Guía interactiva · álgebra lineal

Rango e inversa

Operaciones elementales, forma escalonada, rango e inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan. Cada propiedad tiene su demostración paso a paso: pulsa cualquier tarjeta para verla.

Invítame a un café
Tu matriz
A =
Filas Columnas
Ejemplos
Paso a paso
1234
Matriz inicial: todavía no se ha hecho ninguna operación.
Paso 0 de 1
Resultado
rg(A) = 2
El rango es el número de filas no nulas de la forma escalonada: 2.
El rango nunca supera min(2, 2) = 2, el menor de los dos tamaños.
det(A) = −2
El determinante no vale 0: A tiene inversa.
Qué hace A en el plano
Ae₁Ae₂
Cuadrado unidad Imagen por A

Las columnas de A son las imágenes de los vectores e₁ = (1, 0) y e₂ = (0, 1).

Área con signo de la imagen = det(A) = −2. El determinante es negativo: la figura se da la vuelta.

rg(A) = 2: el plano no se aplasta y el cuadrado, que tenía área 1, pasa a tener área 2.

01 · Operaciones elementales

Operaciones elementales por filas

Para estudiar una matriz (resolverla, medirla, invertirla) se le hacen operaciones por filas que no cambian lo esencial. Hay tres, y cada una se puede deshacer.

Intercambiar dos filasFi ↔ Fj. Cambia el orden de las filas, sin tocar sus números.
Multiplicar una fila por k ≠ 0Fi ← k·Fi. Todos los elementos de la fila se multiplican por k. Con k = 0 se destruiría la fila, por eso no se permite.
Sumar a una fila un múltiplo de otraFi ← Fi + k·Fj. A cada elemento de la fila i se le suma k veces el de la fila j. Es la operación que hace ceros.
Matriz elemental ELa identidad a la que se le ha hecho UNA operación elemental. Multiplicar EA hace esa operación sobre A.Ver demostración
Todas se deshacenCada operación se anula con otra del mismo tipo, así que toda matriz elemental tiene inversa.Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto. Queremos un 0 debajo del 1 de la primera columna de A. Hacemos F₂ ← F₂ − 3·F₁: a la fila 2 le restamos 3 veces la fila 1.A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
  2. 2Calculamos la fila nueva: (3, 4) − 3·(1, 2) = (0, −2).(1234)∼(120−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}
  3. 3La misma operación hecha con la matriz elemental E (la identidad con esa operación ya hecha):EA=(10−31)(1234)=(120−2)E A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}
  4. 4Para intercambiar F₁ ↔ F₂ se usa la identidad con las filas intercambiadas:(0110)(1234)=(3412)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Para qué sirve. Son las únicas jugadas permitidas del método de Gauss. Como cada una equivale a multiplicar por una matriz, una cadena de operaciones es un producto de matrices, y eso permite demostrar cosas sobre rango e inversas.

Operación elemental = multiplicar por una matriz elemental

(10−31)(1234)=(120−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}

Hacer una operación por filas a A es lo mismo que multiplicar A por la izquierda por una matriz E.

Ver demostración

Cada operación elemental se puede deshacer

(10−31)−1=(1031)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

Las matrices elementales siempre tienen inversa, y es otra matriz elemental.

Ver demostración
02 · Equivalencia por filas

Matrices equivalentes por filas

Dos matrices del mismo tamaño son equivalentes por filas cuando una sale de la otra con operaciones elementales. Se escribe A ~ B.

A ~ BExiste una matriz F ∈ Mm(K), producto de matrices elementales, con B = FA. Si se opera por columnas, B = AC con C ∈ Mn(K).
[ Im | A ] ~ [ P | B ]Si a [I | A] se le hacen las mismas operaciones que llevan A a B, a la izquierda queda P y se cumple B = PA. P guarda anotado todo lo que se hizo.Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto con A = (1 2; 3 4). Escribimos [I | A].(10120134)\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end{array}\right)
  2. 2Hacemos F₂ ← F₂ − 3·F₁ y después F₁ ← F₁ + F₂.(1012−310−2)∼(−2110−310−2)\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc} -2 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right)
  3. 3A la izquierda queda P y a la derecha B. Comprobamos que B = PA:PA=(−21−31)(1234)=(100−2)=BPA = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = B

Nota. En los apuntes a esto se le llama «semejanza», pero el nombre habitual es equivalencia por filas: en álgebra lineal, «semejantes» significa otra cosa (B = P⁻¹AP). Para qué sirve. P resume todas las operaciones en una sola matriz: es la base para calcular inversas y para entender el rango.

[I | A] ~ [P | B] implica B = PA

[ I∣A ]∼[ P∣B ]  ⇒  B=PA[\,I \mid A\,] \sim [\,P \mid B\,] \;\Rightarrow\; B = PA

Si haces a [I | A] las mismas operaciones que llevan A a B, a la izquierda queda la matriz P con B = PA.

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03 · Forma escalonada

Matriz escalonada y forma reducida

Escalonar es usar operaciones por filas para que la matriz tenga forma de escalera. Así se ve de un vistazo cuántas filas «de verdad» tiene.

