Guía interactiva · álgebra lineal

Sistemas y pseudoinversa

El sistema AX = b, el espacio nulo, el teorema rango-nulidad y las pseudoinversas por la derecha y por la izquierda. Cada propiedad tiene su demostración paso a paso: pulsa cualquier tarjeta para verla.

Invítame a un café
Tu sistema AX = b
A =
Filas Columnas
b =
Ejemplos
rg(A) = 2
2 ecuaciones y 3 incógnitas.
dim Nul(A) = n − rg(A) = 3 − 2 = 1
Nul(A) es una recta que pasa por el origen.
En qué caso estás
  • Cuadrada con inversa rg(A) = m = n
    Solución única: X = A⁻¹b.
  • Inversa por la derecha rg(A) = m < n Tu sistema
    Infinitas soluciones: X = Rb + Nul(A).
  • Inversa por la izquierda rg(A) = n < m
    Solo puede valer X = Lb, y funciona si b está en Col(A).
  • Ninguna de las dos rg(A) < m y rg(A) < n
    No hay fórmula con pseudoinversas.
Inversa que se usa

Existe porque rg(A) = m: AR = I.

R = Aᵗ(AAᵗ)⁻¹
R =
2/3−1/31/31/3−1/32/3
Solución particular
Xp =
121

Una solución concreta de AX = b, la que sale al multiplicar la inversa por b.

Base de Nul(A)
v =
1−11

Cada vector v cumple Av = 0. Sumar un múltiplo suyo a una solución da otra solución.

Elige una solución

Mueve los deslizadores: X = Xp + Xh, con Xh en Nul(A).

Comprobación
X =
121
AX =
33
b =
33

A·X coincide con b: es una solución.

01 · El sistema AX = b

Un sistema de ecuaciones como producto de matrices

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir con una sola igualdad entre matrices. Así todo lo que sabemos de matrices sirve para resolverlo.

Matriz de coeficientes ATiene una fila por ecuación y una columna por incógnita: es de tamaño m × n (m ecuaciones, n incógnitas).
Vector de incógnitas XLa columna (x1, …, xn) con lo que buscamos.
Términos independientes bLa columna de los números a la derecha del igual, de tamaño m × 1.
SoluciónUn vector X que cumple AX = b. Puede haber ninguno, uno o infinitos.
Sistema homogéneoEl que tiene b = 0, es decir, AX = 0. Siempre tiene la solución X = 0.
  1. 1Ejemplo resuelto (el de los apuntes). Dos ecuaciones y tres incógnitas:{x1+x2=3x2+x3=3\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_2 + x_3 = 3 \end{cases}
  2. 2Cada fila de A son los coeficientes de una ecuación. Multiplicar fila por columna reproduce el lado izquierdo:(110011)(x1x2x3)=(x1+x2x2+x3)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 + x_3 \end{pmatrix}
  3. 3Igualando al lado derecho queda el sistema en forma matricial, AX = b:(110011)(x1x2x3)=(33)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}
  4. 4Comprobamos con X = (1, 2, 1): 1 + 2 = 3 y 2 + 1 = 3. Es una solución, pero veremos que no es la única.(110011)(121)=(33)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}

Para qué sirve. Escribir AX = b permite hablar de todos los sistemas a la vez y usar rango, inversas y pseudoinversas para decidir cuántas soluciones tienen y calcularlas.

02 · Espacio nulo

El espacio nulo Nul(A)

Son todos los vectores que A convierte en el vector cero. También se llama núcleo.

Nul(A)Nul(A) = {X : AX = 0}: todas las soluciones del sistema homogéneo.Ver demostración
  1. 1Ejemplo de los apuntes. AX = 0 son dos ecuaciones con tres incógnitas:{x1+x2=0x2+x3=0\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \end{cases}
  2. 2Una incógnita queda libre: x₂ = t. Despejamos x₁ = −t y x₃ = −t.x2=t,x1=−t,x3=−tx_2 = t, \quad x_1 = -t, \quad x_3 = -t
  3. 3Sacamos t como factor común:Nul⁡(A)=t (−1, 1, −1)\operatorname{Nul}(A) = t\,(-1,\ 1,\ -1)
  4. 4Comprobamos: A·(−1, 1, −1) = (0, 0).(110011)(−11−1)=(00)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Es una recta que pasa por el origen. El vector (1, −1, 1) que usa la herramienta de arriba describe la misma recta: basta tomar t = −1.

Para qué sirve. El núcleo recoge «lo que sobra» de un sistema: los vectores que se pueden sumar a una solución sin cambiarla. Por eso explica por qué hay infinitas soluciones.

El espacio nulo Nul(A): un ejemplo

A=(110011):Nul⁡(A)={ t (−1, 1, −1):t∈R }A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}:\quad \operatorname{Nul}(A) = \{\, t\,(-1,\ 1,\ -1) : t \in \mathbb{R} \,\}

Todos los X con AX = 0. Para A = (1 1 0; 0 1 1) son los múltiplos de (−1, 1, −1).

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03 · Dimensión

Dimensión y teorema rango-nulidad

La dimensión mide el «tamaño» de un conjunto de vectores: en cuántas direcciones te puedes mover dentro de él.

