложения
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
= √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2
= (√6+√2)/4 ≈ 0,9659совпадает с sin(75°)
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
= √2/2 · √3/2 − √2/2 · 1/2
= (√6−√2)/4 ≈ 0,2588совпадает с cos(75°)
tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
= (1 + √3/3) / (1 − 1 · √3/3)
= 2+√3 ≈ 3,7321
1 · Идея

Что значит сложить углы

Сложить α (альфа) и β (бета) — значит сначала повернуть на α от оси x, а затем ещё на β. Вычесть — повернуть на β назад. Формулы сложения дают sin, cos и tg итогового угла, используя только значения для α и β.

Типичная ошибка: синус не раскрывается как скобкаsin(α + β) почти никогда не равен sin α + sin β. С текущими углами:
sin 45° + sin 30° = 1,2071  ≠  sin(75°) = 0,9659
2 · Формулы

Сумма и разность

Читай ± с верхним знаком для суммы и с нижним для разности; у ∓ наоборот. В косинусе знак меняется на противоположный.

Синус

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Тот же знак, что и у действия. Синус и косинус перемешиваются.

Доказательство

Косинус

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

Противоположный знак. cos с cos, sin с sin.

Доказательство

Тангенс

tg⁡(α±β)=(tg⁡α±tg⁡β)/(1∓tg⁡α tg⁡β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = (\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta) \mathbin{/} (1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta)

Получается делением двух предыдущих. Не существует, если знаменатель равен 0.

Доказательство
3 · Разобранный пример

sin 75° без калькулятора

75° — не табличный угол, но это сумма двух табличных: 45° + 30°.

  1. 1Разложить на табличные углы75°=45°+30°75\degree = 45\degree + 30\degree
  2. 2Применить формулу синусаsin⁡75°=sin⁡45°⋅cos⁡30°+cos⁡45°⋅sin⁡30°\operatorname{sin} 75\degree = \operatorname{sin} 45\degree \cdot \operatorname{cos} 30\degree + \operatorname{cos} 45\degree \cdot \operatorname{sin} 30\degree
  3. 3Подставить значения из таблицы=(22)(32)+(22)(12)= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
  4. 4Перемножить и сложить=64+24=6+24≈0,9659= \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659
4 · Следствия

Другие важные тождества

Все они выводятся из формул сложения. Проверка использует текущие углы.

Двойной угол

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha
tg⁡2α=2tg⁡α/(1−tg⁡2α)\operatorname{tg} 2\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha \mathbin{/} (1 - \operatorname{tg}^2\alpha)

Это сумма при β = α.

α = 45° → 2α = 90°: sin 2α = 1,0000 (напрямую 1,0000), cos 2α = 0,0000 (напрямую 0,0000), tg 2α не существует
Доказательство

Половинный угол

sin⁡(α/2)=±(1−cos⁡α)/2\operatorname{sin}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 - \operatorname{cos}\alpha)/2}
cos⁡(α/2)=±(1+cos⁡α)/2\operatorname{cos}(\alpha/2) = \pm\sqrt{(1 + \operatorname{cos}\alpha)/2}

Выражается из косинуса двойного угла. Знак зависит от четверти угла α/2.

α/2 = 22,5°: √((1 − 0,7071)/2) = 0,3827 → sin = 0,3827; √((1 + 0,7071)/2) = 0,9239 → cos = 0,9239
Доказательство

Варианты косинуса двойного угла

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1
cos⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

Заменяя sin² на 1 − cos² (или наоборот).

2·0,7071² − 1 = 0,0000 · 1 − 2·0,7071² = 0,0000
Доказательство

Сумма в произведение

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{cos}\alpha + \operatorname{cos}\beta = 2\operatorname{cos}\tfrac{\alpha+\beta}{2}\,\operatorname{cos}\tfrac{\alpha-\beta}{2}

Превращают сумму в произведение — удобно для упрощения.

sin α + sin β = 1,2071 = 1,2071 · cos α + cos β = 1,5731 = 1,5731
Доказательство
5 · Зачем это нужно

Где применяются

Точные значенияНайти sin, cos или tg для 15°, 75°, 105°… комбинируя табличные углы.
Последовательные поворотыПовернуть на α, а затем на β — то же, что повернуть на α + β; так доказывают, что матрицы поворота перемножаются.
ВолныСложение двух звуков близкой частоты даёт «биения»: их объясняют формулы суммы в произведение.
Упрощение и решениеУпрощать выражения, решать тригонометрические уравнения и вычислять интегралы вроде ∫ sin²x dx через двойной угол.
Доказательство

Синус суммы и разности

sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. sin⁡x=cos⁡(90°−x)\operatorname{sin} x = \operatorname{cos}(90\degree - x)

    Дополнительные углы (в сумме 90°): в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий одному острому углу, прилежит к другому. Поэтому синус одного равен косинусу другого.

