Guía interactiva · números complejos

Números Complejos

Arrastra z (y w) por el plano o escribe sus coordenadas. Verás a la vez sus formas binómica, polar y exponencial, y lo que pasa al operar. Pulsa cualquier tarjeta para ver su demostración paso a paso.

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wz · wabρz
zwresultadoRe(z) = aIm(z) = b
Número complejo
z = 2 + i
|z| = √5 ≈ 2,236 · Arg z ≈ 0,464 (26,6°)
z
w
Escribe a y b de z = a + bi. Valen enteros, decimales, fracciones o raíces: 3, -1.5, 1/2, √3/2.
Operación
Ejemplos de los apuntes
Resultado de la operación
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
= (2·(−1) − 1·1) + (2·1 + 1·(−1))i
= −3 + i
(ρ1)θ1 · (ρ2)θ2 = (ρ1ρ2)θ1 + θ2
= (√5 · √2)0,464 + 3π/4 = √102,82
= √102,82
Todas las formas de z
a + bi Binómica
2 + i
Re(z) = a Parte real
2
Im(z) = b Parte imaginaria
1
|z| = √a² + b² Módulo
√2² + 1² = √5 ≈ 2,236
θ = Arg z Argumento
arctan(0,5) ≈ 26,6°
ρθ Polar
√50,464
ρ(cos θ + i sen θ) Trigonométrica
√5(cos 0,464 + i sen 0,464)
ρeiθ Exponencial
√5e0,464i
z = a − bi Conjugado
2 − i
01 · Definición

¿Qué es un número complejo?

La ecuación x² + 1 = 0 no tiene solución real, porque ningún número real al cuadrado da −1. Se añade un número nuevo, i, que cumple i² = −1, y con él se construyen todos los complejos.

Unidad imaginariai = √−1, es decir, i² = −1.
Forma binómicaz = a + bi, con a y b números reales. Se llama binómica porque tiene dos términos.
Parte realRe(z) = a: el término sin i.
Parte imaginariaIm(z) = b: el número que acompaña a i (sin la i).
El conjunto ℂℂ = {a + bi : a, b ∈ ℝ}. Los reales son los complejos con b = 0.

Definición axiomática: ℂ = (ℝ², +, ·)

(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd, ad+bc)(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\ ad + bc)

Un complejo es un par de reales con una regla especial para multiplicar. De ella sale i² = −1.

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Potencias de i

i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1i^0 = 1,\quad i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1

Las potencias de i se repiten cada 4: 1, i, −1, −i, 1, …

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02 · Estructura

ℂ es un cuerpo… pero no se puede ordenar

Un cuerpo es un conjunto donde se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo entre 0) con las reglas de siempre. ℂ lo es, pero pierde algo que sí tiene ℝ: el orden.

ℂ es un cuerpo

z≠0  ⇒  z−1=a−bia2+b2z \neq 0 \;\Rightarrow\; z^{-1} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}

Suma y producto cumplen las reglas de siempre y todo z ≠ 0 tiene inverso.

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¿2 < i? No: ℂ no se puede ordenar

2<i ?No2 < i\,?\quad \text{No}

No existe un orden en ℂ compatible con las operaciones. Comparar complejos con < no tiene sentido.

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03 · Representación gráfica

El plano complejo

Como un complejo es un par (a, b), se dibuja como un punto del plano o como una flecha (vector) desde el origen.

El eje X es el eje real: los puntos (x, 0) son los reales x. El eje Y es el eje imaginario: los puntos (0, y) son los imaginarios puros yi. En el dibujo, los ejemplos de tus apuntes: z = 2 − i y w = 1 + 2i.

Fasor: complejo de módulo 1

∣z∣=1  ⇔  a2+b2=1  ⇔  z=cos⁡θ+isen⁡θ|z| = 1 \;\Leftrightarrow\; a^2 + b^2 = 1 \;\Leftrightarrow\; z = \operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta

Los complejos con |z| = 1 forman la circunferencia unidad: son el círculo trigonométrico.

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04 · Conjugado

El conjugado z̄

El conjugado de z = a + bi es z̄ = a − bi: se cambia el signo de la parte imaginaria. En el plano es la reflexión de z respecto al eje real (como un espejo).

El conjugado del conjugado

z‾‾=z\overline{\overline{z}} = z

Conjugar dos veces deja el número como estaba.

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Conjugado de una suma

z+w‾=z‾+w‾\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}

Da igual sumar y luego conjugar que conjugar y luego sumar.

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Conjugado de un producto

z⋅w‾=z‾⋅w‾⇒zn‾=z‾ n\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \quad\Rightarrow\quad \overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}

El conjugado de un producto es el producto de los conjugados. En particular, conj(zⁿ) = z̄ⁿ.

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05 · Módulo

El módulo |z|

El módulo |z| = √(a² + b²) es la longitud de la flecha, es decir, la distancia de z al origen. Sale del teorema de Pitágoras con catetos a y b.

El módulo es ≥ 0 y solo vale 0 en z = 0

∣z∣=a2+b2≥0|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0

|z| es una distancia: nunca es negativa y solo es 0 en el origen.

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Desigualdad triangular

∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z + w| \le |z| + |w|

El tamaño de una suma nunca supera la suma de los tamaños.

z = 2 + i, w = −1 + i: |z + w| = 2,236 ≤ 2,236 + 1,414 = 3,65
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Módulo de un producto

∣zw∣=∣z∣⋅∣w∣⇒∣zn∣=∣z∣n|zw| = |z| \cdot |w| \quad\Rightarrow\quad |z^n| = |z|^n

Al multiplicar complejos, los módulos se multiplican: |zw| = |z||w|.

|zw| = 3,162 = 2,236 · 1,414
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Un número y su conjugado miden lo mismo

∣z∣=∣z‾∣|z| = |\overline{z}|

|z| = |z̄|: reflejar no cambia la distancia al origen.

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z · z̄ = |z|²

z⋅z‾=∣z∣2z \cdot \overline{z} = |z|^2

Un complejo por su conjugado siempre da un número real ≥ 0.

(2 + i)(2 − i) = 5 = |z|²
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División: z/w = z·w̄ / |w|²

zw=z w‾∣w∣2,1w=w‾∣w∣2(w≠0)\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\,\overline{w}}{|w|^2},\qquad \dfrac{1}{w} = \dfrac{\overline{w}}{|w|^2}\quad (w \neq 0)

Para dividir, se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador.

z / w = −0,5 − 1,5i
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06 · Forma polar

Forma polar ρθ

Un punto también queda fijado por dos datos: lo lejos que está del origen y el ángulo que forma con el eje real positivo. Es como dar una dirección diciendo «a 5 km, hacia el noreste».

ρ (rho): móduloρ := |z|, la distancia al origen.
θ (theta): argumento principalθ := Arg(z) ∈ (−π, π], el ángulo medido desde el eje real positivo; en sentido antihorario es positivo.
arg(z): todos los argumentosarg(z) = {θ + 2πn : n ∈ ℤ}. Dar vueltas completas (2π = 360°) lleva al mismo punto.
Notación polarz = ρθ, donde ρ = |z| y θ = Arg(z).
FormaNotaciónz = 1 + iw = 1 − i
Binómicaa + bi1 + i1 − i
Polarρθ√2π/4√2−π/4
Trigonométricaρ(cos θ + i sen θ)√2(cos π/4 + i sen π/4)√2(cos (−π/4) + i sen (−π/4))
Exponencialρeiθ√2eiπ/4√2e−iπ/4

De binómica a polar (y el cuidado con arctan)

ρ=a2+b2,θ=Arg⁡z∈(−π,π]\rho = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad \theta = \operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]

ρ = √(a² + b²) y θ = arctan(b/a), corrigiendo según el cuadrante.