DimensiónNúmero de letras libres (t, s, …) que hacen falta para escribir todos los vectores del conjunto.
Un puntoDimensión 0: no hay letras, no puedes moverte.
Una rectaDimensión 1: una letra, X = t·v.
Un planoDimensión 2: dos letras, X = s·v + t·w.
Teorema rango-nulidaddim Nul(A) = n − rg(A): las incógnitas que quedan libres son las incógnitas menos las ecuaciones útiles.Ver por qué
  1. 1Ejemplo con la A de los apuntes: n = 3 incógnitas y rango 2 (las dos filas son independientes).n=3,r=2n = 3,\quad r = 2
  2. 2Por el teorema, queda una incógnita libre.dim⁡Nul⁡(A)=n−r=3−2=1\dim\operatorname{Nul}(A) = n - r = 3 - 2 = 1
  3. 3Coincide con lo que vimos: Nul(A) = t(−1, 1, −1), una recta, dimensión 1.Nul⁡(A)=t (−1, 1, −1)\operatorname{Nul}(A) = t\,(-1,\ 1,\ -1)

Si el rango es igual al número de filas (m) y hay más columnas que filas, entonces dim Nul(A) = n − m > 0: sobran incógnitas, el núcleo tiene letras libres y el sistema tiene infinitas soluciones. Para qué sirve. Dice de antemano cuántas direcciones libres tiene el conjunto de soluciones, sin resolver nada.

Dimensión: cuántas letras libres hacen falta

dim⁡{0}=0,dim⁡{ tv }=1,dim⁡{ sv+tw }=2\dim\{0\} = 0,\qquad \dim\{\,tv\,\} = 1,\qquad \dim\{\,sv + tw\,\} = 2

Un punto tiene dimensión 0, una recta 1 y un plano 2: son las letras libres (t, s, …) de sus vectores.

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Teorema rango-nulidad: dim Nul(A) = n − r

dim⁡Nul⁡(A)=n−r\dim\operatorname{Nul}(A) = n - r

Las incógnitas libres son las incógnitas menos las ecuaciones útiles (el rango). Aquí r = rg(A).

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04 · Pseudoinversa por la derecha

Más incógnitas que ecuaciones: R

Una pseudoinversa es una matriz que hace de inversa por un solo lado, útil cuando A no es cuadrada y no tiene inversa de verdad. Para A de tamaño m × n con elementos reales:

Por la derechaAR = Im. Existe solo si el rango es completo por filas: rg(A) = m.
FórmulaR = Aᵗ(AAᵗ)⁻¹. Es de tamaño n × m.Ver de dónde sale
Solución particular XpXp = Rb: una solución concreta de AX = b.Ver por qué
Solución homogénea XhCualquier vector del núcleo: A·Xh = 0. Es lo que «sobra» de una solución: Xh = X − Rb.Ver por qué
Todas las solucionesX = Xp + Xh = Rb + Nul(A).Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto con la A de los apuntes y b = (3, 3). Primero AAᵗ, que es 2×2 e invertible porque el rango es 2:AAt=(2112),(AAt)−1=13(2−1−12)AA^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\quad (AA^t)^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
  2. 2La pseudoinversa por la derecha:R=At(AAt)−1=13(2−111−12)R = A^t(AA^t)^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
  3. 3Comprobamos AR = I:AR=13(3003)=(1001)AR = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  4. 4Solución particular: Xp = Rb (tamaños 3×2 por 2×1 = 3×1).Xp=Rb=13(2−111−12)(33)=(121)X_p = Rb = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
  5. 5Otra solución cualquiera, por ejemplo X = (0, 3, 0) (comprueba que AX = (3, 3)). Lo que sobra respecto de Xp está en el núcleo:Xh=X−Rb=(0,3,0)−(1,2,1)=(−1,1,−1)∈Nul⁡(A)X_h = X - Rb = (0, 3, 0) - (1, 2, 1) = (-1, 1, -1) \in \operatorname{Nul}(A)
  6. 6Todas las soluciones: la recta que pasa por Xp con la dirección del núcleo. Con t = 0, 1, 2 salen (1, 2, 1), (0, 3, 0) y (−1, 4, −1).X=(1,2,1)+t (−1,1,−1)X = (1, 2, 1) + t\,(-1, 1, -1)

Para qué sirve. Resuelve los sistemas con más incógnitas que ecuaciones y rango completo, que siempre tienen solución, y las describe todas con una sola fórmula. Se puede demostrar además que Rb es la más corta de todas las soluciones.

Cuándo AAᵗ y AᵗA tienen inversa

r=m  ⇒  ∃ (AAt)−1r = m \;\Rightarrow\; \exists\,(AA^t)^{-1}

Si el rango es m, AAᵗ (m×m) tiene inversa; si es n, AᵗA (n×n) la tiene. Aquí r = rg(A).

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Pseudoinversa por la derecha: R = Aᵗ(AAᵗ)⁻¹

AR=Im  ⇒  R=At(AAt)−1AR = I_m \;\Rightarrow\; R = A^t(AA^t)^{-1}

Si el rango es m, existe R con AR = Im, y se calcula con Aᵗ(AAᵗ)⁻¹. Aquí r = rg(A).

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Solución particular: Xp = Rb

Xp=Rb  ⇒  AXp=bX_p = Rb \;\Rightarrow\; AX_p = b

Si AR = I, el vector Rb siempre resuelve AX = b.

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Solución homogénea: Xh = X − Rb está en el núcleo

AX=b  ⇒  Xh=X−Rb∈Nul⁡(A)AX = b \;\Rightarrow\; X_h = X - Rb \in \operatorname{Nul}(A)

La diferencia entre una solución cualquiera y Rb cumple A·Xh = 0.

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Todas las soluciones: X = Rb + Nul(A)

AX=b  ⟺  X=Rb+Xh,Xh∈Nul⁡(A)AX = b \iff X = Rb + X_h,\quad X_h \in \operatorname{Nul}(A)

Las soluciones de AX = b son una solución particular más cualquier vector del núcleo.