  2. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−(α+β))=cos⁡((90°−α)−β)\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - (\alpha + \beta)) = \operatorname{cos}(\hl{(90\degree - \alpha)} - \beta)

    Применяем это к α + β и перегруппировываем скобку.

  3. sin⁡(α+β)=cos⁡(90°−α) cos⁡β+sin⁡(90°−α) sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}(90\degree - \alpha)\,\operatorname{sin}\beta

    Используем формулу косинуса разности, подставив 90° − α вместо α.

  4. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \hl{\operatorname{sin}\alpha}\,\operatorname{cos}\beta + \hl{\operatorname{cos}\alpha}\,\operatorname{sin}\beta

    cos(90° − α) = sin α и sin(90° − α) = cos α (снова дополнительные углы).

  5. sin⁡(α−β)=sin⁡α cos⁡β−cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha - \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Для разности заменяем β на −β: cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β.

Зачем это нужно

Находить точные синусы нетабличных углов (15°, 75°, 105°…) и складывать волны в физике.

Доказательство

Косинус суммы и разности

cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta
  1. A=(cos⁡α,sin⁡α),B=(cos⁡β,sin⁡β)A = (\operatorname{cos}\alpha, \operatorname{sin}\alpha),\quad B = (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sin}\beta)

    Две точки единичной окружности с углами α и β. Угол между ними равен α − β. Найдём расстояние d между A и B двумя способами.

  2. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = (\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{cos}\beta)^2 + (\operatorname{sin}\alpha - \operatorname{sin}\beta)^2

    Формула расстояния между двумя точками: (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

  3. d2=cos⁡2α−2cos⁡α cos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α−2sin⁡α sin⁡β+sin⁡2βd^2 = \operatorname{cos}^2\alpha - 2\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}^2\beta + \operatorname{sin}^2\alpha - 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta + \operatorname{sin}^2\beta

    Раскрываем каждый квадрат по формуле (a − b)² = a² − 2ab + b².

  4. d2=(sin⁡2α+cos⁡2α)+(sin⁡2β+cos⁡2β)−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = \hl{(\operatorname{sin}^2\alpha + \operatorname{cos}^2\alpha)} + \hl{(\operatorname{sin}^2\beta + \operatorname{cos}^2\beta)} - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Группируем квадраты для каждого угла.

  5. d2=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)d^2 = 2 - 2(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)

    Каждая цветная скобка равна 1, так как sin² + cos² = 1.

  6. A′=(cos⁡(α−β),sin⁡(α−β)),B′=(1,0)A' = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta), \operatorname{sin}(\alpha - \beta)),\quad B' = (1, 0)

    Второй способ: поворачиваем фигуру, пока B не окажется на оси x. Поворот не меняет расстояний, поэтому A′B′ тоже равно d.

  7. d2=(cos⁡(α−β)−1)2+sin⁡2(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = (\operatorname{cos}(\alpha - \beta) - 1)^2 + \operatorname{sin}^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\operatorname{cos}(\alpha - \beta)

    Та же формула расстояния. После раскрытия sin² + cos² снова даёт 1.

  8. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β)2 - 2\hl{\operatorname{cos}(\alpha - \beta)} = 2 - 2\hl{(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta)}

    Оба выражения — одно и то же расстояние, значит, они равны.

  9. cos⁡(α−β)=cos⁡α cos⁡β+sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha - \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Вычитаем 2 из обеих частей и делим на −2. Получили формулу разности.

  10. cos⁡(α+β)=cos⁡α cos⁡(−β)+sin⁡α sin⁡(−β)=cos⁡α cos⁡β−sin⁡α sin⁡β\operatorname{cos}(\alpha + \beta) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}(\hl{-\beta}) + \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}(\hl{-\beta}) = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Для суммы запишем α + β = α − (−β). Отрицательный угол отражает точку относительно оси x: cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β. Отсюда знак минус.

Зачем это нужно

Это базовая формула: из неё выводятся формулы для синуса, тангенса, двойного и половинного угла.

Доказательство

Тангенс суммы и разности

tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}
  1. tg⁡(α±β)=sin⁡(α±β)cos⁡(α±β)\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}(\alpha \pm \beta)}{\operatorname{cos}(\alpha \pm \beta)}

    Тангенс — это синус, делённый на косинус.

  2. tg⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \pm \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta \mp \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}

    Подставляем формулы синуса и косинуса.

  3. tg⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β±cos⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡βcos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡βcos⁡α cos⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \pm \dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}{\dfrac{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}} \mp \dfrac{\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\beta}{\hl{\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta}}}

    Делим числитель и знаменатель на cos α cos β. Значение не меняется: это как умножить на 1.

  4. tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}

    Сокращаем каждую дробь: sin α/cos α = tg α, sin β/cos β = tg β, а одинаковое сверху и снизу даёт 1.