Matriz escalonadaCumple dos condiciones: (1) todas las filas de ceros están en la parte inferior; (2) el primer elemento distinto de cero de cada fila está a la derecha del primer elemento distinto de cero de la fila anterior.
PivoteEl primer elemento distinto de cero de una fila de la matriz escalonada.
Dado A existe P con PA = ESiempre se puede llegar a una escalonada E con operaciones elementales: PA = E, y P se obtiene con [I | A] ~ [P | E].
Forma reducidaLa escalonada con todos los pivotes iguales a 1 y ceros también encima de cada pivote. Con los pivotes en las primeras columnas queda [I X; 0 0] o [I X]; el tamaño de I es el rango.
  1. 1Ejemplo resuelto. El primer elemento de A es 0, así que no sirve de pivote.A=(012111234)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}
  2. 2Intercambiamos F₁ ↔ F₂ para tener un 1 arriba a la izquierda.(111012234)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}
  3. 3Hacemos ceros bajo el primer pivote: F₃ ← F₃ − 2·F₁ deja la fila (0, 1, 2).(111012012)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
  4. 4F₃ ← F₃ − F₂ anula la fila 3. Ya es escalonada: dos pivotes (1 y 1).(111012000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  5. 5Para la forma reducida ponemos un 0 encima del segundo pivote: F₁ ← F₁ − F₂.(10−1012000)\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
  6. 6A la izquierda de la barra queda la identidad 2×2 (más una fila de ceros): el rango es 2.(I2X00),X=(−12)\begin{pmatrix} I_2 & X \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
Cuidado con la posición de los pivotesSolo con operaciones por filas, a veces los pivotes no caen en las primeras columnas. Por ejemplo, (1 2 0; 0 0 1) tiene pivotes en las columnas 1 y 3: la identidad queda «repartida» y haría falta además intercambiar columnas para ver [I X]. El número de pivotes sigue siendo el rango.

Para qué sirve. La forma escalonada convierte una matriz complicada en otra con la misma información pero fácil de leer: rango, soluciones de un sistema, inversa.

04 · Rango

Rango de una matriz

El rango cuenta cuántas filas «independientes» tiene una matriz: cuántas sobreviven cuando se escalona. Una fila que es combinación de otras no aporta nada nuevo.

Rango rg(A)Número de filas distintas de cero de una matriz escalonada equivalente por filas a A. Es lo mismo que el número de pivotes.
rg(A) = rg(Aᵗ)Contar por filas o por columnas da el mismo número.
Límite: rg(A) ≤ mín(m, n)Hay a lo sumo un pivote por fila y por columna. En una matriz 4×5, el rango es como mucho 4.
Rango completoCuando el rango alcanza el máximo posible: rg(A) = mín(m, n).

Para calcular el rango hay cuatro caminos. Los dos primeros usan el determinante, un número que se calcula de una matriz cuadrada: en una 2×2, det = ad − bc (diagonal principal menos la otra); en una 3×3 se usa la regla de Sarrus: det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh, donde las letras son los elementos fila a fila. Un menor 2×2 es el determinante de una submatriz 2×2 (se eligen dos filas y dos columnas).

2 × 2det ≠ 0 → rango 2. det = 0 → rango 1 (o 0 si todos los elementos son 0).Ver por qué
3 × 3Con Sarrus: det ≠ 0 → rango 3. Si det = 0, se busca un menor 2×2 distinto de 0: si lo hay, rango 2; si todos valen 0, rango 1 (o 0 si la matriz es nula).Ver demostración
GaussSe escalona y se cuentan las filas no nulas. Conviene cuando la matriz es 4×4 o mayor, cuando no es cuadrada o cuando tiene muchos ceros.
TriangularEl determinante es el producto de la diagonal. Si no hay ceros en la diagonal, el rango es completo (n).Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto con Gauss en una matriz no cuadrada, 3×4:A=(121324023615)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}
  2. 2F₂ ← F₂ − 2·F₁ y F₃ ← F₃ − 3·F₁ hacen ceros bajo el primer pivote.(121300−2−400−2−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}
  3. 3La columna 2 ya no tiene pivote posible. El segundo pivote está en la columna 3: F₃ ← F₃ − F₂.(121300−2−40000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  4. 4Hay dos filas distintas de cero: el rango es 2, menor que el máximo posible, mín(3, 4) = 3.r=2<min⁡(3, 4)r = 2 < \min(3,\,4)

Para qué sirve. El rango mide cuánta información independiente hay en una matriz. Dice si un sistema tiene solución única, si una matriz cuadrada tiene inversa (rango n) y cuántas incógnitas quedan libres.

Rango de una matriz 2×2 con el determinante

det⁡=ad−bc≠0  ⟺  r=2\det = ad - bc \neq 0 \iff r = 2

Si det ≠ 0 el rango es 2; si det = 0 el rango es 1 (o 0 si todos los elementos son 0). Aquí r = rg(A).

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Rango de una matriz 3×3: Sarrus, menores y Gauss

A=(012111234):det⁡A=0, r=2A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}:\quad \det A = 0,\ r = 2

Tres caminos al mismo rango: el determinante de Sarrus, un menor 2×2 distinto de 0 y la forma escalonada. Aquí r = rg(A).