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05 · Pseudoinversa por la izquierda

Más ecuaciones que incógnitas: L

Ahora el rango completo es por columnas: las n columnas de A son independientes. Es el caso contrario al anterior.

Por la izquierdaLA = In. Existe solo si rg(A) = n. Se dice que A es inyectiva (uno a uno): dos vectores distintos nunca dan el mismo resultado.
FórmulaL = (AᵗA)⁻¹Aᵗ. Es de tamaño n × m.Ver de dónde sale
Solución X = LbSi el sistema tiene solución, es única y vale Lb: el núcleo es Nul(A) = {0}.Ver por qué
Col(A)El espacio columna (o imagen): todos los vectores que se pueden formar combinando las columnas de A.
¿Cuándo vale Lb?Solo si b ∈ Col(A). Si no, Lb no resuelve nada y el sistema no tiene solución.Ver por qué
  1. 1Ejemplo resuelto: A es 3×2 con columnas independientes (rango 2 = n).A=(100111),AtA=(2112),(AtA)−1=13(2−1−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad A^tA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\quad (A^tA)^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
  2. 2La pseudoinversa por la izquierda (tamaño 2×3):L=(AtA)−1At=13(2−11−121)L = (A^tA)^{-1}A^t = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
  3. 3Comprobamos LA = I:LA=13(3003)=(1001)LA = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  4. 4Con b = (1, 2, 3), que sí está en Col(A) (3 = 1 + 2), sale la solución única:X=Lb=13(2−11−121)(123)=(12)X = Lb = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
  5. 5Con b′ = (1, 2, 0), que NO está en Col(A), Lb′ = (0, 1) no es solución: A(Lb′) = (0, 1, 1) ≠ b′.A(Lb′)=(011)≠(120)=b′A(Lb') = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = b'

Para qué sirve. Con más ecuaciones que incógnitas (por ejemplo, muchas medidas para pocos parámetros), L encuentra la única solución candidata, y la comprobación A(Lb) = b dice si de verdad lo es. Cuando no lo es, el siguiente paso son los mínimos cuadrados.

Pseudoinversa por la izquierda: L = (AᵗA)⁻¹Aᵗ

LA=In  ⇒  L=(AtA)−1AtLA = I_n \;\Rightarrow\; L = (A^tA)^{-1}A^t

Si el rango es n, existe L con LA = In, y se calcula con (AᵗA)⁻¹Aᵗ. Aquí r = rg(A).

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Con L, la solución es única: X = Lb

LA=I  ⇒  (AX=b⇒X=Lb)LA = I \;\Rightarrow\; (AX = b \Rightarrow X = Lb)

Si LA = I y el sistema tiene solución, solo puede ser Lb: el núcleo es {0}. Aquí r = rg(A).

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Lb es solución si y solo si b está en Col(A)

A(Lb)=b  ⟺  b∈Col⁡(A)A(Lb) = b \iff b \in \operatorname{Col}(A)

Col(A) son las combinaciones de las columnas de A. Si b no está ahí, el sistema no tiene solución.

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06 · Resumen

Los cuatro casos

Según el rango de A, el sistema AX = b cae en uno de estos casos. Pulsa los que tienen demostración.

Izquierda · LA = Irg(A) = n (columnas completas, A inyectiva). Solución X = Lb, única, y solo si b está en Col(A): a lo sumo una solución.Ver por qué
Derecha · AR = Irg(A) = m (filas completas, A sobreyectiva). Solución X = Rb + Nul(A): siempre hay al menos una, e infinitas si hay más columnas que filas.Ver por qué
Ambos · L = R = A⁻¹A cuadrada y regular (rg(A) = m = n). Solución X = A⁻¹b, única y siempre existe.Ver por qué
Ninguno · A⁺El rango es menor que m y que n. Se busca la solución que minimiza el error ‖AX − b‖ (mínimos cuadrados, con la pseudoinversa de Moore-Penrose A⁺). Queda fuera de estos apuntes.

Si A es cuadrada y regular, R = L = A⁻¹

r=m=n  ⇒  R=L=A−1r = m = n \;\Rightarrow\; R = L = A^{-1}

Cuando m = n = r, las dos pseudoinversas coinciden con la inversa de siempre. Aquí r = rg(A).

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Para qué sirve. Es el mapa para no perderse: calcula el rango de A, mira si coincide con m, con n o con ambos, y eso te dice qué fórmula usar y cuántas soluciones esperar.

07 · Aplicaciones

¿Para qué sirve la pseudoinversa?

Ajustar datosMuchas medidas y pocos parámetros: más ecuaciones que incógnitas. Es el caso de L, y el paso previo a los mínimos cuadrados.
RobóticaUn brazo con más articulaciones que coordenadas a alcanzar tiene infinitas soluciones; Rb elige una (la de menor movimiento).
Redes y flujosRepartir un flujo entre muchos caminos: hay una solución particular más una familia de ajustes que no cambian el total (el núcleo).
Compresión y señalesReconstruir una señal con menos datos que valores: hay infinitas posibilidades y se elige una con la pseudoinversa.
Saber si un sistema es compatibleComprobar si b está en Col(A) responde a la pregunta «¿tiene solución?» sin resolver el sistema entero.
Demostración

El espacio nulo Nul(A): un ejemplo

A=(110011):Nul⁡(A)={ t (−1, 1, −1):t∈R }A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}:\quad \operatorname{Nul}(A) = \{\, t\,(-1,\ 1,\ -1) : t \in \mathbb{R} \,\}
  1. AX=0  ⟺  {x1+x2=0x2+x3=0AX = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \end{cases}

    El espacio nulo (o núcleo) Nul(A) son todos los X que cumplen AX = 0. Para A = (1 1 0; 0 1 1) y X = (x₁, x₂, x₃), AX = 0 son dos ecuaciones: x₁ + x₂ = 0 y x₂ + x₃ = 0.