Arg(2 + i) ≈ 0,464 ≈ 26,6°
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De polar a binómica

a=ρcos⁡θ,b=ρsen⁡θ⇒z=ρ(cos⁡θ+isen⁡θ)a = \rho\operatorname{cos}\theta,\quad b = \rho\operatorname{sen}\theta \quad\Rightarrow\quad z = \rho(\operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta)

a = ρ cos θ y b = ρ sen θ. Así sale la forma trigonométrica.

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07 · Operaciones en polar

Multiplicar es girar

En forma polar las operaciones son muy sencillas: al multiplicar, los módulos se multiplican y los ángulos se suman. Por eso multiplicar por un complejo es girar y estirar.

Producto en polar: se multiplican módulos y se suman ángulos

(ρ1)θ1⋅(ρ2)θ2=(ρ1ρ2)θ1+θ2(\rho_1)_{\theta_1} \cdot (\rho_2)_{\theta_2} = (\rho_1\rho_2)_{\theta_1 + \theta_2}

(ρ₁)θ₁ · (ρ₂)θ₂ = (ρ₁ρ₂)θ₁+θ₂

√50,464 · √23π/4 = √102,82
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Cociente en polar: se dividen módulos y se restan ángulos

(ρ1)θ1(ρ2)θ2=(ρ1ρ2)θ1−θ2\dfrac{(\rho_1)_{\theta_1}}{(\rho_2)_{\theta_2}} = \left(\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\right)_{\theta_1 - \theta_2}

(ρ₁)θ₁ / (ρ₂)θ₂ = (ρ₁/ρ₂)θ₁−θ₂

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Conjugado e inverso en polar

ρθ‾=ρ−θ,(ρθ)−1=(1ρ)−θ\overline{\rho_\theta} = \rho_{-\theta},\qquad (\rho_\theta)^{-1} = \left(\dfrac{1}{\rho}\right)_{-\theta}

z̄ = ρ−θ y z⁻¹ = (1/ρ)−θ

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Multiplicar por 1β es girar un ángulo β

(x+yi)⋅1β  =  girar β(x + yi) \cdot 1_\beta \;=\; \text{girar}\ \beta

Al multiplicar por cos β + i sen β, todo el plano gira β alrededor del origen.

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08 · De Moivre

Teorema de De Moivre

Elevar a una potencia es multiplicar varias veces el mismo número, así que el ángulo se suma n veces consigo mismo.

Teorema de De Moivre

(cos⁡θ+isen⁡θ)n=cos⁡nθ+isen⁡nθ(\operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta)^n = \operatorname{cos} n\theta + i\operatorname{sen} n\theta

(cos θ + i sen θ)ⁿ = cos nθ + i sen nθ. Elevar a n es multiplicar el ángulo por n.

z³ = (2 + i)³ = 2 + 11i
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09 · Forma exponencial

La fórmula de Euler: eiθ

Con la forma exponencial, las reglas de los complejos se convierten en las reglas de las potencias que ya conoces.

¿Qué significa una potencia? 2³ = 2 · 2 · 2 se entiende contando. Pero π² ya no es «π veces», y 2π aún menos: son definiciones que extienden la idea manteniendo sus reglas. Con eiθ pasa lo mismo: se define para que siga cumpliéndose eaeb = ea+b.

La fórmula de Euler

eiθ≔cos⁡θ+isen⁡θ=1θe^{i\theta} \coloneqq \operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta = 1_\theta

eiθ := cos θ + i sen θ. Es la forma exponencial de un fasor.

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Seno y coseno con exponenciales

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sen⁡θ=eiθ−e−iθ2i\operatorname{cos}\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},\qquad \operatorname{sen}\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

Sumando y restando eiθ y e−iθ se despejan cos θ y sen θ.

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Propiedades de eiθ

(eiθ)n=einθ,ei(θ+ω)=eiθeiω(e^{i\theta})^n = e^{in\theta},\qquad e^{i(\theta + \omega)} = e^{i\theta}e^{i\omega}

Se comporta como una potencia normal: los exponentes se suman y se multiplican.

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10 · Raíces

Raíces n-ésimas

En ℂ, todo número distinto de 0 tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas, repartidas como los vértices de un polígono regular.

Raíces n-ésimas

ρθn={(ρn)θ+2πkn:k=0,…,n−1}\sqrt[n]{\rho_\theta} = \left\{ \left(\sqrt[n]{\rho}\right)_{\frac{\theta + 2\pi k}{n}} : k = 0, \ldots, n - 1 \right\}

Todo z ≠ 0 tiene n raíces n-ésimas, con módulo ⁿ√ρ y ángulos (θ + 2πk)/n.

³√(2 + i): ≈ 1,292 + 0,201i · ≈ −0,82 + 1,018i · ≈ −0,472 − 1,22i
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Ejemplo: las raíces cúbicas de 1

13={1, −1±3 i2}\sqrt[3]{1} = \left\{ 1,\ \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \right\}

∛1 = {1, ω, ω²} con ω = −1/2 + (√3/2)i.

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Ejemplo: z³ − 8 = 0

z3−8=0⇒z∈{2, −1±3 i}z^3 - 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad z \in \{ 2,\ -1 \pm \sqrt{3}\,i \}

Las soluciones son 2 y −1 ± √3 i: las raíces cúbicas de 1 multiplicadas por 2.

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11 · Exponencial y logaritmo

ez y log z en ℂ

La exponencial se extiende a cualquier exponente complejo; su inversa, el logaritmo, existe incluso para números negativos, pero tiene infinitos valores.

Exponencial compleja ez

ez≔eRe⁡z eiIm⁡ze^z \coloneqq e^{\operatorname{Re} z}\, e^{i \operatorname{Im} z}

ea+bi = ea (cos b + i sen b): módulo ea y ángulo b.

e^(2 + i) = ≈ 3,992 + 6,218i, |e^z| = e^2 = 7,389
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Logaritmo complejo

log⁡z=ln⁡∣z∣+iarg⁡z,Log⁡z=ln⁡∣z∣+iArg⁡z\log z = \ln|z| + i\arg z,\qquad \operatorname{Log} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z

log z = ln|z| + i arg z. Tiene infinitos valores, separados 2πi.

Log(2 + i) = ≈ 0,805 + 0,464i
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12 · Aplicaciones

¿Para qué sirven los complejos?

ElectricidadEn corriente alterna, tensiones e intensidades son fasores. La impedancia Z = R + iX junta resistencia y reactancia en un solo número.
Señales y sonidoLa transformada de Fourier descompone cualquier señal en ondas eiωt. Así funcionan el MP3, el JPEG o el 5G.
Gráficos y videojuegosGirar un punto un ángulo θ es multiplicarlo por eiθ. Los cuaterniones, su versión 3D, giran cámaras y personajes.
EcuacionesTeorema fundamental del álgebra: todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en ℂ (contando repeticiones).
Física cuánticaLa función de onda de una partícula es compleja; la probabilidad se obtiene con su módulo al cuadrado |ψ|².
FractalesEl conjunto de Mandelbrot sale de repetir z → z² + c con complejos y ver si el resultado se escapa.
Demostración

Definición axiomática: ℂ = (ℝ², +, ·)

(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd, ad+bc)(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\ ad + bc)
  1. C=R2={(a,b):a,b∈R}\mathbb{C} = \mathbb{R}^2 = \{(a, b) : a, b \in \mathbb{R}\}

    Un número complejo es un par ordenado de números reales (a, b). El primero es la parte real y el segundo la imaginaria.

  2. (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)(a, b) + (c, d) = (a + c,\ b + d)

    La suma se hace componente a componente, igual que con vectores.