Ver demostración

Rango de una matriz triangular

∣t11∗∗0⋱∗00tnn∣=t11 t22⋯tnn\begin{vmatrix} t_{11} & * & * \\ 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & t_{nn} \end{vmatrix} = t_{11}\,t_{22} \cdots t_{nn}

El determinante es el producto de la diagonal: si no hay ceros en ella, el rango es completo. Aquí r = rg(A).

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05 · Inversa

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz es la que la «deshace», igual que dividir deshace multiplicar. Solo puede existir si la matriz es cuadrada.

Inversa A⁻¹Para A ∈ Mn(ℝ o ℂ), la matriz B de Mn con AB = BA = In. Se escribe A⁻¹.
Regular y singularUna matriz con inversa se llama regular; sin inversa, singular.
¿Cuándo existe?Si y solo si det A ≠ 0, o lo que es lo mismo, rg(A) = n.Ver por qué
¿Cómo se calcula? Gauss-JordanSe escribe [A | In] y se opera por filas hasta [In | B]. Entonces B es A⁻¹.Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto 3×3: escribimos [A | I].(123100014010560001)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
  2. 2F₃ ← F₃ − 5·F₁: hacemos 0 el 5 de la primera columna.(1231000140100−4−15−501)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1 \end{array}\right)
  3. 3F₁ ← F₁ − 2·F₂ y F₃ ← F₃ + 4·F₂: ceros en la segunda columna (menos el pivote).(10−51−20014010001−541)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right)
  4. 4F₁ ← F₁ + 5·F₃ y F₂ ← F₂ − 4·F₃: ceros en la tercera columna.(100−2418501020−15−4001−541)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right)
  5. 5A la izquierda ya está I; a la derecha, la inversa.A−1=(−2418520−15−4−541)A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}
  6. 6Comprobación de la primera fila de A·A⁻¹ (el resto se comprueba igual): (1, 2, 3) por cada columna de A⁻¹ da 1, 0, 0.1(−24)+2⋅20+3(−5)=11⋅18+2(−15)+3⋅4=01⋅5+2(−4)+3⋅1=0\begin{aligned} 1(-24) + 2\cdot 20 + 3(-5) &= 1 \\ 1\cdot 18 + 2(-15) + 3\cdot 4 &= 0 \\ 1\cdot 5 + 2(-4) + 3\cdot 1 &= 0 \end{aligned}
  1. 1Si no existe: A = (1 2; 2 4) tiene rango 1. Al escalonar [A | I], a la izquierda se anula una fila entera y no se llega a I.(12102401)∼(121000−21)\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right)

Para matrices 2×2 hay un atajo: A⁻¹ = (1/det)·(d −b; −c a), es decir, se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante. Para qué sirve. Con la inversa se «divide» entre una matriz: resolver sistemas, deshacer una transformación o despejar una matriz de una ecuación.

Por qué [A | I] ~ [I | A⁻¹] calcula la inversa

[ A∣I ]∼[ I∣A−1 ][\,A \mid I\,] \sim [\,I \mid A^{-1}\,]

Las mismas operaciones que llevan A a I, aplicadas a la identidad, la convierten en A⁻¹.

Ver demostración

Ejemplo: calcular una inversa con Gauss-Jordan

(1225)−1=(5−2−21)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

De [A | I] a [I | A⁻¹] paso a paso con A = (1 2; 2 5), y comprobación.

Ver demostración

Tiene inversa si y solo si el rango es n

∃ A−1  ⟺  r=n\exists\, A^{-1} \iff r = n

Una matriz cuadrada n×n es invertible exactamente cuando su rango es n. Aquí r = rg(A).

Ver demostración
06 · Propiedades

Propiedades de la inversa y sistemas

Dadas dos matrices cuadradas regulares A y B del mismo orden:

Inversa de la transpuesta

(At)−1=(A−1)t(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t

La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa. Ejemplo: A = (1 2; 3 5) tiene A⁻¹ = (−5 2; 3 −1), y (Aᵗ)⁻¹ = (−5 3; 2 −1) = (A⁻¹)ᵗ.

Ver demostración

Inversa de un producto

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

La inversa de un producto es el producto de las inversas EN ORDEN CONTRARIO, como al quitarte zapatos y calcetines. Ejemplo con A = (1 2; 0 1) y B = (1 0; 3 1): (AB)⁻¹ = (1 −2; −3 7).

Ver demostración

Resolver un sistema

AX=bAX = b
X=A−1bX = A^{-1}b

Para resolver un sistema con A regular, se multiplica a la izquierda por A⁻¹: (A⁻¹A)X = A⁻¹b. Ejemplo: 2x + y = 3, x + y = 2 da X = (1, 1).

Ver demostración

Para qué sirve. Estas reglas permiten invertir, transponer y multiplicar en el orden que más convenga sin recalcular desde cero. Y el último caso es el más usado: si A es cuadrada con inversa, el sistema tiene siempre una única solución. Cuando A no es cuadrada (más ecuaciones que incógnitas o al revés) hace falta la pseudoinversa, que es el tema siguiente.

07 · Aplicaciones

¿Para qué sirven el rango y la inversa?