  2. x2=tx_2 = \hl{t}

    Hay 3 incógnitas y solo 2 ecuaciones, así que una queda libre. Elegimos x₂ = t, donde t es cualquier número real.

  3. x1=−t,x3=−tx_1 = -t,\qquad x_3 = -t

    Despejamos las otras dos: x₁ = −x₂ = −t y x₃ = −x₂ = −t.

  4. X=(−t, t, −t)=t (−1, 1, −1)X = (-t,\ t,\ -t) = t\,(-1,\ 1,\ -1)

    Sacamos t como factor común: todos los vectores del núcleo son múltiplos de (−1, 1, −1). Es decir, Nul(A) = t(−1, 1, −1). (Si prefieres el vector (1, −1, 1), describe la misma recta: basta tomar t = −1.)

  5. A(−11−1)=(−1+1+00+1−1)=(00)A\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 1 + 0 \\ 0 + 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

    Comprobamos con el vector (−1, 1, −1): A·(−1, 1, −1) = (−1 + 1 + 0, 0 + 1 − 1) = (0, 0).

  6. A(tv)=t (Av)=t⋅0=0,A(u+v)=Au+Av=0A(tv) = t\,(Av) = t \cdot 0 = 0,\qquad A(u + v) = Au + Av = 0

    Por qué es un «espacio»: si Av = 0, también A(tv) = t·Av = 0 para cualquier t; y si u y v cumplen Au = Av = 0, también A(u + v) = 0. Aquí es una recta que pasa por el origen.

Para qué sirve

El núcleo recoge «lo que sobra»: los vectores que A convierte en 0. Sumárselos a una solución no cambia el resultado, y por eso explican que un sistema pueda tener infinitas soluciones.

Demostración

Dimensión: cuántas letras libres hacen falta

dim⁡{0}=0,dim⁡{ tv }=1,dim⁡{ sv+tw }=2\dim\{0\} = 0,\qquad \dim\{\,tv\,\} = 1,\qquad \dim\{\,sv + tw\,\} = 2
  1. X=0X = 0

    La dimensión es el número de letras libres (t, s, …) que necesitas para escribir todos los vectores de un conjunto; es decir, en cuántas direcciones puedes moverte. Un punto, el vector 0: ninguna letra, dimensión 0. No puedes moverte.

  2. X=t vX = t\,v

    Una recta por el origen: X = t·v. Una letra, dimensión 1: solo puedes avanzar o retroceder en una dirección.

  3. X=s v+t w,v∦wX = s\,v + t\,w,\qquad v \nparallel w

    Un plano por el origen: X = s·v + t·w con v y w no paralelos (si lo fueran, solo habría una dirección). Dos letras, dimensión 2.

  4. Nul⁡(A)={ t (−1, 1, −1) }  ⇒  dim⁡=1\operatorname{Nul}(A) = \{\, t\,(-1,\ 1,\ -1) \,\} \;\Rightarrow\; \dim = 1

    El Nul(A) de la demostración anterior es t(−1, 1, −1): una letra, dimensión 1. Es una recta.

  5. x1+x2+x3=0:x2=s, x3=t, x1=−s−tx_1 + x_2 + x_3 = 0:\quad x_2 = s,\ x_3 = t,\ x_1 = -s - t

    Otro ejemplo: x₁ + x₂ + x₃ = 0 (una sola ecuación y 3 incógnitas). Dejamos libres x₂ = s y x₃ = t; entonces x₁ = −s − t.

  6. X=s (−1, 1, 0)+t (−1, 0, 1)  ⇒  dim⁡=2X = s\,(-1,\ 1,\ 0) + t\,(-1,\ 0,\ 1) \;\Rightarrow\; \dim = 2

    X = s(−1, 1, 0) + t(−1, 0, 1): dos letras, dimensión 2, un plano. Comprobación: (−1, 1, 0) y (−1, 0, 1) suman −1 + 1 + 0 = 0 y −1 + 0 + 1 = 0.

Para qué sirve

Mide el «tamaño» de un conjunto de soluciones: dimensión 0 es una única solución, 1 una recta de soluciones, 2 un plano de soluciones.

Demostración

Teorema rango-nulidad: dim Nul(A) = n − r

dim⁡Nul⁡(A)=n−r\dim\operatorname{Nul}(A) = n - r
  1. A=(120100111212)∼(120100110000)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

    Tomamos una A de 3×4 (3 ecuaciones y 4 incógnitas) y la escalonamos: F₃ ← F₃ − F₁ y luego F₃ ← F₃ − F₂ anulan la tercera fila.

  2. r=2r = 2

    Quedan 2 filas no nulas: el rango es r = 2. Los pivotes están en las columnas 1 y 3.

  3. n−r=4−2=2  ⇒  x2=s, x4=tn - r = 4 - 2 = 2 \;\Rightarrow\; x_2 = \hl{s},\ x_4 = \hl{t}

    Las incógnitas sin pivote (x₂ y x₄) quedan libres: n − r = 4 − 2 = 2. Las llamamos s y t.

  4. x1+2x2+x4=0,x3+x4=0  ⇒  x1=−2s−t, x3=−tx_1 + 2x_2 + x_4 = 0,\quad x_3 + x_4 = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = -2s - t,\ x_3 = -t

    Las ecuaciones que quedan son x₁ + 2x₂ + x₄ = 0 y x₃ + x₄ = 0. Despejando las incógnitas con pivote: x₁ = −2s − t y x₃ = −t.