  3. (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd⋅i2(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd \cdot i^2

    Para adivinar cómo debe ser el producto, multiplicamos (a + bi)(c + di) como dos binomios: cada término por cada término (propiedad distributiva).

  4. (a+bi)(c+di)=ac+bd⋅(−1)+(ad+bc)i=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi)(c + di) = ac + \hl{bd \cdot (-1)} + (ad + bc)i = (ac - bd) + (ad + bc)i

    Usamos i² = −1, así que bd·i² = −bd. Agrupamos: lo que no lleva i es la parte real (ac − bd); lo que lleva i, la imaginaria (ad + bc).

  5. (a,b)⋅(c,d)≔(ac−bd, ad+bc)(a, b) \cdot (c, d) \coloneqq (ac - bd,\ ad + bc)

    Esa regla es justamente la que se toma como definición del producto de pares. El símbolo := significa «se define como».

  6. i=(0,1)  →  i2=(0⋅0−1⋅1, 0⋅1+1⋅0)=(−1,0)=−1i = (0, 1) \;\to\; i^2 = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1

    Con esta definición, i = (0, 1) y al multiplicarlo por sí mismo sale (−1, 0), que es el real −1. Así i² = −1 ya no es un «número imposible», sino una consecuencia.

Para qué sirve

Los complejos se construyen solo con números reales, sin magia: son puntos del plano con una forma especial de multiplicar.

Demostración

Potencias de i

i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1i^0 = 1,\quad i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1
  1. i2=−1i^2 = -1

    Partimos de la definición: i al cuadrado es −1.

  2. i3=i2⋅i=−ii^3 = i^2 \cdot i = -i

    Para i³ multiplicamos una vez más por i: (−1)·i = −i.

  3. i4=i2⋅i2=(−1)(−1)=1i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1

    i⁴ = i²·i² = (−1)(−1) = 1. Hemos vuelto al principio.

  4. in=ir,r=resto(n÷4)i^n = i^r,\quad r = \text{resto}(n \div 4)

    Como cada cuatro potencias se vuelve a 1, para calcular iⁿ basta mirar el resto r de dividir n entre 4 (r = 0, 1, 2 o 3).

  5. i27=i4⋅6+3=(i4)6⋅i3=−ii^{27} = i^{4 \cdot 6 + 3} = (i^4)^6 \cdot i^3 = -i

    Ejemplo: 27 = 4·6 + 3, resto 3. Como i⁴ = 1, (i⁴)⁶ = 1, y queda i³ = −i.

Para qué sirve

Multiplicar por i es girar 90° en sentido antihorario; cuatro giros de 90° dan la vuelta completa. Por eso el ciclo es de 4.

Demostración

ℂ es un cuerpo

z≠0  ⇒  z−1=a−bia2+b2z \neq 0 \;\Rightarrow\; z^{-1} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}
  1. z+w=w+z,zw=wzz + w = w + z,\quad zw = wz

    Suma y producto son conmutativos (el orden no importa) y asociativos (da igual cómo agrupes). Se heredan de las reglas de ℝ.

  2. z(w+v)=zw+zvz(w + v) = zw + zv

    Se cumple la propiedad distributiva: multiplicar por una suma es sumar los productos.

  3. 0=0+0i,1=1+0i0 = 0 + 0i,\quad 1 = 1 + 0i

    Hay elementos neutros: 0 = 0 + 0i no cambia nada al sumar y 1 = 1 + 0i no cambia nada al multiplicar.

  4. −z=−a−bi-z = -a - bi

    Todo z tiene opuesto −z, que sumado a z da 0.

  5. 1a+bi=1a+bi⋅a−bia−bi=a−bia2+b2\dfrac{1}{a + bi} = \dfrac{1}{a + bi} \cdot \dfrac{\hl{a - bi}}{\hl{a - bi}} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}

    Inverso: para que el denominador sea real, multiplicamos arriba y abajo por a − bi (el conjugado). Abajo queda a² + b², que es positivo si z ≠ 0.

  6. (1+i)−1=1−i2=12−12i(1 + i)^{-1} = \dfrac{1 - i}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i

    Ejemplo: el inverso de 1 + i es (1 − i)/2. Comprobación: (1 + i)(1 − i)/2 = (1 − i²)/2 = 2/2 = 1.

Para qué sirve

Que ℂ sea un cuerpo significa que puedes despejar ecuaciones con complejos exactamente igual que con reales.

Demostración

¿2 < i? No: ℂ no se puede ordenar

2<i ?No2 < i\,?\quad \text{No}
  1. x>0, y>0  ⇒  xy>0x > 0,\ y > 0 \;\Rightarrow\; xy > 0

    Un orden «compatible» (como el de ℝ) debe cumplir que el producto de dos positivos es positivo.

  2. x≠0  ⇒  x2>0x \neq 0 \;\Rightarrow\; x^2 > 0

    Consecuencia: el cuadrado de cualquier número no nulo es positivo (si x < 0, entonces −x > 0 y x² = (−x)² > 0).

  3. i≠0  ⇒  i2>0i \neq 0 \;\Rightarrow\; i^2 > 0

    Supongamos que existe ese orden en ℂ. Como i ≠ 0, tendría que ser i² > 0.

  4. i2=−1  ⇒  −1>0i^2 = -1 \;\Rightarrow\; -1 > 0

    Pero i² = −1, así que tendríamos −1 > 0.

  5. 1=12>01 = 1^2 > 0

    Por otro lado, 1 = 1² también es un cuadrado, así que 1 > 0.

  6. 0=(−1)+1>0(contradiccioˊn)0 = (-1) + 1 > 0\quad (\text{contradicción})

    Sumando dos positivos (−1 y 1) el resultado debe ser positivo: 0 > 0. Eso es imposible, así que ese orden no existe.

Para qué sirve

En ℂ no se dice que un número es mayor que otro. Lo que sí se compara son sus módulos |z| y |w|, que son números reales.

Demostración

Fasor: complejo de módulo 1

∣z∣=1  ⇔  a2+b2=1  ⇔  z=cos⁡θ+isen⁡θ|z| = 1 \;\Leftrightarrow\; a^2 + b^2 = 1 \;\Leftrightarrow\; z = \operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta
  1. z=a+bi,∣z∣=a2+b2z = a + bi,\quad |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

    Un fasor es un complejo z con |z| = 1. Recordamos que |z| = √(a² + b²).

  2. ∣z∣=1  ⇔  a2+b2=1|z| = 1 \;\Leftrightarrow\; a^2 + b^2 = 1

    Elevando al cuadrado, |z| = 1 equivale a a² + b² = 1, que es la ecuación de la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.

  3. a=cos⁡θ,b=sen⁡θa = \operatorname{cos}\theta,\quad b = \operatorname{sen}\theta

    Todo punto de esa circunferencia tiene coordenadas (cos θ, sen θ), como en el círculo trigonométrico.

  4. z=cos⁡θ+isen⁡θ=1θ=eiθz = \operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta = 1_\theta = e^{i\theta}

    Por tanto todo fasor se escribe z = cos θ + i sen θ, que en polar es 1θ y en exponencial eiθ.

Para qué sirve

Multiplicar por un fasor gira sin cambiar el tamaño. En electricidad se usan para representar ondas sinusoidales.

Demostración

El conjugado del conjugado

z‾‾=z\overline{\overline{z}} = z
  1. z=a+bi  ⇒  z‾=a−biz = a + bi \;\Rightarrow\; \overline{z} = a - bi

    Conjugar es cambiar el signo de la parte imaginaria: de a + bi pasamos a a − bi.

  2. z‾‾=a+(−b)i‾=a−(−b)i\overline{\overline{z}} = \overline{a + (-b)i} = a - (-b)i

    Volvemos a conjugar: la parte imaginaria ahora es −b, y le cambiamos el signo otra vez.