Resolver sistemasCircuitos, estructuras o precios: muchas ecuaciones a la vez. Con A⁻¹, la solución es X = A⁻¹b para cualquier b.
Saber si hay solución únicaSi el rango de A es igual al número de incógnitas, no hay libertad: la solución, si existe, es única.
Gráficos y animaciónGirar o escalar un objeto es multiplicar por una matriz; la inversa deshace el movimiento, por ejemplo para pasar de la pantalla al mundo 3D.
CriptografíaEn el cifrado de Hill, un mensaje se cifra multiplicando por una matriz; se descifra con su inversa (que debe existir).
EconomíaEn el modelo de Leontief, la producción necesaria para cubrir una demanda d se obtiene con (I − C)⁻¹d.
Datos y estadísticaEl rango dice cuántas variables independientes hay de verdad en una tabla de datos, y cuántas son redundantes.
Demostración

Operación elemental = multiplicar por una matriz elemental

(10−31)(1234)=(120−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}
  1. E=(10−31)E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

    Una matriz elemental E es la identidad a la que se le ha hecho UNA operación elemental. Aquí hacemos F₂ ← F₂ − 3·F₁ a la identidad 2×2: la fila 1 queda igual y a la fila 2 le restamos 3 veces la fila 1, así que su primer elemento pasa de 0 a −3.

  2. (EA)i∙=ei1 A1∙+ei2 A2∙+⋯(EA)_{i\bullet} = e_{i1}\,A_{1\bullet} + e_{i2}\,A_{2\bullet} + \cdots

    ¿Qué hace E al multiplicar? La fila i de EA es una combinación de las filas de A: cada fila k de A (la llamamos Ak•) se multiplica por el número eik de la fila i de E y se suma todo.

  3. (EA)1∙=1⋅(1, 2)+0⋅(3, 4)=(1, 2)(EA)_{1\bullet} = \hl{1}\cdot(1,\ 2) + \hl{0}\cdot(3,\ 4) = (1,\ 2)

    La fila 1 de E es (1, 0): 1 vez la fila 1 de A y 0 veces la fila 2. Resultado: la fila 1 no cambia.

  4. (EA)2∙=−3⋅(1, 2)+1⋅(3, 4)=(0, −2)(EA)_{2\bullet} = \hl{-3}\cdot(1,\ 2) + \hl{1}\cdot(3,\ 4) = (0,\ -2)

    La fila 2 de E es (−3, 1): −3 veces la fila 1 de A más 1 vez la fila 2. Es exactamente F₂ − 3·F₁.

  5. EA=(120−2)EA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}

    Juntando las dos filas, EA es A con la operación ya hecha. Por eso hacer una operación elemental equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz elemental.

  6. (0110)(abcd)=(cdab)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}

    Intercambiar filas (F₁ ↔ F₂): la matriz elemental es la identidad con sus filas intercambiadas, y al multiplicar intercambia las filas de cualquier matriz.

  7. (100k)(abcd)=(abkckd)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ kc & kd \end{pmatrix}

    Multiplicar una fila por k (F₂ ← k·F₂, con k ≠ 0): la matriz elemental es la identidad con k en lugar del 1 de esa fila.

Para qué sirve

Convierte el método de Gauss, que haces a mano fila a fila, en álgebra de matrices: una cadena de operaciones es un producto de matrices, y así se puede razonar sobre ella (demostrar que B = PA, calcular inversas, entender el rango).

Demostración

Cada operación elemental se puede deshacer

(10−31)−1=(1031)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}
  1. E=(10−31),E′=(1031)E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix},\qquad E' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

    F₂ ← F₂ − 3·F₁ se deshace con F₂ ← F₂ + 3·F₁: lo que restaste, lo vuelves a sumar. Llamamos E a la matriz que resta y E′ a la que suma.

  2. E′E=(1031)(10−31)=(1001)=IE'E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

    Multiplicamos E′E. En la posición (2, 1) sale 3·1 + 1·(−3) = 0 y en la (2, 2) sale 1. Queda la identidad, así que E′ = E⁻¹.

  3. (0110)(0110)=(1001)=I\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

    Intercambiar dos filas se deshace intercambiándolas otra vez: S·S = I. Una matriz de intercambio es su propia inversa.

  4. (100k)(1001/k)=(1001)=I(k≠0)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I\qquad (k \neq 0)

    Multiplicar una fila por k se deshace multiplicándola por 1/k. Por eso la operación exige k ≠ 0: multiplicar por 0 destruye la fila y ya no se puede recuperar.

  5. P=Ek⋯E2E1  ⇒  P−1=E1−1E2−1⋯Ek−1P = E_k \cdots E_2 E_1 \;\Rightarrow\; P^{-1} = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}

    Si hacemos varias operaciones seguidas, P = Ek⋯E₂E₁, se deshacen en orden contrario: P⁻¹ = E₁⁻¹E₂⁻¹⋯Ek⁻¹. Así, todo producto de matrices elementales es invertible.

Para qué sirve

Garantiza que operar por filas no pierde información: siempre se puede volver atrás. Por eso la relación A ~ B es simétrica y por eso Gauss-Jordan acaba dando la inversa.