  5. X=s (−2, 1, 0, 0)+t (−1, 0, −1, 1)  ⇒  dim⁡Nul⁡(A)=2X = s\,(-2,\ 1,\ 0,\ 0) + t\,(-1,\ 0,\ -1,\ 1) \;\Rightarrow\; \dim\operatorname{Nul}(A) = 2

    X = s(−2, 1, 0, 0) + t(−1, 0, −1, 1): dos letras libres, así que dim Nul(A) = 2. Comprueba: A·(−2, 1, 0, 0) = (−2 + 2, 0, −2 + 2) = (0, 0, 0).

  6. dim⁡Nul⁡(A)=n−r\dim\operatorname{Nul}(A) = n - r

    En general, dim Nul(A) = n − r: incógnitas menos ecuaciones útiles. El rango cuenta las ecuaciones que no sobran.

Para qué sirve

Dice, antes de resolver nada, cuántas direcciones libres tiene el conjunto de soluciones. Si r = m y hay más columnas que filas, n − m > 0 y el sistema tiene infinitas soluciones.

Demostración

Cuándo AAᵗ y AᵗA tienen inversa

r=m  ⇒  ∃ (AAt)−1r = m \;\Rightarrow\; \exists\,(AA^t)^{-1}
  1. A⏟m×n At⏟n×m=AAt⏟m×m\underbrace{A}_{m \times n}\ \underbrace{A^t}_{n \times m} = \underbrace{AA^t}_{m \times m}

    Si A es m×n, Aᵗ es n×m, así que AAᵗ es cuadrada de tamaño m×m. Ser cuadrada es necesario para tener inversa; falta ver cuándo la tiene.

  2. AAtx=0  ⇒  xtAAtx=0AA^t x = 0 \;\Rightarrow\; x^tAA^tx = 0

    Supón que (AAᵗ)x = 0 y queremos ver que x = 0. Multiplicamos por xᵗ por la izquierda.

  3. xtAAtx=(Atx)t(Atx)=∥Atx∥2=0x^tAA^tx = (A^tx)^t(A^tx) = \|A^tx\|^2 = 0

    Como (Aᵗx)ᵗ = xᵗA, resulta xᵗAAᵗx = (Aᵗx)ᵗ(Aᵗx) = ‖Aᵗx‖², la suma de los cuadrados de las entradas del vector Aᵗx.

  4. ∥Atx∥2=0  ⇒  Atx=0\|A^tx\|^2 = 0 \;\Rightarrow\; A^tx = 0

    Una suma de cuadrados de números reales solo vale 0 si todos los términos son 0 (aquí se usa que A es real): Aᵗx = 0.

  5. rAt=r=m  ⇒  dim⁡Nul⁡(At)=m−m=0  ⇒  x=0r_{A^t} = r = m \;\Rightarrow\; \dim\operatorname{Nul}(A^t) = m - m = 0 \;\Rightarrow\; x = 0

    Aᵗ es n×m y su rango es r = m (rg(A) = rg(Aᵗ)). Por el teorema rango-nulidad, dim Nul(Aᵗ) = m − m = 0: Aᵗx = 0 solo ocurre con x = 0.

  6. Nul⁡(AAt)={0}  ⇒  rAAt=m  ⇒  ∃ (AAt)−1\operatorname{Nul}(AA^t) = \{0\} \;\Rightarrow\; r_{AA^t} = m \;\Rightarrow\; \exists\,(AA^t)^{-1}

    Hemos visto que AAᵗx = 0 obliga a x = 0, o sea Nul(AAᵗ) = {0}. Por rango-nulidad, su rango rg(AAᵗ) es m y, al ser cuadrada, tiene inversa. (Si r < m no la tiene: el rango de un producto no supera el de sus factores.)

  7. r=n  ⇒  ∃ (AtA)−1r = n \;\Rightarrow\; \exists\,(A^tA)^{-1}

    Lo mismo con AᵗA, de tamaño n×n, cuando r = n: basta aplicar lo anterior a Aᵗ en lugar de A.

Para qué sirve

Es la razón por la que las fórmulas de las pseudoinversas funcionan: sin rango completo no se puede invertir AAᵗ ni AᵗA. Todo esto es para matrices de números reales.

Demostración

Pseudoinversa por la derecha: R = Aᵗ(AAᵗ)⁻¹

AR=Im  ⇒  R=At(AAt)−1AR = I_m \;\Rightarrow\; R = A^t(AA^t)^{-1}
  1. R=At Cm×mR = A^t\,C_{m \times m}

    Buscamos R (de tamaño n×m) con AR = Im. Idea: construir R a partir de Aᵗ, porque así aparece un producto cuadrado que sí sabemos invertir. Escribimos R = AᵗC, con C de m×m por determinar.

  2. AR=(AAt) C=IAR = (AA^t)\,C = I

    Sustituimos: AR = A·AᵗC = (AAᵗ)C, y queremos que valga I.

  3. C=(AAt)−1(r=m)C = (AA^t)^{-1} \qquad (r = m)

    AAᵗ es m×m y, como el rango de A es m, tiene inversa (demostración anterior). Multiplicando por ella: C = (AAᵗ)⁻¹.

  4. R=AtC=At(AAt)−1R = A^tC = A^t(AA^t)^{-1}

    Volvemos a R = AᵗC y sustituimos C: R = Aᵗ(AAᵗ)⁻¹.