  3. z‾‾=a+bi=z\overline{\overline{z}} = a + bi = z

    −(−b) = b, así que recuperamos a + bi = z.

Para qué sirve

Geométricamente, conjugar es reflejar respecto al eje real; reflejar dos veces deja el punto donde estaba.

Demostración

Conjugado de una suma

z+w‾=z‾+w‾\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}
  1. z=a+bi,w=c+diz = a + bi,\quad w = c + di

    Escribimos los dos números en forma binómica.

  2. z+w=(a+c)+(b+d)iz + w = (a + c) + (b + d)i

    Sumamos partes reales con reales e imaginarias con imaginarias.

  3. z+w‾=(a+c)−(b+d)i\overline{z + w} = (a + c) - (b + d)i

    Conjugamos el resultado: cambiamos el signo de la parte imaginaria.

  4. z+w‾=(a−bi)+(c−di)=z‾+w‾\overline{z + w} = (a - bi) + (c - di) = \overline{z} + \overline{w}

    Separamos: es la suma de a − bi y c − di, es decir, z̄ + w̄.

Para qué sirve

Permite conjugar término a término expresiones largas, por ejemplo al simplificar fracciones.

Demostración

Conjugado de un producto

z⋅w‾=z‾⋅w‾⇒zn‾=z‾ n\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \quad\Rightarrow\quad \overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}
  1. zw=(ac−bd)+(ad+bc)izw = (ac - bd) + (ad + bc)i

    Producto en binómica (definición del producto).

  2. zw‾=(ac−bd)−(ad+bc)i\overline{zw} = (ac - bd) - (ad + bc)i

    Lo conjugamos: solo cambia el signo de la parte imaginaria.

  3. z‾⋅w‾=(a−bi)(c−di)=ac−adi−bci+bd⋅i2\overline{z} \cdot \overline{w} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bd \cdot i^2

    Ahora multiplicamos los conjugados (a − bi)(c − di) término a término.

  4. z‾⋅w‾=(ac−bd)−(ad+bc)i\overline{z} \cdot \overline{w} = (ac - bd) - (ad + bc)i

    Con i² = −1 sale (ac − bd) − (ad + bc)i: lo mismo que en el paso 2.

  5. zn‾=z⋅z⋯z‾=z‾⋅z‾⋯z‾=z‾ n\overline{z^n} = \overline{z \cdot z \cdots z} = \overline{z} \cdot \overline{z} \cdots \overline{z} = \overline{z}^{\,n}

    Una potencia es un producto repetido, así que aplicando la regla n veces: conj(zⁿ) = (z̄)ⁿ.

Para qué sirve

Si un polinomio con coeficientes reales tiene una raíz compleja z, también tiene la raíz z̄: las raíces complejas van por parejas.

Demostración

El módulo es ≥ 0 y solo vale 0 en z = 0

∣z∣=a2+b2≥0|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0
  1. ∣z∣=Re⁡(z)2+Im⁡(z)2|z| = \sqrt{\operatorname{Re}(z)^2 + \operatorname{Im}(z)^2}

    El módulo es la distancia del punto (a, b) al origen: por Pitágoras, la hipotenusa de catetos a y b.

  2. a2≥0, b2≥0  ⇒  a2+b2≥0  ⇒  ∣z∣≥0a^2 \ge 0,\ b^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; a^2 + b^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; |z| \ge 0

    a² y b² son cuadrados, así que no son negativos; su suma tampoco, y su raíz tampoco.

  3. ∣z∣=0  ⇔  a2+b2=0  ⇔  a=b=0  ⇔  z=0|z| = 0 \;\Leftrightarrow\; a^2 + b^2 = 0 \;\Leftrightarrow\; a = b = 0 \;\Leftrightarrow\; z = 0

    Una suma de cuadrados solo es 0 si los dos cuadrados son 0, es decir, a = 0 y b = 0.

  4. ∣3+4i∣=9+16=25=5|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

    Ejemplo: |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5 (el triángulo 3, 4, 5).

Para qué sirve

El módulo mide el tamaño de un complejo. Es lo que se compara en lugar de los propios números.

Demostración

Desigualdad triangular

∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z + w| \le |z| + |w|
  1. z+wz + w

    z + w es la diagonal del paralelogramo formado por las flechas z y w (regla del paralelogramo).

  2. 0  →  z  →  z+w0 \;\to\; z \;\to\; z + w

    Para ir de 0 a z + w podemos pasar por z: primero la flecha z (longitud |z|) y después una copia de w (longitud |w|). Se forma un triángulo.

  3. ∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z + w| \le |z| + |w|

    En un triángulo, un lado nunca es más largo que la suma de los otros dos: el camino directo es el más corto.

  4. ∣z+w∣=∣z∣+∣w∣  ⇔  θz=θw|z + w| = |z| + |w| \;\Leftrightarrow\; \theta_z = \theta_w

    La igualdad solo se da cuando z y w apuntan en la misma dirección: el triángulo se aplasta en un segmento.

  5. ∣3+4i∣=5  ≤  ∣3∣+∣4i∣=7|3 + 4i| = 5 \;\le\; |3| + |4i| = 7

    Ejemplo: |3 + 4i| = 5, mientras que |3| + |4i| = 3 + 4 = 7.

Para qué sirve

Sirve para acotar: si sabes lo grandes que son z y w, sabes como mucho lo grande que es z + w.

Demostración

Módulo de un producto

∣zw∣=∣z∣⋅∣w∣⇒∣zn∣=∣z∣n|zw| = |z| \cdot |w| \quad\Rightarrow\quad |z^n| = |z|^n
  1. ∣zw∣2=(ac−bd)2+(ad+bc)2|zw|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2

    Aplicamos la definición de módulo al producto zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.

  2. ∣zw∣2=a2c2−2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2|zw|^2 = a^2c^2 \hl{{}- 2abcd} + b^2d^2 + a^2d^2 \hl{{}+ 2abcd} + b^2c^2

    Desarrollamos los dos cuadrados. Los términos −2abcd y +2abcd se anulan.

  3. ∣zw∣2=a2(c2+d2)+b2(c2+d2)=(a2+b2)(c2+d2)|zw|^2 = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

    Sacamos factor común: a² multiplica a (c² + d²) y b² también.

  4. ∣zw∣2=∣z∣2⋅∣w∣2⇒∣zw∣=∣z∣⋅∣w∣|zw|^2 = |z|^2 \cdot |w|^2 \quad\Rightarrow\quad |zw| = |z| \cdot |w|

    Eso es |z|²·|w|². Como los módulos son ≥ 0, podemos quitar los cuadrados.

  5. ∣zn∣=∣z⋅z⋯z∣=∣z∣n|z^n| = |z \cdot z \cdots z| = |z|^n

    Una potencia es un producto repetido, así que |zⁿ| = |z|ⁿ.

Para qué sirve

Es la mitad de la regla polar del producto: los tamaños se multiplican (la otra mitad: los ángulos se suman).

Demostración

Un número y su conjugado miden lo mismo

∣z∣=∣z‾∣|z| = |\overline{z}|
  1. z‾=a−bi\overline{z} = a - bi

    El conjugado de a + bi es a − bi.

  2. ∣z‾∣=a2+(−b)2=a2+b2=∣z∣|\overline{z}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = |z|

    Al elevar al cuadrado, (−b)² = b², así que el módulo es el mismo.

Para qué sirve

z y z̄ están a la misma distancia del origen, con ángulos opuestos θ y −θ.

Demostración

z · z̄ = |z|²

z⋅z‾=∣z∣2z \cdot \overline{z} = |z|^2
  1. z⋅z‾=(a+bi)(a−bi)z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi)

    Multiplicamos z = a + bi por su conjugado a − bi.