Demostración

[I | A] ~ [P | B] implica B = PA

[ I∣A ]∼[ P∣B ]  ⇒  B=PA[\,I \mid A\,] \sim [\,P \mid B\,] \;\Rightarrow\; B = PA
  1. E [ I∣A ]=[ EI∣EA ]=[ E∣EA ]E\,[\,I \mid A\,] = [\,EI \mid EA\,] = [\,E \mid EA\,]

    Hacer una operación elemental a [I | A] equivale a multiplicar toda la matriz por E (por bloques): E·I = E y E·A = EA. Tras la operación, el bloque de la izquierda ya no es I, es E.

  2. E2 [ E1∣E1A ]=[ E2E1∣E2E1A ]E_2\,[\,E_1 \mid E_1A\,] = [\,E_2E_1 \mid E_2E_1A\,]

    Hacemos una segunda operación E₂ sobre el resultado: el bloque izquierdo pasa a ser E₂E₁ y el derecho E₂E₁A.

  3. [ Ek⋯E1∣Ek⋯E1A ]=[ P∣PA ]=[ P∣B ][\,E_k \cdots E_1 \mid E_k \cdots E_1 A\,] = [\,P \mid PA\,] = [\,P \mid B\,]

    Tras k operaciones, la izquierda es P = Ek⋯E₁ y la derecha es PA. Si llamamos B a la matriz de la derecha, queda probado que B = PA: P guarda anotadas todas las operaciones que le hemos hecho a A.

  4. (10120134)→(1012−310−2)→(−2110−310−2)\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} -2 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right)

    Ejemplo con A = (1 2; 3 4). Primero F₂ ← F₂ − 3·F₁ y luego F₁ ← F₁ + F₂. Empezamos con I a la izquierda de la barra y A a la derecha.

  5. PA=(−21−31)(1234)=(100−2)=BPA = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = B

    Comprobamos: P·A da exactamente la matriz B que quedó a la derecha.

  6. B=PA  ⇒  A=P−1BB = PA \;\Rightarrow\; A = P^{-1}B

    Como P es un producto de matrices elementales, es invertible. De B = PA se despeja A = P⁻¹B: si B sale de A, también A sale de B. Por eso se escribe A ~ B (equivalentes por filas).

Para qué sirve

Es la forma práctica de saber qué matriz P resume todas las operaciones que hiciste. Es la base para calcular inversas con [A | I] y para entender el rango.

Demostración

Rango de una matriz 2×2 con el determinante

det⁡=ad−bc≠0  ⟺  r=2\det = ad - bc \neq 0 \iff r = 2
  1. a≠0:(abcd)∼(ab0d−bca)a \neq 0:\quad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d - \frac{bc}{a} \end{pmatrix}

    Supón a ≠ 0. Para hacer un cero debajo de a restamos (c/a) veces la fila 1 a la fila 2: F₂ ← F₂ − (c/a)·F₁. Debajo queda (0, d − bc/a).

  2. d−bca=ad−bca=det⁡ad - \dfrac{bc}{a} = \dfrac{ad - bc}{a} = \dfrac{\det}{a}

    Ponemos ese número con denominador común: d − bc/a = (ad − bc)/a. Es el determinante dividido entre a.

  3. det⁡≠0  ⇒  r=2det⁡=0  ⇒  r=1\det \neq 0 \;\Rightarrow\; r = 2 \qquad\qquad \det = 0 \;\Rightarrow\; r = 1

    La forma escalonada ya tiene un primer pivote a ≠ 0. El segundo pivote es det/a, que es distinto de 0 justo cuando det ≠ 0. Entonces hay 2 filas no nulas y r = 2. Si det = 0, la segunda fila se anula y r = 1.

  4. a=0:(0bcd)∼(cd0b),det⁡=−bca = 0:\quad \begin{pmatrix} 0 & b \\ c & d \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & b \end{pmatrix},\qquad \det = -bc

    Si a = 0, intercambiamos las filas: queda (c d; 0 b) y el determinante es −bc. Si c ≠ 0 hay dos pivotes (c y b) cuando b ≠ 0, es decir, cuando bc ≠ 0. Si c = 0, la primera columna es nula, det = 0 y r ≤ 1.

  5. det⁡(1234)=4−6=−2≠0  ⇒  r=2\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 4 - 6 = -2 \neq 0 \;\Rightarrow\; r = 2

    Ejemplo: (1 2; 3 4) tiene det = 1·4 − 2·3 = −2 ≠ 0, así que r = 2.

  6. det⁡(1224)=4−4=0  ⇒  r=1\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 4 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; r = 1

    Ejemplo: (1 2; 2 4) tiene det = 4 − 4 = 0, así que r = 1: la fila 2 es el doble de la fila 1. El rango es 0 solo si los cuatro números son 0.

Para qué sirve

En una matriz 2×2 el rango se lee de un solo número, el determinante. Y es el criterio para saber si la matriz es regular (tiene inversa): det ≠ 0.

Demostración

Rango de una matriz 3×3: Sarrus, menores y Gauss

A=(012111234):det⁡A=0, r=2A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}:\quad \det A = 0,\ r = 2
  1. det⁡A=0⋅1⋅4+1⋅1⋅2+2⋅1⋅3−2⋅1⋅2−1⋅1⋅4−0⋅1⋅3\det A = 0\cdot1\cdot4 + 1\cdot1\cdot2 + 2\cdot1\cdot3 - 2\cdot1\cdot2 - 1\cdot1\cdot4 - 0\cdot1\cdot3

    Regla de Sarrus: se suman los tres productos de las diagonales que bajan (aei + bfg + cdh) y se restan los tres de las que suben (ceg + bdi + afh). Aquí (a, b, c) = (0, 1, 2), (d, e, f) = (1, 1, 1) y (g, h, i) = (2, 3, 4).