  5. AR=AAt(AAt)−1=IAR = AA^t(AA^t)^{-1} = I

    Comprobación: AR = AAᵗ(AAᵗ)⁻¹ = I.

  6. AAt=(2112),(AAt)−1=13(2−1−12)AA^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\quad (AA^t)^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A = (1 1 0; 0 1 1): AAᵗ = (2 1; 1 2), con det = 3, y su inversa es (1/3)(2 −1; −1 2).

  7. R=At(AAt)−1=13(2−111−12)R = A^t(AA^t)^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

    R = Aᵗ(AAᵗ)⁻¹ = (1/3)(2 −1; 1 1; −1 2). Es una matriz de 3×2: n×m.

  8. AR=13(110011)(2−111−12)=13(3003)=I2AR = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = I_2

    Comprobamos que AR = I₂ multiplicando A por R.

Para qué sirve

Da una matriz R que «deshace» A por la derecha, y sirve para sistemas con más incógnitas que ecuaciones (rango = número de filas). R no es única (hay más matrices con AR = I); esta es la que da la fórmula.

Demostración

Solución particular: Xp = Rb

Xp=Rb  ⇒  AXp=bX_p = Rb \;\Rightarrow\; AX_p = b
  1. AR=ImAR = I_m

    Partimos de AR = Im (existe R porque el rango es m).

  2. A(Rb)=(AR) bA(Rb) = (AR)\,b

    Probamos que Xp = Rb es solución. Calculamos A(Rb) y, por la propiedad asociativa, es (AR)b.

  3. (AR) b=Im b=b(AR)\,b = I_m\,b = b

    Como AR = Im, queda Imb = b. Es decir, A·Xp = b.

  4. Rb=13(2−111−12)(33)=13(6−33+3−3+6)=(121)Rb = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 6 - 3 \\ 3 + 3 \\ -3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

    Ejemplo con b = (3, 3): Rb = (1, 2, 1). Los tamaños: R es 3×2 y b es 2×1, así que Rb es 3×1, un vector con las 3 incógnitas.

  5. A(121)=(1+2+00+2+1)=(33)=bA\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 + 0 \\ 0 + 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = b

    Comprobación: A·(1, 2, 1) = (1 + 2 + 0, 0 + 2 + 1) = (3, 3) = b.

Para qué sirve

Da siempre una solución concreta (particular) cuando el rango es igual al número de filas: el sistema nunca es incompatible. No es la única; las demás salen de sumarle el núcleo.

Demostración

Solución homogénea: Xh = X − Rb está en el núcleo

AX=b  ⇒  Xh=X−Rb∈Nul⁡(A)AX = b \;\Rightarrow\; X_h = X - Rb \in \operatorname{Nul}(A)
  1. X=Rb+(X−Rb)X = Rb + (X - Rb)

    Sea X cualquier solución de AX = b. Sumamos y restamos Rb: X = Rb + (X − Rb). Es una identidad trivial, como 5 = 3 + (5 − 3).

  2. A(X−Rb)=AX−A(Rb)A(X - Rb) = AX - A(Rb)

    Veamos qué hace A con la parte X − Rb. Por la propiedad distributiva, A(X − Rb) = AX − A(Rb).

  3. A(X−Rb)=b−(AR) b=b−I b=b−b=0A(X - Rb) = b - (AR)\,b = b - I\,b = b - b = 0

    AX = b porque X es solución, y A(Rb) = (AR)b = Ib = b. Resulta b − b = 0.

  4. AXh=0  ⇒  Xh∈Nul⁡(A)AX_h = 0 \;\Rightarrow\; X_h \in \operatorname{Nul}(A)

    Como A·Xh = 0, el vector Xh = X − Rb está en el núcleo de A. Se llama solución homogénea porque resuelve AX = 0.

  5. X=(0, 3, 0):AX=(3, 3)=bX = (0,\ 3,\ 0):\quad AX = (3,\ 3) = b

    Ejemplo: X = (0, 3, 0) es otra solución, porque A·X = (0 + 3 + 0, 0 + 3 + 0) = (3, 3).

  6. Xh=(0, 3, 0)−(1, 2, 1)=(−1, 1, −1)∈Nul⁡(A)X_h = (0,\ 3,\ 0) - (1,\ 2,\ 1) = (-1,\ 1,\ -1) \in \operatorname{Nul}(A)

    Xh = X − Rb = (0, 3, 0) − (1, 2, 1) = (−1, 1, −1), que está en Nul(A): es el vector t = 1 que vimos antes.

Para qué sirve

Dice que la diferencia entre dos soluciones cualesquiera de AX = b siempre vive en el núcleo. Por eso, conociendo el núcleo, se controlan todas las soluciones.

Demostración

Todas las soluciones: X = Rb + Nul(A)

AX=b  ⟺  X=Rb+Xh,Xh∈Nul⁡(A)AX = b \iff X = Rb + X_h,\quad X_h \in \operatorname{Nul}(A)
  1. AX=b  ⇒  X=Xp+XhAX = b \;\Rightarrow\; X = X_p + X_h

    Ya sabemos que toda solución X se escribe X = Xp + Xh, con Xp = Rb y Xh = X − Rb en el núcleo.

  2. A(Xp+Xh)=AXp+AXh=b+0=bA(X_p + X_h) = AX_p + AX_h = b + 0 = b

    Al revés, cualquier Xp + Xh con Xh en el núcleo es solución: A(Xp + Xh) = AXp + AXh = b + 0 = b.

  3. { X:AX=b }=Xp+Nul⁡(A)\{\, X : AX = b \,\} = X_p + \operatorname{Nul}(A)

    Conclusión: el conjunto de todas las soluciones es Xp más el núcleo, X = Rb + Nul(A).