  2. z⋅z‾=a2−abi+abi−b2i2z \cdot \overline{z} = a^2 \hl{{}- abi + abi} - b^2i^2

    Desarrollamos: los términos −abi y +abi se anulan.

  3. z⋅z‾=a2−b2(−1)=a2+b2z \cdot \overline{z} = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2

    Como i² = −1, −b²i² = +b².

  4. z⋅z‾=∣z∣2∈R, ≥0z \cdot \overline{z} = |z|^2 \in \mathbb{R},\ \ge 0

    Queda a² + b², que es el módulo al cuadrado: un número real y no negativo.

Para qué sirve

Es el truco para dividir: multiplicar por el conjugado convierte un complejo en un número real.

Demostración

División: z/w = z·w̄ / |w|²

zw=z w‾∣w∣2,1w=w‾∣w∣2(w≠0)\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\,\overline{w}}{|w|^2},\qquad \dfrac{1}{w} = \dfrac{\overline{w}}{|w|^2}\quad (w \neq 0)
  1. zw=zw⋅w‾w‾\dfrac{z}{w} = \dfrac{z}{w} \cdot \dfrac{\hl{\overline{w}}}{\hl{\overline{w}}}

    Multiplicamos numerador y denominador por w̄. Es multiplicar por w̄/w̄ = 1, así que el valor no cambia.

  2. zw=z w‾w w‾=z w‾∣w∣2\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\,\overline{w}}{w\,\overline{w}} = \dfrac{z\,\overline{w}}{|w|^2}

    Abajo queda w·w̄ = |w|², un número real. Dividir entre un real es fácil: se divide cada parte.

  3. z=1  ⇒  1w=w‾∣w∣2z = 1 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{w} = \dfrac{\overline{w}}{|w|^2}

    Caso particular z = 1: el inverso de w es w̄/|w|².

  4. 2+3i1+2i=(2+3i)(1−2i)12+22\dfrac{2 + 3i}{1 + 2i} = \dfrac{(2 + 3i)(1 - 2i)}{1^2 + 2^2}

    Ejemplo: (2 + 3i)/(1 + 2i). El conjugado de 1 + 2i es 1 − 2i y |1 + 2i|² = 1² + 2² = 5.

  5. 2+3i1+2i=2−4i+3i−6i25=8−i5=85−15i\dfrac{2 + 3i}{1 + 2i} = \dfrac{2 - 4i + 3i - 6i^2}{5} = \dfrac{8 - i}{5} = \dfrac{8}{5} - \dfrac{1}{5}i

    Desarrollamos: 2 − 4i + 3i − 6i² = 2 + 6 − i = 8 − i. Dividimos cada parte entre 5.

Para qué sirve

Así se divide en forma binómica. En polar es aún más fácil: se dividen los módulos y se restan los ángulos.

Demostración

De binómica a polar (y el cuidado con arctan)

ρ=a2+b2,θ=Arg⁡z∈(−π,π]\rho = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad \theta = \operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]
  1. cos⁡θ=aρ,sen⁡θ=bρ\operatorname{cos}\theta = \dfrac{a}{\rho},\quad \operatorname{sen}\theta = \dfrac{b}{\rho}

    En el triángulo de catetos a (horizontal) y b (vertical) y de hipotenusa ρ, el seno es opuesto/hipotenusa y el coseno contiguo/hipotenusa.

  2. tan⁡θ=ba  ⇒  θ=arctan⁡ba\operatorname{tan}\theta = \dfrac{b}{a} \;\Rightarrow\; \theta = \arctan\dfrac{b}{a}

    Dividiendo, tan θ = b/a, así que θ = arctan(b/a)… pero solo a veces.

  3. a>0:θ=arctan⁡baa > 0:\quad \theta = \arctan\dfrac{b}{a}

    arctan solo devuelve ángulos entre −π/2 y π/2 (cuadrantes I y IV), que son los de a > 0. Ahí la fórmula es correcta.

  4. a<0, b≥0: θ=arctan⁡ba+π;a<0, b<0: θ=arctan⁡ba−πa < 0,\ b \ge 0:\ \theta = \arctan\dfrac{b}{a} + \pi;\qquad a < 0,\ b < 0:\ \theta = \arctan\dfrac{b}{a} - \pi

    Si a < 0 el punto está a la izquierda: b/a da el mismo valor para z y para −z (el punto opuesto), así que hay que corregir sumando π (si b ≥ 0) o restando π (si b < 0).

  5. a=0:θ=±π2a = 0:\quad \theta = \pm\dfrac{\pi}{2}

    Si a = 0, b/a no existe: el punto está en el eje imaginario, θ = π/2 si b > 0 y −π/2 si b < 0.

  6. arg⁡z={θ+2πk:k∈Z}\arg z = \{\theta + 2\pi k : k \in \mathbb{Z}\}

    arg (con minúscula) es el conjunto de todos los ángulos válidos; Arg (con mayúscula) es el principal, el único que está en (−π, π].

Para qué sirve

Cuidado con la calculadora: arctan((−1)/(−1)) = π/4, pero −1 − i está en el tercer cuadrante y su Arg es −3π/4.

Demostración

De polar a binómica

a=ρcos⁡θ,b=ρsen⁡θ⇒z=ρ(cos⁡θ+isen⁡θ)a = \rho\operatorname{cos}\theta,\quad b = \rho\operatorname{sen}\theta \quad\Rightarrow\quad z = \rho(\operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta)
  1. cos⁡θ=aρ  ⇒  a=ρcos⁡θ\operatorname{cos}\theta = \dfrac{a}{\rho} \;\Rightarrow\; a = \rho\operatorname{cos}\theta

    De cos θ = a/ρ despejamos a multiplicando por ρ.

  2. sen⁡θ=bρ  ⇒  b=ρsen⁡θ\operatorname{sen}\theta = \dfrac{b}{\rho} \;\Rightarrow\; b = \rho\operatorname{sen}\theta

    De sen θ = b/ρ despejamos b igual.

  3. z=a+bi=ρcos⁡θ+iρsen⁡θ=ρ(cos⁡θ+isen⁡θ)z = a + bi = \rho\operatorname{cos}\theta + i\rho\operatorname{sen}\theta = \rho(\operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta)

    Sustituimos en a + bi y sacamos ρ factor común: es la forma trigonométrica ρ(cos θ + i sen θ).

  4. 2π/3=2(12+32i)=1+3 i2_{\pi/3} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 1 + \sqrt{3}\,i

    Ejemplo: 2π/3. Como cos(π/3) = 1/2 y sen(π/3) = √3/2, queda 1 + √3 i.

Para qué sirve

La forma binómica va mejor para sumar y restar; la polar, para multiplicar, dividir, elevar y sacar raíces.

Demostración

Producto en polar: se multiplican módulos y se suman ángulos

(ρ1)θ1⋅(ρ2)θ2=(ρ1ρ2)θ1+θ2(\rho_1)_{\theta_1} \cdot (\rho_2)_{\theta_2} = (\rho_1\rho_2)_{\theta_1 + \theta_2}
  1. z=ρ1(cos⁡α+isen⁡α),w=ρ2(cos⁡β+isen⁡β)z = \rho_1(\operatorname{cos}\alpha + i\operatorname{sen}\alpha),\quad w = \rho_2(\operatorname{cos}\beta + i\operatorname{sen}\beta)

    Escribimos los dos números en forma trigonométrica, con ángulos α y β.

  2. zw=ρ1ρ2(cos⁡α+isen⁡α)(cos⁡β+isen⁡β)zw = \rho_1\rho_2(\operatorname{cos}\alpha + i\operatorname{sen}\alpha)(\operatorname{cos}\beta + i\operatorname{sen}\beta)

    Los módulos ρ₁ y ρ₂ son números reales: los sacamos delante.