  2. det⁡A=0+2+6−4−4−0=0  ⇒  r<3\det A = 0 + 2 + 6 - 4 - 4 - 0 = 0 \;\Rightarrow\; r < 3

    Resulta det A = 0, así que el rango NO es 3: r < 3.

  3. ∣1123∣=3−2=1≠0  ⇒  r≥2\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0 \;\Rightarrow\; r \ge 2

    Si det = 0, buscamos un menor 2×2 distinto de 0 (un menor es el determinante de una submatriz cuadrada). Con las filas 2 y 3 y las columnas 1 y 2: 1·3 − 1·2 = 1 ≠ 0. Entonces r ≥ 2 y, como r < 3, r = 2.

  4. (012111234)∼(111012234)∼(111012000)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

    Lo comprobamos con Gauss: F₁ ↔ F₂; después F₃ ← F₃ − 2·F₁ (queda (0, 1, 2)) y F₃ ← F₃ − F₂ (queda 0). Quedan 2 filas no nulas: r = 2.

  5. B=(123246369): ∣1224∣=0, ∣2346∣=0, …  ⇒  r=1B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}:\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0,\ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 0,\ \dots \;\Rightarrow\; r = 1

    Si todos los menores 2×2 valen 0 y la matriz no es nula, el rango es 1. Ejemplo: B tiene todas las filas proporcionales a (1, 2, 3). Si todos los números fueran 0, el rango sería 0.

Para qué sirve

Con 3×3 conviene Sarrus y los menores; con 4×4 o más, con matrices no cuadradas o con muchos ceros, conviene Gauss. Los tres métodos dan el mismo rango.

Demostración

Rango de una matriz triangular

∣t11∗∗0⋱∗00tnn∣=t11 t22⋯tnn\begin{vmatrix} t_{11} & * & * \\ 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & t_{nn} \end{vmatrix} = t_{11}\,t_{22} \cdots t_{nn}
  1. det⁡(2130−14005)=2∣−1405∣=2⋅(−5)=−10\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = 2\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 2\cdot(-5) = -10

    Una triangular superior tiene ceros bajo la diagonal. Desarrollando por la primera columna (solo su primer elemento no es 0), det = t₁₁ por el determinante de lo que queda; repitiendo, det = producto de la diagonal. Aquí 2·(−1)·5 = −10.

  2. 2⋅(−1)⋅5=−10≠0  ⇒  r=32 \cdot (-1) \cdot 5 = -10 \neq 0 \;\Rightarrow\; r = 3

    Ningún elemento de la diagonal es 0, así que la matriz ya es escalonada con 3 pivotes (2, −1 y 5): rango completo, r = 3 = n.

  3. T′=(213004005)∼(213004000)  ⇒  r=2T' = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; r = 2

    Si el segundo elemento de la diagonal es 0 (matriz T′), det = 2·0·5 = 0. Con Gauss, F₃ ← F₃ − (5/4)·F₂ anula la tercera fila y queda r = 2 < 3.

  4. tkk=0  ⇒  tk1=⋯=tkk=0,  tk+1,1=⋯=tk+1,k=0, …t_{kk} = 0 \;\Rightarrow\; t_{k1} = \cdots = t_{kk} = 0,\ \ t_{k+1,1} = \cdots = t_{k+1,k} = 0,\ \dots

    ¿Por qué pasa siempre? Si tkk = 0, la fila k y las de debajo tienen ceros en las columnas 1, …, k. Su primer pivote posible está en la columna k + 1 o más a la derecha.

  5. n−k+1  >  n−k\hl{n - k + 1} \;>\; \hl{n - k}

    Hay n − k + 1 filas (de la k a la n) para solo n − k columnas (de la k + 1 a la n), y cada columna admite un único pivote. Como n − k + 1 > n − k, al menos una de esas filas se anula: r < n.

Para qué sirve

Basta mirar la diagonal: sin ceros hay rango completo y la matriz tiene inversa; con algún cero, el rango baja. Es útil porque muchas matrices que salen de Gauss son triangulares.

Demostración

Por qué [A | I] ~ [I | A⁻¹] calcula la inversa

[ A∣I ]∼[ I∣A−1 ][\,A \mid I\,] \sim [\,I \mid A^{-1}\,]
  1. Ek⋯E2E1 A=I(P=Ek⋯E1)E_k \cdots E_2 E_1\,A = I \qquad (P = E_k \cdots E_1)

    Si A es n×n y su rango es n, tiene un pivote en cada fila y en cada columna, y operando por filas se llega a la identidad I. Cada operación es una matriz elemental; llamamos P al producto de todas, y queda PA = I.

  2. Ek⋯E1 [ A∣I ]=[ PA∣PI ]=[ I∣P ]E_k \cdots E_1\,[\,A \mid I\,] = [\,PA \mid PI\,] = [\,I \mid P\,]

    Hacemos exactamente esas mismas operaciones sobre [A | I]. Por bloques, cada una multiplica por E las dos mitades: al final [PA | PI] = [I | P].