  4. X=(1, 2, 1)+t (−1, 1, −1)X = (1,\ 2,\ 1) + t\,(-1,\ 1,\ -1)

    En el ejemplo, Nul(A) = t(−1, 1, −1), luego X = (1, 2, 1) + t(−1, 1, −1).

  5. t=0: (1, 2, 1)t=1: (0, 3, 0)t=2: (−1, 4, −1)t = 0:\ (1,\ 2,\ 1) \qquad t = 1:\ (0,\ 3,\ 0) \qquad t = 2:\ (-1,\ 4,\ -1)

    Cada valor de t da una solución: con t = 0 sale (1, 2, 1); con t = 1, (0, 3, 0); con t = 2, (−1, 4, −1). Hay infinitas.

  6. A(−14−1)=(−1+4+00+4−1)=(33)A\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 4 + 0 \\ 0 + 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}

    Comprobamos t = 2: A·(−1, 4, −1) = (−1 + 4 + 0, 0 + 4 − 1) = (3, 3).

Para qué sirve

Describe TODAS las soluciones con una sola fórmula. Geométricamente es una recta (o un plano, según la dimensión del núcleo) paralela al núcleo que pasa por Xp.

Demostración

Pseudoinversa por la izquierda: L = (AᵗA)⁻¹Aᵗ

LA=In  ⇒  L=(AtA)−1AtLA = I_n \;\Rightarrow\; L = (A^tA)^{-1}A^t
  1. L=Cn×n AtL = C_{n \times n}\,A^t

    Ahora buscamos L (de tamaño n×m) con LA = In. Igual que antes, la construimos con Aᵗ, pero por el otro lado: L = CAᵗ, con C de n×n por determinar.

  2. LA=C (AtA)=ILA = C\,(A^tA) = I

    Sustituimos: LA = C·AᵗA = C(AᵗA), y queremos que valga I.

  3. C=(AtA)−1(r=n)C = (A^tA)^{-1} \qquad (r = n)

    AᵗA es n×m·m×n = n×n y, como el rango de A es n, tiene inversa (misma demostración con Aᵗ en lugar de A). Entonces C = (AᵗA)⁻¹.

  4. L=CAt=(AtA)−1AtL = CA^t = (A^tA)^{-1}A^t

    Volvemos a L = CAᵗ y sustituimos C: L = (AᵗA)⁻¹Aᵗ.

  5. LA=(AtA)−1AtA=(AtA)−1(AtA)=ILA = (A^tA)^{-1}A^tA = (A^tA)^{-1}(A^tA) = I

    Comprobación: LA = (AᵗA)⁻¹AᵗA = (AᵗA)⁻¹(AᵗA) = I.

  6. A=(100111):AtA=(2112),(AtA)−1=13(2−1−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}:\quad A^tA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\quad (A^tA)^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A = (1 0; 0 1; 1 1), de 3×2 y con columnas independientes (rango 2 = n): AᵗA = (2 1; 1 2) y su inversa es (1/3)(2 −1; −1 2).

  7. L=(AtA)−1At=13(2−11−121)L = (A^tA)^{-1}A^t = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

    L = (AᵗA)⁻¹Aᵗ = (1/3)(2 −1 1; −1 2 1). Es una matriz de 2×3: n×m.

  8. LA=13(2−11−121)(100111)=13(3003)=I2LA = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = I_2

    Comprobamos que LA = I₂ multiplicando L por A.

Para qué sirve

Da una matriz L que «deshace» A por la izquierda, y sirve para sistemas con más ecuaciones que incógnitas (rango = número de columnas).

Demostración

Con L, la solución es única: X = Lb

LA=I  ⇒  (AX=b⇒X=Lb)LA = I \;\Rightarrow\; (AX = b \Rightarrow X = Lb)
  1. AX=b  ⇒  L(AX)=LbAX = b \;\Rightarrow\; L(AX) = Lb

    Partimos de AX = b y multiplicamos los dos lados por L por la izquierda.

  2. (LA) X=Lb(LA)\,X = Lb

    Con la propiedad asociativa agrupamos: (LA)X = Lb.

  3. I X=X=LbI\,X = X = Lb

    Como LA = I, queda X = Lb: si el sistema tiene solución, tiene que ser esta.

  4. AXh=0  ⇒  Xh=(LA)Xh=L(AXh)=L 0=0AX_h = 0 \;\Rightarrow\; X_h = (LA)X_h = L(AX_h) = L\,0 = 0

    Unicidad: si Xh está en el núcleo (AXh = 0), entonces Xh = (LA)Xh = L(AXh) = L·0 = 0. El único vector del núcleo es 0.

  5. Nul⁡(A)={0}(dim⁡=n−r=0)\operatorname{Nul}(A) = \{0\} \qquad (\dim = n - r = 0)

    Es coherente con el teorema rango-nulidad: dim Nul(A) = n − r = 0 cuando r = n.

  6. A=(100111), b=(123):X=Lb=13(2−11−121)(123)=(12)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}:\quad X = Lb = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A = (1 0; 0 1; 1 1) y b = (1, 2, 3): Lb = (1/3)(2 − 2 + 3, −1 + 4 + 3) = (1, 2).

  7. A(12)=(123)=bA\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = b

    Comprobamos: A·(1, 2) = (1, 2, 1 + 2) = (1, 2, 3) = b.

Para qué sirve

Con más ecuaciones que incógnitas y rango completo por columnas, hay a lo sumo una solución y L la encuentra. Pero Lb es solo la candidata: hay que comprobar que de verdad resuelve el sistema (siguiente demostración).