  3. zw=ρ1ρ2[(cos⁡α cos⁡β−sen⁡α sen⁡β)+i(sen⁡α cos⁡β+cos⁡α sen⁡β)]zw = \rho_1\rho_2[(\operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{cos}\beta - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta) + i(\operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{cos}\beta + \operatorname{cos}\alpha\,\operatorname{sen}\beta)]

    Multiplicamos los dos paréntesis como binomios, con i² = −1, y agrupamos parte real e imaginaria.

  4. zw=ρ1ρ2[cos⁡(α+β)+i sen⁡(α+β)]zw = \rho_1\rho_2[\hl{\operatorname{cos}(\alpha + \beta)} + i\,\hl{\operatorname{sen}(\alpha + \beta)}]

    ¡Son exactamente las fórmulas del coseno y del seno de la suma! (las de la pestaña α ± β).

  5. zw=(ρ1ρ2)α+βzw = (\rho_1\rho_2)_{\alpha + \beta}

    El resultado es un complejo de módulo ρ₁ρ₂ y ángulo α + β.

  6. α+β∉(−π,π]  ⇒  ±2π\alpha + \beta \notin (-\pi, \pi] \;\Rightarrow\; \pm 2\pi

    Si α + β se sale de (−π, π], se le suma o resta 2π para dar el argumento principal: es el mismo punto.

Para qué sirve

Multiplicar = multiplicar tamaños y sumar giros. Por eso los complejos son perfectos para describir rotaciones.

Demostración

Cociente en polar: se dividen módulos y se restan ángulos

(ρ1)θ1(ρ2)θ2=(ρ1ρ2)θ1−θ2\dfrac{(\rho_1)_{\theta_1}}{(\rho_2)_{\theta_2}} = \left(\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\right)_{\theta_1 - \theta_2}
  1. q=zw  ⇔  q⋅w=zq = \dfrac{z}{w} \;\Leftrightarrow\; q \cdot w = z

    Dividir es buscar el número q que multiplicado por w da z.

  2. q=rφ  ⇒  rφ⋅(ρ2)θ2=(rρ2)φ+θ2q = r_\varphi \;\Rightarrow\; r_\varphi \cdot (\rho_2)_{\theta_2} = (r\rho_2)_{\varphi + \theta_2}

    Escribimos q = rφ y usamos la regla del producto: módulos multiplicados, ángulos sumados.

  3. (rρ2)φ+θ2=(ρ1)θ1  ⇒  rρ2=ρ1,φ+θ2=θ1(r\rho_2)_{\varphi + \theta_2} = (\rho_1)_{\theta_1} \;\Rightarrow\; r\rho_2 = \rho_1,\quad \varphi + \theta_2 = \theta_1

    Dos complejos en polar son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo ángulo (salvo vueltas de 2π).

  4. r=ρ1ρ2,φ=θ1−θ2r = \dfrac{\rho_1}{\rho_2},\qquad \varphi = \theta_1 - \theta_2

    Despejando: r = ρ₁/ρ₂ y φ = θ₁ − θ₂.

Para qué sirve

Dividir deshace el giro: se dividen los tamaños y se restan los ángulos.

Demostración

Conjugado e inverso en polar

ρθ‾=ρ−θ,(ρθ)−1=(1ρ)−θ\overline{\rho_\theta} = \rho_{-\theta},\qquad (\rho_\theta)^{-1} = \left(\dfrac{1}{\rho}\right)_{-\theta}
  1. ρθ=ρcos⁡θ+iρsen⁡θ\rho_\theta = \rho\operatorname{cos}\theta + i\rho\operatorname{sen}\theta

    Escribimos ρθ en forma trigonométrica.

  2. ρθ‾=ρcos⁡θ−iρsen⁡θ=ρcos⁡(−θ)+iρsen⁡(−θ)\overline{\rho_\theta} = \rho\operatorname{cos}\theta - i\rho\operatorname{sen}\theta = \rho\operatorname{cos}(-\theta) + i\rho\operatorname{sen}(-\theta)

    Conjugar cambia el signo de la parte imaginaria. Como cos(−θ) = cos θ y sen(−θ) = −sen θ, es lo mismo que cambiar θ por −θ.

  3. ρθ‾=ρ−θ\overline{\rho_\theta} = \rho_{-\theta}

    Mismo módulo, ángulo opuesto: ρ−θ.

  4. 1ρθ=10ρθ=(1ρ)0−θ=(1ρ)−θ\dfrac{1}{\rho_\theta} = \dfrac{1_0}{\rho_\theta} = \left(\dfrac{1}{\rho}\right)_{0 - \theta} = \left(\dfrac{1}{\rho}\right)_{-\theta}

    Para el inverso escribimos 1 = 1₀ (módulo 1, ángulo 0) y aplicamos la regla del cociente.

Para qué sirve

El inverso está en la misma dirección que el conjugado, pero con tamaño 1/ρ: si z está lejos del origen, 1/z está cerca.

Demostración

Teorema de De Moivre

(cos⁡θ+isen⁡θ)n=cos⁡nθ+isen⁡nθ(\operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta)^n = \operatorname{cos} n\theta + i\operatorname{sen} n\theta
  1. (ρθ)n=ρθ⋅ρθ⋯ρθ(\rho_\theta)^n = \rho_\theta \cdot \rho_\theta \cdots \rho_\theta

    Elevar a n es multiplicar el número n veces por sí mismo.

  2. (ρθ)n=(ρ⋅ρ⋯ρ)θ+θ+⋯+θ=(ρn)nθ(\rho_\theta)^n = (\rho \cdot \rho \cdots \rho)_{\theta + \theta + \cdots + \theta} = (\rho^n)_{n\theta}

    Por la regla del producto, los módulos se multiplican (ρⁿ) y los ángulos se suman (θ + θ + … = nθ).

  3. ρ=1:(1θ)n=1nθ\rho = 1:\quad (1_\theta)^n = 1_{n\theta}

    Si el módulo es 1, queda 1 elevado a n, que es 1: solo cambia el ángulo.

  4. (cos⁡θ+isen⁡θ)n=cos⁡nθ+isen⁡nθ(\operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta)^n = \operatorname{cos} n\theta + i\operatorname{sen} n\theta

    Escrito en forma trigonométrica, eso es el teorema de De Moivre.

  5. n=2: cos⁡2θ−sen⁡2θ+2isen⁡θ cos⁡θ=cos⁡2θ+isen⁡2θn = 2:\ \operatorname{cos}^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta + 2i\operatorname{sen}\theta\,\operatorname{cos}\theta = \operatorname{cos} 2\theta + i\operatorname{sen} 2\theta

    Ejemplo n = 2: desarrollando el cuadrado a la izquierda e igualando partes reales e imaginarias salen cos 2θ = cos²θ − sen²θ y sen 2θ = 2 sen θ cos θ.

  6. (1+i)8=(2π/4)8=162π=16(1 + i)^8 = \left(\sqrt{2}_{\pi/4}\right)^8 = 16_{2\pi} = 16

    Ejemplo: 1 + i = √2π/4. Elevado a 8: (√2)⁸ = 16 y 8·π/4 = 2π, que es una vuelta completa: el resultado es 16.

Para qué sirve

Calcular potencias grandes sin desarrollar binomios y deducir fórmulas de ángulos múltiplos (cos 3θ, sen 4θ…).