  3. PA=I  ⇒  A=P−1  ⇒  AP=P−1P=IPA = I \;\Rightarrow\; A = P^{-1} \;\Rightarrow\; AP = P^{-1}P = I

    PA = I solo dice que P deshace a A por un lado. Pero P es un producto de matrices elementales, así que es invertible: multiplicando PA = I por P⁻¹ sale A = P⁻¹, y entonces AP = P⁻¹P = I. P funciona por los dos lados.

  4. PA=AP=I  ⇒  P=A−1PA = AP = I \;\Rightarrow\; P = A^{-1}

    PA = AP = I es justo la definición de inversa: P = A⁻¹. Y P es la mitad derecha de la matriz final.

Para qué sirve

Es el método práctico para calcular inversas, a mano o con un programa. Además avisa cuando no existe: si a la izquierda se anula una fila, no se llega a I.

Demostración

Ejemplo: calcular una inversa con Gauss-Jordan

(1225)−1=(5−2−21)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
  1. [ A∣I ]=(12102501)[\,A \mid I\,] = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right)

    Escribimos A a la izquierda y la identidad a la derecha, separadas por una barra.

  2. ∼(121001−21)\sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)

    F₂ ← F₂ − 2·F₁ hace 0 el 2 de abajo a la izquierda. A la derecha, la identidad cambia: (0, 1) − 2·(1, 0) = (−2, 1).

  3. ∼(105−201−21)=[ I∣A−1 ]\sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 5 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right) = [\,I \mid A^{-1}\,]

    F₁ ← F₁ − 2·F₂ hace 0 el 2 de arriba. A la derecha: (1, 0) − 2·(−2, 1) = (5, −2). La izquierda ya es I y la derecha es A⁻¹.

  4. AA−1=(1225)(5−2−21)=(1001)=IAA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

    Comprobamos: A·A⁻¹ = I. (Y también A⁻¹·A = I, porque en matrices cuadradas la inversa funciona por los dos lados.)

  5. A−1=1ad−bc(d−b−ca)=11(5−2−21)A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

    Para 2×2 hay un atajo: A⁻¹ = (1/det)·(d −b; −c a). Aquí det = 1·5 − 2·2 = 1 y sale la misma matriz.

Para qué sirve

Una vez que tienes A⁻¹ puedes resolver AX = b para cualquier b con una multiplicación, sin repetir el método de Gauss.

Demostración

Tiene inversa si y solo si el rango es n

∃ A−1  ⟺  r=n\exists\, A^{-1} \iff r = n
  1. r=n  ⇒  PA=I  ⇒  P=A−1r = n \;\Rightarrow\; PA = I \;\Rightarrow\; P = A^{-1}

    Si r = n, la forma reducida de A es I. Es el caso de la demostración de Gauss-Jordan: se construye P con PA = I y P = A⁻¹. Así, rango n implica que existe inversa.

  2. ∃ A−1, r<n  ⇒  PA=E,En∙=(0,…,0)\exists\, A^{-1},\ r < n \;\Rightarrow\; PA = E,\quad E_{n\bullet} = (0, \dots, 0)

    Al revés: supón que A tiene inversa pero r < n. Al escalonar, PA = E tiene una fila de ceros (la última): En• = (0, …, 0).

  3. P=P(AA−1)=(PA)A−1=EA−1P = P(AA^{-1}) = (PA)A^{-1} = EA^{-1}

    Multiplicamos por A⁻¹ por la derecha: P = P(AA⁻¹) = (PA)A⁻¹ = EA⁻¹.

  4. Pn∙=En∙ A−1=(0,…,0)P_{n\bullet} = E_{n\bullet}\,A^{-1} = (0, \dots, 0)

    La fila n de EA⁻¹ es (la fila n de E)·A⁻¹, que son ceros. Luego P tiene una fila de ceros.

  5. (PP−1)n∙=Pn∙ P−1=(0,…,0)≠In∙(PP^{-1})_{n\bullet} = P_{n\bullet}\,P^{-1} = (0, \dots, 0) \neq I_{n\bullet}

    Pero P tiene inversa (es producto de matrices elementales) y PP⁻¹ = I. La fila n de PP⁻¹ sería Pn•P⁻¹ = (0, …, 0), mientras que la fila n de I no es cero. Contradicción: r < n es imposible.

  6. (12102401)∼(121000−21)  ⇒  ∄ A−1\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) \;\Rightarrow\; \nexists\, A^{-1}

    Ejemplo: A = (1 2; 2 4) tiene rango 1. Tras F₂ ← F₂ − 2·F₁, la parte izquierda de [A | I] se queda con una fila de ceros: no se puede llegar a I y no existe A⁻¹.

Para qué sirve

Dice cuándo merece la pena buscar la inversa: rango n (det ≠ 0) sí, rango menor no. Y en sistemas, una A cuadrada de rango n tiene solución única para cualquier b.

Demostración

La inversa de un producto: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  1. (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1}

    Para ver que B⁻¹A⁻¹ es la inversa de AB la multiplicamos por AB. Con la propiedad asociativa agrupamos: A(BB⁻¹)A⁻¹.