Demostración

Lb es solución si y solo si b está en Col(A)

A(Lb)=b  ⟺  b∈Col⁡(A)A(Lb) = b \iff b \in \operatorname{Col}(A)
  1. Col⁡(A)={ AX }={ x1a1+⋯+xnan }\operatorname{Col}(A) = \{\, AX \,\} = \{\, x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n \,\}

    Col(A) (espacio columna o imagen) son todos los vectores que se pueden formar combinando las columnas de A: AX = x₁a₁ + ⋯ + xnan, donde a₁, …, an son las columnas.

  2. A(Lb)=b  ⇒  b=A (Lb)∈Col⁡(A)A(Lb) = b \;\Rightarrow\; b = A\,(Lb) \in \operatorname{Col}(A)

    Si Lb es solución, entonces b = A(Lb) tiene la forma AX, luego b está en Col(A).

  3. b=AX0  ⇒  Lb=LAX0=X0  ⇒  A(Lb)=AX0=bb = AX_0 \;\Rightarrow\; Lb = LAX_0 = X_0 \;\Rightarrow\; A(Lb) = AX_0 = b

    Al revés, si b está en Col(A), b = AX₀ para algún X₀. Entonces Lb = LAX₀ = X₀, y A(Lb) = AX₀ = b: Lb sí es solución.

  4. A=(100111):Col⁡(A)={ x1(1,0,1)+x2(0,1,1) }={ (x1, x2, x1+x2) }A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}:\quad \operatorname{Col}(A) = \{\, x_1(1, 0, 1) + x_2(0, 1, 1) \,\} = \{\, (x_1,\ x_2,\ x_1 + x_2) \,\}

    Para A = (1 0; 0 1; 1 1) las columnas son (1, 0, 1) y (0, 1, 1). Combinándolas sale (x₁, x₂, x₁ + x₂): los vectores cuya tercera componente es la suma de las dos primeras (un plano de ℝ³).

  5. b=(1, 2, 3):1+2=3  ⇒  b∈Col⁡(A),A(Lb)=A(1,2)=bb = (1,\ 2,\ 3):\quad 1 + 2 = 3 \;\Rightarrow\; b \in \operatorname{Col}(A),\quad A(Lb) = A(1, 2) = b

    b = (1, 2, 3): 1 + 2 = 3, así que b está en Col(A), y A(Lb) = A(1, 2) = b. Hay solución, y es única.

  6. b′=(1, 2, 0):Lb′=(0, 1),A(Lb′)=(0, 1, 1)≠b′b' = (1,\ 2,\ 0):\quad Lb' = (0,\ 1),\quad A(Lb') = (0,\ 1,\ 1) \neq b'

    b′ = (1, 2, 0): 1 + 2 ≠ 0, no está en Col(A). Lb′ = (0, 1), pero A(Lb′) = (0, 1, 1) ≠ b′: Lb′ NO es solución. Las ecuaciones x₁ = 1, x₂ = 2 y x₁ + x₂ = 0 se contradicen.

Para qué sirve

Es el test práctico: calcula Lb y comprueba que A(Lb) = b. Si se cumple, esa es la única solución; si no, el sistema no tiene ninguna (los mínimos cuadrados, más adelante, buscan la mejor aproximación).

Demostración

Si A es cuadrada y regular, R = L = A⁻¹

r=m=n  ⇒  R=L=A−1r = m = n \;\Rightarrow\; R = L = A^{-1}
  1. (AAt)−1=(At)−1A−1(AA^t)^{-1} = (A^t)^{-1}A^{-1}

    Si A es cuadrada de rango n, existen R y L, y A y Aᵗ tienen inversa. Usamos (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ en AAᵗ: (AAᵗ)⁻¹ = (Aᵗ)⁻¹A⁻¹.

  2. R=At(AAt)−1=At(At)−1A−1=I A−1=A−1R = A^t(AA^t)^{-1} = A^t(A^t)^{-1}A^{-1} = I\,A^{-1} = A^{-1}

    Sustituimos en R: R = Aᵗ(Aᵗ)⁻¹A⁻¹ = I·A⁻¹ = A⁻¹.

  3. (AtA)−1=A−1(At)−1(A^tA)^{-1} = A^{-1}(A^t)^{-1}

    Para L: (AᵗA)⁻¹ = A⁻¹(Aᵗ)⁻¹, con el mismo razonamiento.

  4. L=(AtA)−1At=A−1(At)−1At=A−1 I=A−1L = (A^tA)^{-1}A^t = A^{-1}(A^t)^{-1}A^t = A^{-1}\,I = A^{-1}

    L = A⁻¹(Aᵗ)⁻¹Aᵗ = A⁻¹·I = A⁻¹.

  5. A=(2111):AAt=(5332),(AAt)−1=(2−3−35)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}:\quad AA^t = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix},\quad (AA^t)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}

    Ejemplo con A = (2 1; 1 1): AAᵗ = (5 3; 3 2), con det = 10 − 9 = 1, y (AAᵗ)⁻¹ = (2 −3; −3 5).

  6. R=At(AAt)−1=(2111)(2−3−35)=(1−1−12)=A−1R = A^t(AA^t)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = A^{-1}

    R = Aᵗ(AAᵗ)⁻¹ = (2 1; 1 1)(2 −3; −3 5) = (1 −1; −1 2), que es justo A⁻¹.

Para qué sirve

Une los casos: la inversa de toda la vida es el caso en que R y L coinciden. Con A cuadrada y regular, la solución X = A⁻¹b es única y siempre existe.

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