Demostración

Multiplicar por 1β es girar un ángulo β

(x+yi)⋅1β  =  girar β(x + yi) \cdot 1_\beta \;=\; \text{girar}\ \beta
  1. 1⋅(cos⁡β+isen⁡β)=cos⁡β+isen⁡β1 \cdot (\operatorname{cos}\beta + i\operatorname{sen}\beta) = \operatorname{cos}\beta + i\operatorname{sen}\beta

    El punto 1 = (1, 0) se convierte en cos β + i sen β = (cos β, sen β).

  2. i⋅(cos⁡β+isen⁡β)=−sen⁡β+icos⁡βi \cdot (\operatorname{cos}\beta + i\operatorname{sen}\beta) = -\operatorname{sen}\beta + i\operatorname{cos}\beta

    El punto i = (0, 1) se convierte en i cos β + i² sen β = −sen β + i cos β = (−sen β, cos β).

  3. (1,0)→(cos⁡β,sen⁡β),(0,1)→(−sen⁡β,cos⁡β)(1, 0) \to (\operatorname{cos}\beta, \operatorname{sen}\beta),\qquad (0, 1) \to (-\operatorname{sen}\beta, \operatorname{cos}\beta)

    Los dos ejes giran el mismo ángulo β, así que todo el plano gira β.

  4. β=90°:(1,0)→(0,1),(0,1)→(−1,0)\beta = 90\degree:\quad (1, 0) \to (0, 1),\qquad (0, 1) \to (-1, 0)

    Con β = 90°, multiplicar por 190° = i lleva el eje real al imaginario: girar 90°.

  5. 130°⋅190°=1120°=−12+32i1_{30\degree} \cdot 1_{90\degree} = 1_{120\degree} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i

    Ejemplo de tus apuntes: girar 30° y después 90° es girar 120°, con sen 120° = √3/2 y cos 120° = −1/2.

Para qué sirve

Es la base de las rotaciones en gráficos por ordenador, robótica y animación.

Demostración

La fórmula de Euler

eiθ≔cos⁡θ+isen⁡θ=1θe^{i\theta} \coloneqq \operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta = 1_\theta
  1. eiθ≔cos⁡θ+isen⁡θ(θ en rad)e^{i\theta} \coloneqq \operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta\quad (\theta\ \text{en}\ \text{rad})

    Es una definición: extiende la potencia de e a exponentes imaginarios. θ va siempre en radianes.

  2. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sen⁡2θ=1=1|e^{i\theta}| = \sqrt{\operatorname{cos}^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta} = \sqrt{1} = 1

    Su módulo es 1 por el teorema de Pitágoras (sen²θ + cos²θ = 1): eiθ siempre está en la circunferencia unidad.

  3. Arg⁡(eiθ)=θ(θ∈(−π,π])\operatorname{Arg}(e^{i\theta}) = \theta\quad (\theta \in (-\pi, \pi])

    Su argumento es θ (si θ está en (−π, π]; si no, θ más o menos vueltas de 2π).

  4. ρθ=ρ(cos⁡θ+isen⁡θ)=ρeiθ\rho_\theta = \rho(\operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta) = \rho e^{i\theta}

    Cualquier complejo en polar se puede escribir como ρ eiθ: es la forma exponencial.

  5. eiπ=cos⁡π+isen⁡π=−1⇒eiπ+1=0e^{i\pi} = \operatorname{cos}\pi + i\operatorname{sen}\pi = -1 \quad\Rightarrow\quad e^{i\pi} + 1 = 0

    Con θ = π sale eiπ = −1, la identidad de Euler, que junta e, i, π, 1 y 0 en una sola fórmula.

Para qué sirve

Con la notación exponencial, operar con complejos es operar con potencias: eiα·eiβ = ei(α+β).

Demostración

Seno y coseno con exponenciales

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sen⁡θ=eiθ−e−iθ2i\operatorname{cos}\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},\qquad \operatorname{sen}\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
  1. eiθ=cos⁡θ+isen⁡θe^{i\theta} = \operatorname{cos}\theta + i\operatorname{sen}\theta

    Fórmula de Euler con θ.

  2. e−iθ=cos⁡(−θ)+isen⁡(−θ)=cos⁡θ−isen⁡θe^{-i\theta} = \operatorname{cos}(-\theta) + i\operatorname{sen}(-\theta) = \operatorname{cos}\theta - i\operatorname{sen}\theta

    Fórmula de Euler con −θ. Como el coseno es par y el seno impar, sale cos θ − i sen θ: es el conjugado de eiθ.

  3. eiθ+e−iθ=2cos⁡θ+isen⁡θ−isen⁡θe^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\operatorname{cos}\theta \hl{{}+ i\operatorname{sen}\theta - i\operatorname{sen}\theta}

    Sumamos las dos: los senos se anulan y queda 2 cos θ.

  4. cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\operatorname{cos}\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

    Dividimos entre 2.

  5. eiθ−e−iθ=2isen⁡θ+cos⁡θ−cos⁡θe^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\operatorname{sen}\theta \hl{{}+ \operatorname{cos}\theta - \operatorname{cos}\theta}

    Restamos: los cosenos se anulan y queda 2i sen θ.

  6. sen⁡θ=eiθ−e−iθ2i\operatorname{sen}\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

    Dividimos entre 2i.

Para qué sirve

Convierte productos de senos y cosenos en sumas de exponenciales, mucho más fáciles de integrar y derivar.

Demostración

Propiedades de eiθ

(eiθ)n=einθ,ei(θ+ω)=eiθeiω(e^{i\theta})^n = e^{in\theta},\qquad e^{i(\theta + \omega)} = e^{i\theta}e^{i\omega}
  1. eiθ⋅eiω=1θ⋅1ω=1θ+ω=ei(θ+ω)e^{i\theta} \cdot e^{i\omega} = 1_\theta \cdot 1_\omega = 1_{\theta + \omega} = e^{i(\theta + \omega)}

    En polar, eiθ = 1θ. Multiplicar suma los ángulos: es sumar exponentes.

  2. (eiθ)n=(1θ)n=1nθ=einθ(e^{i\theta})^n = (1_\theta)^n = 1_{n\theta} = e^{in\theta}

    Elevar a n multiplica el ángulo por n (De Moivre): es multiplicar el exponente por n.

  3. (ρeiθ)(reiω)=ρr ei(θ+ω)(\rho e^{i\theta})(r e^{i\omega}) = \rho r\, e^{i(\theta + \omega)}

    Con módulos cualesquiera: se multiplican los módulos y se suman los ángulos.

Para qué sirve

Las reglas de los exponentes funcionan igual que con números reales: ea·eb = ea+b y (ea)ⁿ = ena.

Demostración

Raíces n-ésimas

ρθn={(ρn)θ+2πkn:k=0,…,n−1}\sqrt[n]{\rho_\theta} = \left\{ \left(\sqrt[n]{\rho}\right)_{\frac{\theta + 2\pi k}{n}} : k = 0, \ldots, n - 1 \right\}
  1. w=rφ,wn=z=ρθw = r_\varphi,\quad w^n = z = \rho_\theta

    Buscamos todos los w = rφ tales que wⁿ = z.

  2. wn=(rn)nφw^n = (r^n)_{n\varphi}

    Por De Moivre, wⁿ tiene módulo rⁿ y ángulo nφ.

  3. rn=ρ  ⇒  r=ρnr^n = \rho \;\Rightarrow\; r = \sqrt[n]{\rho}

    Igualamos módulos: rⁿ = ρ, así que r es la raíz n-ésima real (positiva) de ρ.

  4. nφ=θ+2πk  ⇒  φ=θ+2πknn\varphi = \theta + \hl{2\pi k} \;\Rightarrow\; \varphi = \dfrac{\theta + 2\pi k}{n}

    Igualamos ángulos, pero los ángulos pueden diferir en vueltas completas: nφ = θ + 2πk. Despejamos φ.