  2. (AB)(B−1A−1)=A I A−1=AA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A\,I\,A^{-1} = AA^{-1} = I

    BB⁻¹ = I, y I no cambia nada: queda AA⁻¹ = I.

  3. (B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1B=I(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}B = I

    Por el otro lado: (B⁻¹A⁻¹)(AB) = B⁻¹(A⁻¹A)B = B⁻¹B = I. Funciona por los dos lados, que es la definición de inversa.

  4. A=(1201), B=(1031), AB=(7231)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix},\ AB = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

    Ejemplo: A = (1 2; 0 1) y B = (1 0; 3 1). Su producto es AB = (7 2; 3 1).

  5. B−1A−1=(10−31)(1−201)=(1−2−37)=(AB)−1B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} = (AB)^{-1}

    B⁻¹ = (1 0; −3 1) y A⁻¹ = (1 −2; 0 1). Su producto B⁻¹A⁻¹ = (1 −2; −3 7) es la inversa de AB (con el atajo 2×2: det(AB) = 7 − 6 = 1).

  6. A−1B−1=(7−2−31)≠(AB)−1A^{-1}B^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \neq (AB)^{-1}

    Si se multiplicaran en el mismo orden, A⁻¹B⁻¹ = (7 −2; −3 1), que NO es la inversa de AB. El orden se invierte.

Para qué sirve

Es como los calcetines y los zapatos: si te pones primero los calcetines y luego los zapatos, para deshacerlo quitas primero los zapatos. Se usa, por ejemplo, para demostrar que R = L = A⁻¹ cuando la matriz es cuadrada.

Demostración

La inversa de la transpuesta: (Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ

(At)−1=(A−1)t(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t
  1. (XY)t=YtXt,It=I(XY)^t = Y^tX^t,\qquad I^t = I

    Usamos dos hechos: la transpuesta de un producto invierte el orden, (XY)ᵗ = YᵗXᵗ, y Iᵗ = I.

  2. At (A−1)t=(A−1A)t=It=IA^t\,(A^{-1})^t = (A^{-1}A)^t = I^t = I

    Aᵗ(A⁻¹)ᵗ = (A⁻¹A)ᵗ, porque al transponer el producto se invierte el orden; y (A⁻¹A)ᵗ = Iᵗ = I.

  3. (A−1)t At=(AA−1)t=It=I(A^{-1})^t\,A^t = (AA^{-1})^t = I^t = I

    Por el otro lado, (A⁻¹)ᵗAᵗ = (AA⁻¹)ᵗ = Iᵗ = I. Así (A⁻¹)ᵗ es la inversa de Aᵗ.

  4. A=(1235),A−1=(−523−1),(A−1)t=(−532−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},\quad A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix},\quad (A^{-1})^t = \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

    Ejemplo: A = (1 2; 3 5), con det = −1 y A⁻¹ = (−5 2; 3 −1). Transponemos A⁻¹: (A⁻¹)ᵗ = (−5 3; 2 −1).

  5. At=(1325),(At)−1=(−532−1)A^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix},\quad (A^t)^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

    Por otro camino: Aᵗ = (1 3; 2 5), con det = 5 − 6 = −1, y (Aᵗ)⁻¹ = (−5 3; 2 −1). Coincide.

Para qué sirve

Permite invertir y transponer en el orden que resulte más cómodo. Por ejemplo, prueba que la inversa de una matriz simétrica (A = Aᵗ) también es simétrica.

Demostración

Resolver AX = b con la inversa: X = A⁻¹b

AX=b  ⇒  X=A−1bAX = b \;\Rightarrow\; X = A^{-1}b
  1. AX=b  ⇒  A−1(AX)=A−1bAX = b \;\Rightarrow\; A^{-1}(AX) = A^{-1}b

    Partimos de AX = b, con A cuadrada con inversa. Multiplicamos los dos lados por A⁻¹ por la IZQUIERDA (en matrices el orden importa).

  2. (A−1A) X=A−1b(A^{-1}A)\,X = A^{-1}b

    Con la propiedad asociativa agrupamos: (A⁻¹A)X.

  3. I X=X=A−1bI\,X = X = A^{-1}b

    A⁻¹A = I e IX = X. Queda X = A⁻¹b.

  4. A(A−1b)=(AA−1) b=I b=bA(A^{-1}b) = (AA^{-1})\,b = I\,b = b

    Comprobamos que es solución: A(A⁻¹b) = (AA⁻¹)b = Ib = b. Por tanto existe solución y, como no hemos elegido nada, es la única.

  5. (2111)(xy)=(32)  ⇒  X=(1−1−12)(32)=(11)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\binom{x}{y} = \binom{3}{2} \;\Rightarrow\; X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\binom{3}{2} = \binom{1}{1}

    Ejemplo: 2x + y = 3 y x + y = 2. Con A⁻¹ = (1 −1; −1 2), X = A⁻¹(3, 2) = (3 − 2, −3 + 4) = (1, 1).

Para qué sirve

Resuelve el sistema sin repetir Gauss: si cambia b, solo multiplicas otra vez. Solo vale con A cuadrada con inversa; los demás casos (más incógnitas que ecuaciones, o al revés) son el tema de la pseudoinversa.

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