Зачем это нужно

Находить угол между двумя прямыми по их угловым коэффициентам.

Доказательство

Двойной угол

sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha
  1. sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β\operatorname{sin}(\alpha + \beta) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\beta

    Начинаем с формулы суммы.

  2. sin⁡(α+α)=sin⁡α cos⁡α+cos⁡α sin⁡α\operatorname{sin}(\alpha + \hl{\alpha}) = \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\hl{\alpha} + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sin}\hl{\alpha}

    Полагаем β = α (складываем угол сам с собой).

  3. sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α\operatorname{sin} 2\alpha = 2\operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha

    Оба слагаемых одинаковы.

  4. cos⁡2α=cos⁡α cos⁡α−sin⁡α sin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\alpha - \operatorname{sin}\alpha\,\operatorname{sin}\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Тот же приём с формулой косинуса.

  5. tg⁡2α=tg⁡α+tg⁡α1−tg⁡α tg⁡α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}

    И с формулой тангенса.

Зачем это нужно

Упрощать выражения и вычислять интегралы вроде ∫ sin x cos x dx.

Доказательство

Варианты косинуса двойного угла

cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha
  1. cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \operatorname{sin}^2\alpha

    Косинус двойного угла.

  2. sin⁡2α=1−cos⁡2α\operatorname{sin}^2\alpha = 1 - \operatorname{cos}^2\alpha

    Выражено из sin²α + cos²α = 1.

  3. cos⁡2α=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)=2cos⁡2α−1\operatorname{cos} 2\alpha = \operatorname{cos}^2\alpha - \hl{(1 - \operatorname{cos}^2\alpha)} = 2\operatorname{cos}^2\alpha - 1

    Подставляем sin²α и приводим подобные с cos²α.

  4. cos⁡2α=1−sin⁡2α\operatorname{cos}^2\alpha = 1 - \operatorname{sin}^2\alpha

    Теперь выражаем косинус.

  5. cos⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\operatorname{cos} 2\alpha = \hl{(1 - \operatorname{sin}^2\alpha)} - \operatorname{sin}^2\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\alpha

    Подставляем и приводим подобные с sin²α.

Зачем это нужно

Выбирать вариант только с синусом или только с косинусом — в зависимости от того, что дано.

Доказательство

Половинный угол

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}
  1. cos⁡2x=1−2sin⁡2x\operatorname{cos} 2x = 1 - 2\operatorname{sin}^2 x

    Вариант косинуса двойного угла, верный для любого угла x.

  2. x=α2  →  cos⁡α=1−2sin⁡2α2x = \dfrac{\alpha}{2} \;\to\; \operatorname{cos}\alpha = 1 - 2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2}

    Обозначим x половину α. Тогда 2x = α.

  3. 2sin⁡2α2=1−cos⁡α2\operatorname{sin}^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \operatorname{cos}\alpha

    Переносим слагаемые из одной части в другую.

  4. sin⁡α2=±1−cos⁡α2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Делим на 2 и извлекаем квадратный корень. У корня два знака: выбирают тот, что соответствует четверти угла α/2.

  5. cos⁡α2=±1+cos⁡α2\operatorname{cos}\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \operatorname{cos}\alpha}{2}}

    Аналогично, исходя из cos 2x = 2cos²x − 1.

Зачем это нужно

Находить точные значения вроде sin 15° или cos 22,5° из 30° или 45°.

Доказательство

Сумма в произведение

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}
  1. sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x + y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y + \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Формула суммы.

  2. sin⁡(x−y)=sin⁡x cos⁡y−cos⁡x sin⁡y\operatorname{sin}(x - y) = \operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y - \operatorname{cos} x\,\operatorname{sin} y

    Формула разности.

  3. sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡x cos⁡y\operatorname{sin}(x + y) + \operatorname{sin}(x - y) = 2\operatorname{sin} x\,\operatorname{cos} y

    Складываем их: слагаемые cos x sin y взаимно уничтожаются.

  4. α=x+y,β=x−y  →  x=α+β2,y=α−β2\alpha = x + y,\quad \beta = x - y \;\to\; x = \dfrac{\alpha + \beta}{2},\quad y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Замена обозначений. Складывая и вычитая два равенства, находим x и y.

  5. sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2 cos⁡α−β2\operatorname{sin}\alpha + \operatorname{sin}\beta = 2\operatorname{sin}\dfrac{\alpha + \beta}{2}\,\operatorname{cos}\dfrac{\alpha - \beta}{2}

    Подставляем. Так же из формул косинуса получается cos α + cos β.

Зачем это нужно

Произведение равно 0, если хотя бы один множитель равен 0, — так уравнения решаются проще. Это же объясняет «биения» при сложении двух звуков.

Было полезно?

Это пособие бесплатное и без рекламы. Если оно помогает тебе учиться, можешь угостить меня кофе.

Угостить кофе