  5. k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1

    Con k = n volvemos al ángulo de k = 0 (hemos dado una vuelta entera), así que basta con k = 0, 1, …, n − 1: hay n raíces distintas.

  6. φk+1−φk=2πn\varphi_{k+1} - \varphi_k = \dfrac{2\pi}{n}

    Dos raíces seguidas se separan 2π/n: forman un polígono regular de n lados centrado en el origen.

Para qué sirve

Resolver ecuaciones como zⁿ = c. En ℝ, x³ = 8 solo tiene una solución; en ℂ tiene tres.

Demostración

Ejemplo: las raíces cúbicas de 1

13={1, −1±3 i2}\sqrt[3]{1} = \left\{ 1,\ \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \right\}
  1. z=1:ρ=1, θ=0⇒z=10z = 1:\quad \rho = 1,\ \theta = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 1_0

    Escribimos 1 en polar: módulo 1 y ángulo 0.

  2. 103={10+2πk3:k=0,1,2}\sqrt[3]{1_0} = \left\{ 1_{\frac{0 + 2\pi k}{3}} : k = 0, 1, 2 \right\}

    Aplicamos la fórmula con n = 3. La raíz real de 1 es 1, así que todas tienen módulo 1.

  3. k=0:10=1k = 0:\quad 1_0 = 1

    k = 0: ángulo 0, la raíz real 1.

  4. k=1:12π/3=cos⁡2π3+isen⁡2π3=−12+32i=ωk = 1:\quad 1_{2\pi/3} = \operatorname{cos}\dfrac{2\pi}{3} + i\operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = \omega

    k = 1: ángulo 2π/3 = 120°. cos 120° = −1/2 y sen 120° = √3/2. A esta raíz se le llama ω.

  5. k=2:14π/3=−12−32i=ω‾=ω2k = 2:\quad 1_{4\pi/3} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = \overline{\omega} = \omega^2

    k = 2: ángulo 4π/3 = 240°. Es el conjugado de ω, y también ω² (dos giros de 120°).

  6. k=3:12π=10k = 3:\quad 1_{2\pi} = 1_0

    k = 3 daría 2π = 360°: volvemos a 1. Por eso solo hay 3 raíces.

Para qué sirve

Las raíces cúbicas de la unidad forman un triángulo equilátero y aparecen al resolver ecuaciones de tercer grado.

Demostración

Ejemplo: z³ − 8 = 0

z3−8=0⇒z∈{2, −1±3 i}z^3 - 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad z \in \{ 2,\ -1 \pm \sqrt{3}\,i \}
  1. z3−8=0  ⇒  z3=8  ⇒  z∈83z^3 - 8 = 0 \;\Rightarrow\; z^3 = 8 \;\Rightarrow\; z \in \sqrt[3]{8}

    Despejamos: z es una raíz cúbica de 8.

  2. z3−8=0  ⇒  (z2)3−1=0(2⋅2⋅2=8)z^3 - 8 = 0 \;\Rightarrow\; \left(\dfrac{z}{2}\right)^3 - 1 = 0\quad (2 \cdot 2 \cdot 2 = 8)

    Truco: como 8 = 2³, dividimos la ecuación entre 8 y queda (z/2)³ = 1.

  3. z2∈13={1, −1±3 i2}\dfrac{z}{2} \in \sqrt[3]{1} = \left\{ 1,\ \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \right\}

    Entonces z/2 es una raíz cúbica de 1, que ya conocemos.

  4. z∈{2, −1±3 i}z \in \{ 2,\ -1 \pm \sqrt{3}\,i \}

    Multiplicando por 2: z = 2, z = −1 + √3 i y z = −1 − √3 i.

  5. 80:83=2,φ=0, 2π3, 4π38_0:\quad \sqrt[3]{8} = 2,\quad \varphi = 0,\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}

    Con la fórmula directa: 8 = 8₀, su raíz cúbica real es 2 y los ángulos son 0, 2π/3 y 4π/3. Sale lo mismo.

Para qué sirve

En ℝ esta ecuación solo tiene la solución 2. En ℂ aparecen las tres, en un triángulo equilátero de radio 2.

Demostración

Exponencial compleja ez

ez≔eRe⁡z eiIm⁡ze^z \coloneqq e^{\operatorname{Re} z}\, e^{i \operatorname{Im} z}
  1. z=a+bi  ⇒  ez=ea+bi=eaebiz = a + bi \;\Rightarrow\; e^z = e^{a + bi} = e^a e^{bi}

    Se define para que siga cumpliéndose ex+y = ex · ey.

  2. ez=ea(cos⁡b+isen⁡b)=(ea)be^z = e^a(\operatorname{cos} b + i\operatorname{sen} b) = (e^a)_b

    ea es un real positivo y ebi es un fasor de ángulo b: el resultado ya está en forma polar.

  3. ∣ez∣=eRe⁡z|e^z| = e^{\operatorname{Re} z}

    El módulo de ez depende solo de la parte real de z.

  4. arg⁡(ez)=Im⁡z+2πk\arg(e^z) = \operatorname{Im} z + 2\pi k

    El ángulo de ez es la parte imaginaria de z (más vueltas completas).

  5. ez+2πi=ez⋅e2πi=ez⋅1=eze^{z + 2\pi i} = e^z \cdot e^{2\pi i} = e^z \cdot 1 = e^z

    Sumar 2πi añade una vuelta completa y no cambia nada: ez es periódica de periodo 2πi.

  6. e1+iπ/2=e⋅eiπ/2=e⋅ie^{1 + i\pi/2} = e \cdot e^{i\pi/2} = e \cdot i

    Ejemplo: e1 + iπ/2 = e · eiπ/2 = e · i.

Para qué sirve

Describe oscilaciones que crecen o se amortiguan: la parte real controla el tamaño y la imaginaria el giro (circuitos RLC, muelles).

Demostración

Logaritmo complejo

log⁡z=ln⁡∣z∣+iarg⁡z,Log⁡z=ln⁡∣z∣+iArg⁡z\log z = \ln|z| + i\arg z,\qquad \operatorname{Log} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z
  1. ew=z,w=x+yie^w = z,\quad w = x + yi

    El logaritmo de z es el número w que hay que poner en el exponente para obtener z: ew = z.

  2. ew=(ex)y=ρθe^w = (e^x)_y = \rho_\theta

    Escribimos w = x + yi. Entonces ew tiene módulo ex y ángulo y; z tiene módulo ρ y ángulo θ.

  3. ex=ρ  ⇒  x=ln⁡ρ=ln⁡∣z∣e^x = \rho \;\Rightarrow\; x = \ln\rho = \ln|z|

    Igualamos módulos: ex = ρ, así que x es el logaritmo neperiano (real) de |z|.

  4. y=θ+2πk  ⇒  log⁡z=ln⁡∣z∣+i(θ+2πk)y = \theta + 2\pi k \;\Rightarrow\; \log z = \ln|z| + i(\theta + 2\pi k)

    Igualamos ángulos salvo vueltas: y = θ + 2πk. Hay infinitos logaritmos, uno por cada k.

  5. Log⁡z=ln⁡∣z∣+iArg⁡z\operatorname{Log} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z

    El logaritmo principal Log z usa el argumento principal Arg z ∈ (−π, π] (k = 0).

  6. Log⁡(−1)=ln⁡1+iπ=iπ\operatorname{Log}(-1) = \ln 1 + i\pi = i\pi

    Ejemplo: −1 tiene módulo 1 y ángulo π, así que Log(−1) = ln 1 + iπ = iπ. ¡En ℂ los negativos sí tienen logaritmo!

Para qué sirve

Permite definir potencias complejas como zw = ew·log z y resolver ecuaciones exponenciales en ℂ.

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